向量及其线性运算.ppt

空间解析几何, 傅里叶级数, 多元函数微分学, 多元函数积分学,高等数学（下）,翟文娟 行政楼B212,平面解析几何： 点 有序数对（a，b） 平面曲线,第八章 空间解析几何与向量代数,空间解析几何：,第一节 向量及其线性运算,向量概念,向量的线性运算,空间直角坐标系,利用坐标作向量的线性运算,向量的模 方向角 投影,1. 向量概念,数量：用实数表示. 向量：既有大小又有方向的量.,2. 向量表示,一、向量(vector)概念,自由向量,不考虑起点位置的向量.,负向量,4. 相关概念,两向量共线 两向量平行,共面 若 k (3)个向量经平移可移到同一平面上 ,则称此 k个向量共面 .,特殊地，若,(1)加法定义,二、向量的线性运算,（一） 向量的加减法,三角形法则 平行四边形法则,2.向量加法的运算规律.,(1)交换律:,(2)结合律:,例如:,考虑多个向量相加的情况 ？,三角不等式,(3)向量的减法,2. 数乘的运算规律:,(1) 结合律:,(2) 分配律:,(二) 数与向量的乘法(简称数乘运算) 实质 “伸缩”,结论：,规定 当,则,例1 在平行四边形ABCD中, 设AB= , AD =,试用 表示向量MA,MB,MC和MD.,（三）空间直角坐标系,以 分别表示沿x, y, z轴正向的单位向量, 称为基本单位向量.,三个坐标轴的正方向符合右手规则,轴,轴,轴,由三条坐标轴的任意两条确定的平面, 称为坐标面, 分别叫xoy面. yoz面、zox面,它们将空间分成八个卦限.,1. 坐标面,2.空间向量(点)的坐标表示,R,Q,P,（坐标分解式）,特殊点的表示:,坐标轴上的点,坐标面上的点,?,点M(2, -3, 1)分别关于坐标原点、 xOy面、 y 轴 的对称点是( ),(A) (-2, 3, -1); (B) (-2, -3, -1); (C) (2, -3, -1); (D) (-2, 3, 1).,（四）利用坐标作向量的线性运算,（坐标分解式）,由,按坐标表示式即为:,当分母有一个为零理解为分子也为零.,也即向量 与 对应的坐标成比例:,解,设,为直线上的点,例3,已知两点,以及实数,在直线AB上求点M, 使,同理,得,特别当 时，M点坐标,五、向量的模、方向角、投影,1. 向量的模与两点间的距离公式,则有,由勾股定理得,因,得两点间的距离公式:,对两点,与,例4 证明以M1(4, 3, 1), M2(7, 1, 2), M3(5, 2, 3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.,解:,由 |M2 M3 | = |M3 M1 |, 所以 M1 M2 M3 是等腰三角形.,例5 在z轴上求与两点 A(4, 1, 7) 和B(3, 5, 2)等距离的点.,解: 设该点为M(0, 0, z),由题设 |MA| = |MB|.,即:,解得:,所求点为 M (0, 0, ),设有两非零向量,任取空间一点 O ,称 =AOB (0 ) 为向量,的夹角.,类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 .,与三坐标轴的夹角 , , ,为其方向角.,方向角的余弦称为其方向余弦.,2. 方向角与方向余弦,方向余弦的性质:,解: 已知,角依次为,求点 A 的坐标 .,则,因点 A 在第一卦限 ,故,于是,故点 A 的坐标为,向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹,例8 设点 A 位于第一卦限,空间一点在轴上的投影,过点A作轴u的垂直平面,即为点A在轴u上,的投影.,空间一向量在轴上的投影,轴u称为投影轴.,已知向量的起点A和终点B,在轴u上的投影分别为,那么轴u上的有向线段,的值,称为向量在轴u上的,投影.,Projection,在轴u上的,向量,轴与向量的夹角的余弦：,向量,在轴u上的,投影,记为,投影性质1,投影等于向量的模乘以,投影有正、,负之分;,模只为正值.,（可推广到有限多个）,两个向量的和在轴上的投影等于两个向量,在该轴上的投影之和.,投影性质2,投影性质3,解,求向量,例,x轴上的,投影及在y轴上的分向量.,在x轴上的投影为,在y轴上的分向量为,六、小结,向量的概念,向量的线性运算,（注意:与数量的区别与记法）,(平行四边形法则, 三角形法则, 注意数乘后的方向),空间直角坐标系,空间两点间距离公式,(注意它与平面直角坐标系的区别),(点、坐标轴、坐标面、卦限),向量在轴上的投影与投影性质.,向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标.,向量的模与方向角.,(注意分向量与坐标的区别),利用坐标作向量的线性运算.,思考题1,