高考数学二轮复习第二部分2.4.2导数与不等式及参数范围课件文.pptx

2.4.2 导数与不等式及参数范围,-2-,求参数的取值范围(多维探究) 解题策略一 构造函数法 角度一 从条件关系式中构造函数,例1已知函数f(x)=(x+1)ln x-a(x-1). (1)当a=4时,求曲线y=f(x)在(1,f(1)处的切线方程; (2)若当x(1,+)时,f(x)0,求a的取值范围.,难点突破一(直接构造函数) 求f(x)0(x1)a的范围,因f(1)=0,只需f(x)在(1,+)单调递增.f(x)0(x1)f(x)在(1,+)单调递增,-3-,解 (1)f(x)的定义域为(0,+). 当a=4时,f(x)=(x+1)ln x-4(x-1),f(x)=ln x+ -3,f(1)=-2,f(1)=0.曲线y=f(x)在(1,f(1)处的切线方程为2x+y-2=0.,-4-,()当a2,x(1,+)时,x2+2(1-a)x+1x2-2x+10,故g(x)0,g(x)在(1,+)单调递增,因此g(x)0; ()当a2时,令g(x)=0得,由x21和x1x2=1得x11, 故当x(1,x2)时,g(x)0,g(x)在(1,x2)单调递减, 因此g(x)0.综上,a的取值范围是(-,2.,-5-,解题心得用导数解决满足函数不等式条件的参数范围问题,一般都需要构造函数,然后对构造的函数求导,一般导函数中都含有参数,通过对参数讨论确定导函数的正负,由导函数的正负确定构造函数的单调性,再由单调性确定是否满足函数不等式,由此求出参数范围.,-6-,对点训练1(2017辽宁大连一模,文20)已知函数f(x)=ax-ln x. (1)过原点O作函数f(x)图象的切线,求切点的横坐标; (2)对x1,+),不等式f(x)a(2x-x2)恒成立,求实数a的取值范围.,解 (1)设切点为M(x0,f(x0),直线的切线方程为y-f(x0)=k(x-x0),又切线过原点O, 所以-ax0+ln x0=-ax0+1, 由ln x0=1,解得x0=e,所以切点的横坐标为e.,-7-,(2)不等式ax-ln xa(2x-x2)对x1,+)恒成立, 等价于a(x2-x)ln x对x1,+)恒成立. 设y1=a(x2-x),y2=ln x,由于x1,+),且当a0时y1y2,故a0. 设g(x)=ax2-ax-ln x, 当0a1时,g(3)=6a-ln 30不恒成立, 当a1,x=1时,g(x)0恒成立;,综上所述a1.,-8-,-9-,由f(x)0,得x0, 所以f(x)的单调增区间为(-,0),单调减区间为(0,+),f(x)max=f(0)=1, 当x+时,y0,当x-时,y-,所以m的取值范围是(0,1).,-10-,(2)证明 由(1)知,x1(-1,0),要证x2-x10,只需证f(x2)f(-x1), 因为f(x1)=f(x2)=m, 所以只需证f(x1)f(-x1),令h(x)=(x-1)e2x+x+1, 则h(x)=(2x-1)e2x+1, 因为(h(x)=4xe2xh(0)=0, 所以h(x)在(-1,0)上单调递增, 所以h(x)0.,-11-,解题心得在面对陌生的已知条件一时没有解题思路时,不妨对已知条件进行等价转化,在转化的过程中把问题化归为熟悉的问题或者熟悉的题型,从而得到解决.,-12-,对点训练2(2017贵州贵阳一模,文21)设f(x)=xex,g(x)= x2+x. (1)令F(x)=f(x)+g(x),求F(x)的最小值; (2)若任意x1,x2-1,+)且x1x2有mf(x1)-f(x2)g(x1)-g(x2)恒成立,求实数m的取值范围.,解 (1)F(x)=f(x)+g(x)=xex+ x2+x, F(x)=(x+1)(ex+1), 令F(x)0,解得x-1, 令F(x)0,解得x-1, 故F(x)在(-,-1)递减,在(-1,+)递增,-13-,(2)若任意x1,x2-1,+)且x1x2有mf(x1)-f(x2)g(x1)-g(x2)恒成立, 则任意x1,x2-1,+)且x1x2有mf(x1)-g(x1)mf(x2)-g(x2)恒成立, 令h(x)=mf(x)-g(x)=mxex- x2-x,x-1,+), 即只需h(x)在-1,+)递增即可. 故h(x)=(x+1)(mex-1)0在-1,+)恒成立,-14-,解题策略二 分离参数法,-15-,当00,当x1时,f(x)0,当x=1时,f(x)=0. 所以函数f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+)内单调递减, 所以函数f(x)在x=1处取得极大值.,-16-,于是h(x)在1,+)内递增,则h(x)h(1)0,则g(x)0, 于是g(x)在1,+)内递增,g(x)g(1)=2,则k的取值范围是k2.,解题心得有些函数与导数的综合问题即使构造函数正确,也存在分类讨论相当复杂的情形,难以继续作答.可以利用分离参数法简化构造函数,使得问题简单求解. 若求导后不易得到极值点,可二次求导,还不行时,就使用参数讨论法,即以参数为分类标准,看是否符合题意;当最值所在点处函数值是“ ”型时,可使用洛必达法则,可求极限值.,-17-,对点训练3(2017山西第四次五校联考,文21)已知函数,(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线斜率为10,求函数f(x)的最大值;,f(1)=1+k=10,k=9. 