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任意矩阵都可经过初等变换变成阶梯形矩阵，方法,不是唯一的，然而有没有什么规律性的东西值得探讨？,本节的讨论将显示，不论通过什么途径化为阶梯形,矩阵，它的非零行的个数总是唯一确定的，我们把这个,确定的数称为该矩阵的秩。,的k2个交叉点上的元素, 按原有的次序组成A的k 阶矩阵,的行列式称为A的k 阶子式。则A的非零子式的最高阶数,定义 在mn 矩阵A中，任意选定k 行和k 列，它们,称为A的秩, 记为r(A)。,注：零矩阵的秩定义为零。,第3节 矩阵的秩 (Rank),（1）r(A) = r(AT) ,（2）设r(A) = r，则至少存在一个r 阶的非零子式 ，,而且任何大于r 阶的子式都为零 。,（3）n 阶方阵A的最大的秩为n。若r(A) = n，则称,A为满秩方阵。若r(A) n，则称A为降秩方阵。,这些性质都可由定义直接验证。,则 r(A) = 3。,3.3.1 矩阵的秩的性质：,性质：,设M为A中最高阶非零子式:,下面分别三种初等变换加以论证:, r(B) r(A),，在B中取交换后的M为M 。, r(A) r(B),在B中仍取A中的M为B的非零子式M 。,在B中取A中M的红线换位后相交的点为M 。,r(A) r(B),在B中仍取A中相同的节点所组成的子式M 。,其中D为M中用第i行代替第j行所得的矩阵。,(4) i不在M 中, 但 j 在M 中。,在B仍取A中相同的节点所组成的子式M 。,2. 若,kri+rj,（为什么？）,r(A )=3 。,解,现在我们要问：为什么要研究矩阵的秩呢？,还要从线性方程组说起。设n元线性方程组为,这是一个n个方程n个未知数的线性方程组。它的,增广矩阵为n(n+1)矩阵：,对 施行初等行变换，将它变换化阶梯形矩阵，,如阶梯形矩阵出现 s个零行，说明原方程组中有 s个,方程不是独立的。显然，阶梯形矩阵的秩为r=n-s,阶梯形矩阵所反应的方程组与原方程组是同解方程组，,s=n-r, 可见矩阵的秩能够直接反映方程组
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