正方形的性质2课时.ppt

标题/,完美的正方形,标题,19.2.3 正方形,有一个直角,有一个直角,矩形,有一个直角,矩形,有一个直角,一组邻边相等,矩形,菱形,有一个直角,一组邻边相等,矩形,菱形,平行四边形,有一个直角,一组邻边相等,矩形,菱形,平行四边形,有一个直角,一组邻边相等,矩形,菱形,平行四边形,有一个直角,一组邻边相等,矩形,菱形,一组邻边相等,平行四边形,有一个直角,一组邻边相等,矩形,菱形,一组邻边相等,平行四边形,有一个直角,一组邻边相等,矩形,菱形,一组邻边相等,平行四边形,正方形,正方形,有一个角是 直角,创设情景一,问题:,图中CD在平移时，这个图形始终是怎样的图形？,当CD移动到CD位置，此时AD AB，四边形ABCD还是矩形吗？,A,B,两组互相垂直的平行线围成矩形ABCD,有一个直角,一组邻边相等,矩形,菱形,一组邻边相等,有一个直角,正方形,平行四边形,你能给正方形下一个定义吗？,正方形的概念： _ 的平行四边形是正方形。,_的菱形是正方形,_的矩形是正方形,定义,有一组邻边相等且有一个角是直角的,有一个角是直角,有一组邻边相等,1 正方形的定义,由正方形的定义可知， 正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是 有一个角为直角的菱形。如图(1)。,有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。,平行四边形，矩形，菱形，正方形的关系!,大家谈,小结:,正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。,?,正方形的性质=,为什么说正方形是一个完美的图形？,对称性,特征,正方形是中心对称图形,对称中心为点O,它也是轴对称图形,有4条对称轴,(1)它具有平行四边形的一切性质,两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分,(2)具有矩形的一切性质,四个角都是直角，对角线相等,(3)具有菱形的一切性质,四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角,(A),(B),(C),(D),正方形性质: 边: 对边平行； 四边相等； 角 ：四个角都是直角；,对角线：,对称性：,对角线相等；,对角线互相垂直；,每条对角线平分一组对角；,正方形是轴对称图形，也是中心对称图形；,对角线互相平分；,例1：1、要使一个菱形成为正方形需 增加的条件是,（填上一个条件即可）,试一试，相信你很棒！,1.正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A.对角线互相垂直 B.对角线互相平分 C.对角线相等 D.对角线平分一组对角,C,2.从四边形内能找一点,使该点到各边距离都相等的 图形可能是 （ ） A.平行四边形、矩形、菱形 B.菱形、矩形 、正方形 C.矩形、正方形 D.菱形、正方形,D,3.已知正方形的一条边长为2cm,则这个正方形的 周长为 ,对角线长为 ,面积为 .,8cm,4.正方形的对角线和它的边所成的角是 度.,45,5.已知正方形的一条对角线长为4cm,则它的边长 为 ， 面积为 。,6.已知正方形ABCD中,对角线AC=10cm,P为AB上任意一 点,PEAC,PFBD,E、F为垂足,则PE+PF= 。,5cm,正方形具有而矩形不一定具有的性质是( ) A、四个角相等. B、对角线互相垂直平分. C、对角互补. D、对角线相等.,选一选,2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ） A、四条边相等. B、对角线互相垂直平分. C、对角线平分一组对角. D、对角线相等.,B,D,例：下列正确的是,. 四边相等的四边形是正方形 四角相等的四边形是正方形 对角线垂直的平行四边形是正方形 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形,练:正方形ABCD中，M为AD中点，MEBD于E，MFAC于F,若ME+MF =8cm，则AC=_.,课堂练习,例3.已知正方形ABCD中,AC=10,P是AB上一点,PEAC于E，PFBD于F,则PE+PF=_.,5,30,16cm,2.以正方形ABCD的一边DC向外作等边DCE,则AEB=_.,分析：PE=AE，PF=OE PEPFOA,例题解析,例题,例1. 如图，在正方ABCD中，对角线AC、BD相交于O， 1)图中有多少个等腰直角三角形 2)说出图中相等的线段、相等的角。 3)求ABD、DAC、DOC的度数。,答案：1、八个 ABCBCD CDA DAB AOB AOD BOC COD,2 AB=BC=CD=DA AC=BD OA=OB=OC=OD,3答案见课本107页,练习1 已知：正方形ABCD对角线AC、BD相 交于点O，且ABacm，如图(2)。,求：AC的长及正方形的面积S。,练习2 已知：在正方形ABCD中，对角线AC、 BD相交于点O，且AC6 cm，如图 求：正方形的面积S。,1.如图，正方形ABCD中，两对角线交 于O,E是AC上一点，CE=AB， 则ACB=_DOC=_, BEC=_,EBO=_,A D,B C,E,O,2.如图，正方形OPQR的一个顶点O是边长为2的正方形ABCD对角线AC与BD的交点，则两 正方形重合部分的 面积是,A D,B C,O,P,Q,R,正方形的性质与判定2,大悟县三里中学,例题解析,例题,例4.求证：正方形的两条对角线把 这个正方形分成四个全等的等腰直 角三角形。,分析,分,析,：,这是一道几何命题的证明,该怎么做? 你会做吗?,第一步:根据题意画出图形 第二步:写出已知 第三步：写出求证 第四步:进行证明,图中共有多少个 等腰直角三角形？