令f(x)0,得0e10, 故函数f(x)在(0,e10)内单调递增,在(e10,+)内单调递减,-18-,设h(x)=x3+2x2-x-1,则h(x)=3x2+4x-10, g(x)0, g(x)在1,+)内单调递增,则F(x)=x+e2-2-ex, 设G(x)=F(x)(x1), G(x)=1-ex0;,-19-,当x2时,G(x)=F(x)0. F(x)在1,2)内递增,在(2,+)内递减, F(x)max=F(2)=e2-9,ke2-9.,-20-,证明不等式(多维探究) 解题策略 构造函数法 角度一 从条件关系式中构造函数,例4设函数f(x)=ln x-x+1. (1)讨论f(x)的单调性; (2)证明当x(1,+)时,11,证明当x(0,1)时,1+(c-1)xcx. 难点突破(作差构造) 证明当x(0,1)时,1+(c-1)xcx设g(x)=1+(c-1)x-cx,证g(x)0, 通过对g(x)求导判断g(x)的单调性,再由g(x)的单调性和g(x)的几个特殊值证出g(x)0.,-21-,(1)解 由题设,f(x)的定义域为(0,+),f(x)= -1, 令f(x)=0解得x=1. 当00,f(x)单调递增; 当x1时,f(x)0,f(x)单调递减. (2)证明 由(1)知f(x)在x=1处取得最大值,最大值为f(1)=0. 所以当x1时,ln xx-1.,-22-,(3)证明 由题设c1, 设g(x)=1+(c-1)x-cx,则g(x)=c-1-cxln c,当x0,g(x)单调递增; 当xx0时,g(x)0,g(x)单调递减.,又g(0)=g(1)=0,故当00. 所以当x(0,1)时,1+(c-1)xcx.,-23-,解题心得1.欲证函数不等式f(x)g(x)(xa),只需证明f(x)-g(x)0(xa),设h(x)=f(x)-g(x),即证h(x)0.若h(a)=0,h(x)h(a)(xa).接下来往往用导数证得函数h(x)是增函数即可. 2.欲证函数不等式f(x)g(x)(xI,I是区间),只需证明f(x)-g(x)0(xI). 设h(x)=f(x)-g(x)(xI),即证h(x)0,也即证h(x)min0(xI)(若h(x)min不存在,则须求函数h(x)的下确界),而这用导数往往容易解决. 3.证明f(x)g(x)(xI,I是区间),只需证明f(x)ming(x)max. 证明f(x)g(x)(xI,I是区间),只需证明f(x)ming(x)max,或证明f(x)ming(x)max且两个最值点不相等.,-24-,对点训练4已知f(x)=ex-ax2,曲线y=f(x)在(1,f(1)处的切线方程为y=bx+1. (1)求a,b的值; (2)求f(x)在0,1上的最大值; (3)证明当x0时,ex+(1-e)x-1-xln x0.,(1)解 f(x)=ex-2ax, 由题设得f(1)=e-2a=b,f(1)=e-a=b+1,解得a=1,b=e-2. (2)解 由(1)知f(x)=ex-x2,f(x)=ex-2x,设h(x)=ex-2x,h(x)=ex-2. f(x)在(-,ln 2)内单调递减,在(ln 2,+)内单调递增, f(x)f(ln 2)=2-2ln 20, f(x)在0,1上单调递增, f(x)max=f(1)=e-1.,-25-,(3)证明 f(0)=1,由(2)知,f(x)过点(1,e-1),且y=f(x)在x=1处的切线方程为y=(e-2)x+1, 故可猜测当x0,x1时,f(x)的图象恒在切线y=(e-2)x+1的上方. 下证:当x0时,f(x)(e-2)x+1. 设g(x)=f(x)-(e-2)x-1=ex-x2-(e-2)x-1, 则g(x)=ex-2x-(e-2), 设h(x)=ex-2x-(e-2),h(x)=ex-2. 所以g(x)在(0,ln 2)内单调递减,在(ln 2,+)内单调递增, 又g(0)=3-e0,g(ln 2)=2-2ln 2-e+2=4-2ln 2-e0;当x(x0,1)时,g(x)0, 故g(x)在(0,x0)内单调递增,在(x0,1)内单调递减,在(1,+)内单调递增, 又g(0)=g(1)=0,g(x)=ex-x2-(e-2)x-10,当且仅当x=1时取等号,-26-,易证不等式exx+1,故xln(x+1), x-1ln x,当且仅当x=1时取“=”.,所以ex+(2-e)x-1xln x+x, 即ex+(1-e)x-1-xln x0成立,当x=1时,等号成立.,-27-,角度二 从条件中分离指、对函数分别构造 例5设函数f(x)=aexln x+ ,曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y=e(x-1)+2. (1)求a,b; (2)证明f(x)1.,-28-,由题意可得f(1)=2,f(1)=e.故a=1,b=2.,所以当x(0,1)时,h(x)0;当x(1,+)时,h(x)0.,-29-,故h(x)在(0,1)单调递增,在(1,+)单调递减,从而h(x)在(0,+)的最大值为h(1)=- . 综上,当x0时,g(x)h(x),即f(x)1. 解题心得证明不等式f(x)g(x)成立,可以构造函数H(x)=f(x)-g(x),通过证明函数H(x)的最小值大于等于零即可,可是有时候利用导数求函数H(x)最小值不易,可以通过特例法,