高中课程标准实验教材18-03.ppt

高中课程标准实验教材 数学 (必修4) 简介,张乃达 .CN,数学(必修4)的内容,第1章 三角函数 第2章 平面向量 第3章 三角恒等变换,本册教材的主要特点,1.主背景贯通全书 2.以“数学地研究”的一般程序来组 织教学内容 3.采用“问题链”为线索的呈现方式,第1章 三角函数, 任意角 、弧度 任意角的三角函数 三角函数的图象和性质,老教材的定位： 学习和研究一种新的数学工具：三角函数 提供背景：一个应用题（确定函数的最大值） 提出问题：无 明确任务：研究三角函数的意义，性质和应用 学习起点：三角函数究竟是什么？,新教材1的定位： 学习和研究描述周期现象的重要数学模型：三角函数 提供背景：广泛存在的周期性现象 提出问题：如何用数学的方法来刻画这种周期性现象 明确任务：研究三角函数(刻画周期性变化规律的数学 模型)的意义，性质和应用 学习起点：三角函数究竟是什么？,苏教版教材的定位： 展示对周期现象进行数学研究的过程，即建构刻画周期性现象的数学模型的过程 提供背景：自然界广泛存在着周期性现象，圆周上 一点的运动是一个简单又基本的例子 提出问题：用什么样的数学模型来刻画周期性运动? 明确任务：建构这样的数学模型. 教学起点：对周期性现象的数学研究,3. 教材特点,作为定位的具体体现，教材主要特点有： 1.以“数学地研究”的一般程序来组织教学内容 2.采用以问题链为线索的呈现方式 3.突出周期性 4.加强几何直观、形数结合，强调知识整合,以“数学地研究”的一般程序来组织教学内容 （1）教材以”建构研究应用”为主线展开 （2）教材充分发挥学习“函数”一章的经验在 建构“刻画周期性的数学模型”中的作用 （3）教材对传统的教学内容做了“强干削技” 的处理,（3）教材对传统的教学内容做了“强干削技” 的处理,抽出“三角变换”的内容，另立一章； 删减了余切、正割、余割函数 删减了“已知三角函数值求角”、反三角函数符号等内容 降低了对同角三角函数之间关系的要求 突出了基本的数学思想和数学地研究问题的方法。(如:建立三角函数模型解决应用问题),目的：重点放在理解三角函数及其性质、体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用。,采用以问题链为线索的呈现方式 （1）注意提出问题的环节 （2）注意问题间的逻辑联系 （3）强化目标（建构刻画周期性现象的 数学模型）的指向作用,突出周期性 （1）提示模型的本质 (周而复始的数学化) （2）引导对模型的数学研究 (图象与性质) 加强几何直观、形数结合，强调知识整合 （1）建构任意角三角函数 (斜边与终边) （2）诱导公式的研究 (形的对称) （3）函数图象的研究 (描点),4. 教学建议,1.准确把握教学要求 2.注意从数学模型的角度来认识三角函数，突出数学思想方法在数学模型建构中的作用 3.以问题为中心，充分发挥理性思维在建构数学模型中的作用 4.恰当地使用信息技术,案例1: 任意角的三角函数(新教材1),问：为什么要讨论锐角三角函数呢？ 回答可能是“为了建立任意角的三角函数的概念”。 问：为什么要建立任意角的三角函数的概念呢？ 回答可能是因为任意角的三角函数正是“刻画周期性现象的数学模型”。,问：为什么任意角的三角函数可以刻画周期性现象呢？ 可能的回答只能是：你们研究了三角函数的性质就知道了。,其实还有一个更尖锐的也是更重要的问题，今编者和学生都无法回答。这就是： 问：研究周期性现象时，你怎么会想到“锐角三角函数”的？ 由此可见，尽管学生看起来是参与了建立三角函数概念的活动，但是他们并不知道这些活动的意义！造成这种现象的根本原因，是由教材的定位造成的。因为教材是对三角函数的研究，而不涉及这个数学模型是如何从对周期性现象的研究中被建构出来的过程。,任意角的三角函数（苏教版）,问题链 （）怎样建构刻画周期性现象的数学模型 ? （）怎样刻画圆周上一点的运动? （）怎样表示圆周上的点? （）用怎样的数学模型建立（x,y）与 （r,）之间的关系? （）怎样将锐角的三角函数推广到任意角?,“用怎样的数学模型模型建立（x,y）与（r,）之间的关系？ 