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-数学物理方法第三讲-,1,数学物理方法第三讲,导数&解析函数（2学时）,定义：设函数 是区域 上定义的单值函数，即对于区域 上的每一个 值，有且只有一个 值与之对应，若在 上的某点 ，极限 存在，并且与 趋近于0的方式无关，则称 在 点可导（或单演），此极限叫做函数 在 点的导数（或 微商），以 或 表示。,说明：复变函数的导数的定义，在形式上跟实变函数的导数的定义一样，因而，实变函数论中关于导数的规则和公式往往可应用于复变函数。,-数学物理方法第三讲-,2,常用的求导公式：,必须指出，复变函数和实变函数的导数定义，虽然形式上一样，实质上却有很大的不同，这是因为实变函数 只能沿着实轴逼近零，但复变函数 却可以沿复平面上的任一曲线逼近零，因此，即与实变函数相比，复变函数的可导是一种严格的多的要求。,-数学物理方法第三讲-,3,现在让我们比较 沿平行于实轴方向逼近零和沿平行于虚轴方向逼近零的两种情况：,先看 沿平行于实轴方向逼近零的情形，这时 ，而,于是：,再看 沿平行于虚轴方向逼近零的情形，这时 ，而,于是：,如果 在z点可导，以上两极限必须存在且彼此相等，即：,&,两条件合称柯西黎曼条件,-数学物理方法第三讲-,4,复习:柯西-黎曼条件是如何得到的?(形式),极坐标系下的柯西-黎曼条件:,-数学物理方法第三讲-,5,证明:函数 可导的充分必要条件是:,函数 的偏导数 存在,且连续,并且满足柯西-黎曼条件.,将分子展开并合并同类项得:,存在且与 的方式无关,命题得以证明!,-数学物理方法第三讲-,6,在 点解析,函数 在点 及其邻域上处处可导,是区域B上的解析函数,在区域B上每一点都解析,函数若在某一点解析,则必在该点可导 反之却不一定成立,例,仅在z=0点可导,在其他点均不可导,由解析的定义可知:,在z=0处并且在整个复平面上处处不解析,函数在一点可导与解析是不等价的,但是,函数在某区域上可导与解析是等价的,-数学物理方法第三讲-,7,解析函数的主要性质,( 为常数)是B上的两组正交曲线,C-R条件,=0,均为上的调和函数,调和函数定义：,1.有二阶连续偏导,2.满足拉普拉斯方程,-数学物理方法第三讲-,8,证明 为调和函数,同理消去 得:,这是说 和 都满足二维的拉普拉斯方程,也就是说它们都是调和函数,由于他们是同一个复变函数的实部和虚部,所以又叫共轭调和函数.,-数学物理方法第三讲-,9,应用,已知一个二元调和函数,可以把这个调和函数看做某个解析函数的实部(或者虚部),利用C-R条件求出相应的虚部(或者实部),这样就确定了这个解析函数.,设给定的二元调和函数 是解析函数的实部,试求相应的虚部,解,二元函数 的微分式是:,于是得到:,从而计算出,进一步得到解析函数,-数学物理方法第三讲-,10,已知 ，求 。,例题,方法一：,并取积分路经为 时，得,-数学物理方法第三讲-,11,方法二：,将 ， 代入,而,所以,-数学物理方
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