概率论与数理统计学习资料.ppt

1,概率论与数理统计,(三) 王 柱 2011.09.19,2,复习 (一）随机试验,随机试验的特点:,1.能在相同条件下重复进行;,2.每次试验的可能结果不止一个,并能事先明确试验的所有可能结果;,3.但每次试验之前,不可能事先确定那一个试验结果会出现.,3,(二)样本空间,(三)随机事件,随机试验E的所有可能结果组成的集合 S 称为 E的样本空间 。E的每个结果称为E的样本点。,试验E的样本空间的子集合称为E的随机事件。,一个样本点组成的单点集，称为基本事件。,样本空间包含所有的样本点，称为必然事件。,空集 不包含任何的样本点，称为不可能事件。,在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，则称这一事件发生。,4,事件的关系与运算一览,包含关系， 相等关系，,并事件， 交事件， 补事件。 （差事件）,相交关系， 互斥关系， 对立关系。,5,运算原理：,交换 结合 分配 对偶,6,1.P(A) 0 ; 非负性,2.P()=1; 完全性,3.可列可加性（加法公式）,(, A, P) 称为概率空间，是指,在随机试验E的样本空间上,对每个事件A A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A的概率,如果这个集合函数P()满足下列条件:,即可列个 Ai , i=1,2,，,则有,(五)概率的定义,7,样本空间 =S,P(A)=k/n，,n为样本空间S中基本事件的总数,k为事件A中包含基本事件的个数,显然,P(A)=k/n 0,P(S)=n/n =1,有穷个基本事件最多能使有穷个两两互斥的事件非空,有穷可加,可列可加,+,此时P(ei)= 1/n，,确为概率空间。,因此 (, A, P),称为等可能概型,古典概型。,1.,2.,3.,(五.1)等可能概型（古典概型）,。定义:,8,(五.2)几何概率符合概率的数学定义,几何频率也有性质,假设区域 以及其中任何可能出现的小区域 都是可以度量的，其度量的大小分别用 和 表示。事件 A A 发生的概率取为 称为几何概率。,1. 0 P(A) 1;,2. P(S)= 1;,3. 若A1,A2,是两两不相容的事件,则,1.度量是欧式空间的距离形成的，度量有此性质。 2.区域 S 的度量是有界的。 3.事件 A 是 “由小区域 经过最多可列个集合运算得到的”。,9,(五.3) 我们回忆： 在一定的条件下,重复做 n 次试验,na 为 n次试验中事件 A 发生的次数。如果随着 n 逐渐增大，频率 na /n 逐渐稳定在某一数值 p 附近，则数值 p 称为事件 A 在该条件下发生的概率，记做 。 这个定义称为概率的统计定义。,由于频率 na /n 和等可能的比例一样具有：非负性、完全性、可列可加性。因此，其逐渐稳定的数值也具有此三性，从而这个定义也符合概率的数学定义。,10,(六)概率的性质：,1。P( )=0;,2。有穷可加;,4。,3。,5。,6。,11,E: “接连抛二次硬币”,S： HH, HT, TH, TT n=4 e1 e2 e3 e4 ,A: “至少有一次出现正面”,B: “二次出现相同”,AB: “二次出现正面”, HH k=1, HH, HT, TH m=3, HH, TT ,P(A)=3/4,P(B)=2/4,P(AB)=1/4,注意, P(B|A)=1/3=k/m=(k/n)/(m/n)=P(AB)/P(A),1.6.1 条件概率 (一)、,先看:“在事件A发生的条件下事件B发生的概率” ，值为 1/3。这是因为,A为必然事件,样本点有3个; A中有利于B的基本事件有1个。写成 P(B|A)=1/3。,1.6 条件概率、全概率公式和贝叶斯公式(1),12,可以证明，条件概率 P(|A) 符合概率定义的三条。,定义1.6.1 : ( , A ,P)为概率空间。AB为两个事件， 且P(A)0。则称 P(B|A)=P(AB)/P(A) 为 “ 在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率 ”,1.P(B|A) 0 ; 非负性,2.P( |A) =1 ; 完全性,3。可列可加性,即可列个两两不相容事件 Ai , i=1,2,( ,A,P) 观点1: (A, A A, P*(BA) ) 观点2: ( ,A, P(B|A) ),演示5！,13,例1.,“袋中有五个球，3个白色，2个红色。”,球： W, W, W, R, R ,A: “第一次是白球”,AB: “取到两球同为白色”,E、 不放回抽样：抽一个看，不放回接着再抽。 共抽两次。,n=5*4,B: “第二次是白球”,k=3*2,m=3*4,计算得，P(B|A)=P(AB)/P(A) = (3*2 / 5*4 )/(3*4 /5*4 )=1/2,以上是观点2的算法；再用局限的观点1，计算也得1/2 。