,例1.求证:正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形.,已知:四边形ABCD是矩形,对角线AC、BD相交于点O.,求证:ABO、BCO、CDO、DAO是全等的等腰直角三角形.,证明:四边形ABCD是正方形,并且ABOBCOCDODAO, ABO、BCO、CDO、DAO都是等腰直角三角形,AC=BD,ACBD,AO=CO=BO=DO.,随堂练习,用10米长的篱笆围成一个四边形菜地，如何确定面积最大的四边形的形状，面积为多少？,在长度给定的情况下，围成的四边形中， 正方形的面积最大。,问题:,3.如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连接AE交对角线BD于点F，则图中全等三角形共有（ ）,A B,C D,E,F,C,A.1对 B.2对 C.3对 D.4对,正方形ABCD中DAF=25,AF交对角线BD于E,交CD于F,求 BEC的度数.,A,B,C,D,E,F,思考,70,D,11、如图,点E是正方形ABCD边BC上延长线上一点，且CE=AC，若AE交CD于点F，求E和AFC的度数。,12、已知：如图矩形ABCD,对角线AC、BD相交于点O，AE平分BAD交BC于点E，连接OE，若EAO=150，求BOE的度数。,6.如图，已知正方形ABCD内有一个BEF，AB=6， AFFD=12， E为DC的中点， 求BEF的面积。,8.在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，PEAB， PFBC，垂足分别是 点E、F.求证：DP=EF,例2如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，,分析：要证明BMCN，,MNAB且MN分别交OA、OB于M、N，,求证：BMCN。,AB=BC，1=2=45 ,AM=BN,ABMBCN,正方形ABCD,OM=ON,OMNONM45,例3已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线 上一点，CEAF于E，交AD于M， 求证：MFD45,分析： 欲证MFD45，由于 MDF是直角三角形,只须证MDF是等腰三角形,即只要证 _=_,要证MDFD，大家只须证得哪两个三角形全等?,CMDADF,正方形ABCD中DAF=25,AF交对角线BD于E,交CD于F,求 BEC的度数.,A,B,C,D,E,F,9.如图，四边形ABCD为正方形，EBAC，EC=AC E在FB上， 求ECB 的度数。,活动与探索,如图正方形ABCD的边长为1，E、F分别为BC、CD上的点，若BE+DF=EF， 求证：EAF=450,变式：如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在BC、CD上，EAF=450，CEF的面积为 ，求AEF的面积。,10.在正方形ABCD中， P为BC边上一点， Q为CD边上一点， 如果PQ=BP+DQ， 求PAQ的度数.,大显身手,如图，四边形ABCD.DEFG都是正方 形，连接AE.CG。 （1）求证：AE=CG （2）观察图形， 猜想AE与CG的位置 关系，并证明你的 猜想。,A,B D E,C,G F,练习如图(5)，在AB上取一点C，以AC、BC为正方形的一边在同一侧作正方形AEDC和BCFG连结AF、BD延长BD交AF于H。 求证：(1) ACFDCB (2) BHAF,证明：,例2.如图四边形ABCD和DEFG都是正方形， 试说明AE=CG,解：,因为四边形ABCD是正方形,根据正方形的四边相等，得,AD=CD,又知四边形DEFG也是正方形,所以 DE=DG,又因为正方形的每个内角为90,所以ADEEDCCDGEDC,所以ADECDG,所以三角形ADE可以看成是由三角形CDG绕着点D顺时针 旋转 90 得到。AED CGD,所以AE=CG,例3如图所示，正方形ABCD中，P为BD上一点，PEBC于E， PFDC于F。试说明：AP=EF,解:,连接PC,PEBC ， PFDC,而四边形ABCD是正方形,FCE=90,四边形PECF是矩形,PC=EF,又四边形BAPC是以BD为轴的轴对称图形,AP=PC,AP=EF,练习：在ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DEAB, DFAC,垂足分别是E,F. 1)试说明:DE=DF 2)只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形. 请你至少写出两种不同的添加方法.(不另外 添加辅助线,无需证明),条件： A=90,AD=BD,15、已知，如图在ABC中，AB=AC，ADBC，垂足为点D，AN是ABC外角CAM的平分线，CEAN垂足为点E，,求证：四边形ADCE是矩形。,当ABC满足什么条件时，四边形 ADCE是正方形，说明理由。,16、如图B、C、E是同一直线上的三个点，四边形ABCD与CEFG是正方形，连接BG、DE,（1）观察、猜想BG与DE之间的大小关系，并说明理由。,（2）正方形CEFG在绕点C旋转过程中，BG与DE之间的关系是否仍然成立。,17、如图，M为正方形ABCD边AB的中点，E是AB延长线上一点，MNDM，且交CBE的平分线于点N。,（1）求证：MD=MN,（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M为AB上任意一点”，其它条件不变，问结论MD=MN是否仍然成立。,F,P,思考题： 如图正方形ABCD的对角线相交于点O，O又是另一个正方形OEFG的一个顶点，若正方形OEFG绕点O旋转，在旋转的过程中.,探究二:若正方形OEFG与正方形ABCD两边分别相交于M N，试判