基本不等式(经典).ppt

3.4基本不等式:,普宁侨中 郑庆宏,2002年国际数学大会（ICM-2002）在北京召开，此届大会纪念封上的会标图案，其中央正是经过艺术处理的“弦图”。 它标志着中国古代的数学成就，又像一只转动着的风车，欢迎来自世界各地的数学家。,一、问题引入,情景设置,新课探究,新课探究,一般地，对于任意实数 ，我们有,当且仅当 时等号成立,思考：如何证明？,证明：,当且仅当 时， 此时,当且仅当a=b时，取“=”号,能否用不等式的性质进行证明？,小组合作：,在右图中，AB是圆的直径， 点C是AB上的一点， 设 AC = a , BC = b 。 过点C作垂直于AB的弦DE， 连接AD、BD。,基本不等式的几何意义是：“半径不小于半弦。”,E,P98探究,2.代数意义：几何平均数小于等于算术平均数,2.代数证明:,3.几何意义：半弦长小于等于半径,（当且仅当a=b时，等号成立）,二、新课讲解,3.几何证明:,从数列角度看:两个正数的等比中项小于等于它们的等差中项,1.思考:如果当 用 去替换 中的 ,能得到什么结论?,基本不等式,探究3,基本不等式：,当且仅当a =b时，等号成立.,当且仅当a=b时，等号成立.,重要不等式：,注意： （1）不同点：两个不等式的适用范围不同。,（2）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。,1.重要不等式,2.基本不等式（均值定理）,注意：基本不等式成立的要素：,（1）：看是否均为正数,（2）：看不等号的方向,（3）：看等号是否能取到,简言之：一正二定三相等,基本不等式,结论1：两个正数积为定值，则和有最小值,结论2：两个正数和为定值，则积有最大值,已知x1,求 x 的最小值以及取得最小值时x的值。,解：x1 x10 x （x1） 1 2 13,当且仅当x1 时取“”号.于是x2或者x0（舍去）,答：最小值是3，取得最小值时x的值为2,例1:,通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式.,例2（1）用篱笆围一个面积为100 的矩形菜园，问这个矩形的长宽各为多少时，所用篱笆最短？最短的篱笆是多少？,（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长宽各为多少时，菜园面 积最大？最大面积是多少？,解法一：,(2)设矩形菜园的宽为xm，则长为(36-2x)m，其中 0x18 ,解法二：,其面积为:,当且仅当2x=36-2x，即x=9时菜园面积最大，,即菜园长18m，宽为9 m时菜园面积最大为162 m2.,解：,【例3】某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3, 深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为 120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？,设水池底面一边的长度为xm， 则水池的宽为 ,水池的总造价为y元，根据题意，得,因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池 的总造价最低，最低总造价是297600元,牛刀小试,结论1：两个正数积为定值，则和有最小值,例3 已知x0,y0,且x+y=1 求 的最小值,(1)基本不等式取等号的条件 (2) “1”的代换在不等式中的应用,错,赵老师花10万元购买了一辆家用汽车,如果每年使用的保险费,养路费,汽油费约为0.9万元,年维修费第一年是0.2万元,以后逐年递增0.2万.则这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最少?,分析：,“年平均费用”的含义？,解：设使用x年后，年平均费用为y万元，则,即当x=10时，y有最小值3万元,答：使用10年后，年平均费用最少。,变式训练,知识