,(二)、乘法定理: 设P(A)0，则有 P(AB)=P(B|A)P(A),设P(AB)0，则有 P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A),设P(A1A(n-1)0，则有 P(A1An)=P(An|A1A(n-1).P(A(n-1)|A1A(n-2). .P(A2|A1)P(A1),设P(B)0，也有 P(AB)=P(A|B)P(B),15,例1.6.1袋中有 r 个红色球，t个白色球。每次 任取一个记颜色后放回,并加入a个同色球。 若连续抽取4次。试求“第一第二取红、第三 第四取白”的概率。,Ai: “第i次是红球”，i=1,2,3,4,Aic: “第i次是白球”， i=1,2,3,4,P(A1A2A3cA4c)=P(A4c|A1A2A3c)P(A3c|A1A2)P(A2|A1)P(A1),例2.“透镜第一次落下时打破的概率为1/2。 第一次未破第二次落下时打破的概率为7/10 。 前两次未破第三次落下时打破的概率为9/10。 试求三次落下未打破的概率。”,Ai: “第i次落下打破”，i=1,2,3,B: “三次落下未打破”,P(B)=P(A1cA2cA3c)= P(A3c|A1cA2c) P(A2c|A1c) P(A1c),又可以用 , P(Bc)=P(A1cA2cA3)+ P(A1cA2) + P(A1),P(B)=(1-9/10)(1-7/10)(1-1/2)=3/200,P(Bc)=1/2+7/20+27/200=197/200,17,例1.4.7 N件产品,含有D( N)件次品,任取n件, 恰有k( D)件次品 的概率?,为所求概率，这个概率称为超几何概率。,1.4 排列组合与古典概率的计算（2）,18,例1.4.9 . 将15名球手 (可区分的)随机地平均分配 到三个组 (1、2、3)中去。15名球手中有 3名国手 。求这3名国手 A:在同一组、B:各在一个组的概率？,有利于A的分法:,有利于B的分法:,P(A)=6/91=0.0659,P(B)=25/91=0.2747,19,例1.4.8 .n个球,随机地放入N个盒子中。,A: “每盒至多有一球”,B: “都在指定的k个盒子中”,(球、盒均可区分时）放法总数为 Nn 。,放法数为,(例如，某班在年级大排队中的占位）,放法数为 kn,20,问题：咱们教室内的听课人数共有186人。 你们注意到了否，你们中间有没有几个 人同一天过生日的事发生？,回答是: “几乎肯定有”。 为什麽？,n个人中至少有两人生日相同的概率为,经计算可得如下结果：,30,演示8！,21,例1.4.10 从 数字中每次任取一个，共取 次，试问这 个 数的积被10除尽的概率是多少？,解 设= A 个数的乘积被10除尽, B = 个数中不含5, C = 个数中不含偶数,则, 显然 B 和 C 是相容的,22,（三）、全概率公式和贝叶斯公式,定义；随机试验E的样本空间为 。 B1，B2，,Bn 为E的一组事件。 若(1)两两不相容且,(2)它们的和集为, 则称B1，B2，,Bn为的一个划分,也叫完备事 件组。,这时，每次试验必有一个 Bi 发生。,定理；随机试验E的样本空间为 。B1,B2,Bn 为的一个划分。且P(Bi)0, i=1,n。A为E的一个事件,则 P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|Bn)P(Bn),称为全概率公式。,A=A =A(B1+B2 +Bn)=AB1+AB2+ABn,1.6 条件概率、全概率公式和贝叶斯公式(2),23,定理；随机试验E的样本空间为 。 A为E的一个事件, P(A)0。 B1，B2，,Bn为的一个划分。且P(Bi)0, i=1,n。则,称为贝叶斯公式。,P(Bi|A) =P(A|Bi)P(Bi)/P(A|B1)P(B1) +P(A|Bn)P(Bn),P(Bi|A)=P(A|Bi)P(Bi)/P(A),演示6、7！,24,例1.6.2 设甲袋中有 m 个红球，n 个白球；乙袋中有 r 个红球，s 个白球。今从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是红球的概率。,解 令 R =“从乙袋中取出的球为红”； W =“从甲袋中取出的球为白” 则有,25,求的是 P(B|A) =P(A|B)P(B)/P(A|B)P(B) +P(A|Bc)P(Bc),已知: P(A|B)=0.95 P(Ac|Bc)=0.95 P(B)=0.005 试求：“普查化验阳性会被诊为有病的概率?”,A:“化验阳性”,B: “被诊为有病”,分析：B, Bc为一个划分。,得: P(B|A) =0.950.005/0.950.005+0.050.995=0.087,例3.记,26,下面介绍全概率公式在敏感性调查中的应用。,所谓敏感性调查是指调查内容中涉及到被访者的高度机密或隐私（如调查学生在考试中是否作弊，某人是否吸毒等），常常会发生被访者抗拒回答或不真实回答的情况。为此，1965年沃纳（Warner）提出一个随机化回答的方法。,首先给被访者设定两个问题。A：你在本学年考试中作弊了吗？B：你在本学年考试中没有作弊吗？ 被调查者回答哪一个，由随机化方法确定，但要求正确回答。,27,一般设定选题 A 的概率为 p ，选题 B 的概率为 (1-p)=q 。 A 的张数：B 的张数 = p ：q,这样从答卷中可以统计出 n 个学生答“是”的个数，设为 m ，m/n 就是答“是”学生的频率。那么当 n 较大时，利用概率的统计定义，m/n 就可近似于概率 P(答“是”)。利用全概率公式有：,显然， 是不行的，应避免。,即,28,下面介绍全概率公式在智力测验 中的应用。,有三个房间A、B、 C，其中一间放着一辆汽车。其余是空的。如果你猜对了，汽车归你所有。假设你猜A以后，主持人告诉你其余两间房中的一个（例如 C）是空的，问你是否应该改变主意选B，还是照旧选A。哪个更明智些？,首猜之房设为A。 记事件A1: “A中有车”， p(A1)=1/3； A0: “A中无车”， p(A0)=2/3。 打开的空房为C。主持人说应该改选的为B。,29,注意到：p(改0|A1)=1, p(改1|A1)=0, p(改0|A0)=0, p(改1|A0)=1, p(原1|A0)=0, p(原1|A1)=1, 计算： p(原1)= p(A0)*p(原1|A0)+ p(A1)*p(原1|A1) =0*2/3+1*1/3=1/3 p(改1)= p(A0)*p(改1|A0)+ p(A1)*p(改1|A1) =1*2/3+0*1/3=2/3,30,1.7 事件的独立性,定义；A,B为两事件。如果等式 P(AB)=P(A)P(B) 成立,则称A, B为互相独立的事件。,可以证明， 若A与B互相独立， 则 Ac与B， A与Bc， Ac与Bc互相独立。,定理； A,B为两事件，且P(A)0。 则 “A与B相互独立”与“P(B|A)=P(B)”等价。,31,例4.1。E: “接连抛 二次硬币”,S： HH, HT, TH, TT n=4 e1 e2 e3 e4 ,先看，A: “第一次出 现正面”,B: “第二次出现正面”,AB: “二次同时出现正面”, HH, HT m=2,P(A)=2/4, HH, TH ,P(B)=2/4, HH k=1,P(AB)=1/4,可算出“在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率” 为 P(B|A)=1/2,P(B|A)=1/2=P(B) 即“A与B相互独立”,32,例4.2。E: “接连抛 二次硬币”,S： HH, HT, TH, TT n=4 e1 e2 e3 e4 ,再看, A: “至少有一 次出现正面”,B: “二次出现相同”,AB: “二次出现正面”, HH k=1, HH, HT, TH m=3, HH, TT ,P(A)=3/4,P(B)=2/4,P(AB)=1/4,可算出“在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率” 为 P(B|A)=1/3,而 P(B|A)=1/3 1/2 =P(B) 即“A与B不是相互独立的”,33,一般, A1，A2，,An为E的一组n个事件。相似的可定义：两两、三三、.，及n个相互独立。,定义；A,B,C为三个事件。如果三个等式 P(AB)=P(A)P(B) P(AC)=P(A)P(C) P(BC)=P(B)P(C) 成立,则称A, B，C为两两独立的事件。,若再加一个等式 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 成立,则称A, B，C为互相独立的事件。,34,再看例、,E: “接连抛三次硬币”,S： HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 ,A: “第一次抛出现正面” p(A)=1/2,B: “第二次抛出现正面” p(B)=1/2,C: “第三次抛出现正面” p(C)=1/2,AB: “第一、第二两次出现正面” p(AB)=1/4,AC: “第一、第三两次出现正面” p(AC)=1/4,BC: “第二、第三两次出现正面” p(BC)=1/4,ABC: “第一、第二、第三三次出现正面” p(ABC)=1/8,“ A，B，C 三事件相互独立。”,35,又例5.E: “四张卡片中任抽一张”,S： e1 e2 e3 e4 n=4,A: “出现 e1 ，e2”,B: “出现e2 ，e3”,C: “出现e1 ，e3”,BC： e3 ,AB： e2 ,AC： e1 ,“A，B，C 两两相互独立”,P(ABC)=0 1/8=P(A)P(B)P(C),“A，B，C 三者不独立”,但 ABC： ，为空集。,36,1.8 独立试验序列