这就是考察锐角三角函数的“理由”。 那么，又怎么想到要研究（x,y）与（r,）间的联系的呢？ 这是因为用（r,）（x,y）都可以表示圆周上的点。 那么，为什么要表示圆周上的点呢？ 这是为了刻画圆周上点的运动。,那么为什么要刻画圆周上点的运动呢？ 这是因为它是周期现象的“一个简单又基本的例子” 为什么要研究周期现象呢？ 因为我们的任务就是要“建构刻画周期性现象的数学模型。” 这里使用的这是问题串，它揭示了建构数学模型的思维过程，在问题串的指引下，学生真正主动地参与了建构活动。,诱导公式的推导（苏教版）,由三角函数的定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等。除此以外还有一些角，它们的终边具有某种特殊关系，如关于坐标轴对称，关于原点对称等，那么它们之间的三角函数值之间具有什么样的关系呢？,问题是“从对三角函数的性质进行研究” 中派生出来的,诱导公式推导思路的比较,问题,特定角之 间的关系,诱导公式,问题,终边的 位置关系,三角函数值 之间的关系,诱导公式,终边上一点 的坐标,终边的位置 关系(对称),诱导公式所揭示的是终边有某种对称关系的两个角三角函数之间的关系。换句话说，诱导公式实质是将终边对称的图形关系”翻译“成三角函数之间的代数关系。,突出了形数结合思想,深刻地揭示了诱导公式的本质,案例3: 三角函数的图象与性质,“周而复始的基本性质必然蕴含在三角函数的性质之中”， 三角函数还具有哪些性质?,三角函数周期性的研究为后续图象与性质的研究起了铺垫作用,案例3: 三角函数的图象与性质,描点: 普适的一点S,第2章 平面向量, 向量的概念及表示 向量的线性运算 向量的坐标表示 向量的数量积 向量的应用,1. 教材定位,对一种具有丰富的几何背景与物理 背景的近代数学模型的研究. 经历向量模型的建构以及用向量方 法解决某些简单的平面几何问题、力学 问题与其他一些实际问题的过程，体会 向量是一种处理几何问题、物理问题等 的工具，发展运算能力和解决实际问题 的能力.,（1）向量是具有深刻的几何背景和物理背景 的数学模型. （2）向量是近代数学中重要的、基本的概念， 也是一种基本的数学工具. （3）在建构向量这一数学模型时，不仅要建 立向量的概念，更要建构和研究它的运 算.这对于学生可以说是一种全新的体验. 从数学发展的历程来说，也是运算的一 次飞跃.,提供背景：点P的表示 (OP的方向和OP的 大小)，位移、速度、力 提出问题：用什么样的数学模型来刻画这 样的量? 明确任务：建构这样的数学模型. 教学起点：对向量的数学研究,2. 本章结构,背景：圆周上一点的运动（点的表示）,3. 教材特点,1.按照数学模型研究的一般程序展开教材 2. 突出向量的物理背景和几何背景 3. 突出向量运算的核心地位 4. 突出向量与相关知识的联系 (整体贯通) (P83例),按照数学模型研究的一般程序展开教材,突出向量运算的核心地位,（1）运算是向量的核心内容，对中学生来说，第一次根据现实的原型，自觉地“构造”运算，这对于运算的理解是一个突破； （2）注意和数的运算进行类比; （3）和数学中的概念一样，数学对象的运算也是一种数学模型，要注意展示这个建构过程; （4）向量表示是运算的基础。向量的每一种表示方法，都建立了一种语言。对向量的运算也可以用不同的语言来进行; （5）向量是通过运算来解决问题的。,4. 教学建议,1.明确教学要求. 2.让学生主动参与建构活动. 3.让学生明确研究向量问题的基本思路. 4.注意本章和本模块与其它各章的关系. 5.让学生再一次感悟数学知识展开的顺序. 6.平面向量和空间向量的关系.,1.用什么样的数学模型来刻划位移，速度、力这样的量？ 2.这样的数学模型有什么性质与应用? 3.这里的向量OA，AB，OB之间有什么关系？ 4.这里，3a是何种运算的结果? 5. ，那么向量与向量能否“相乘”呢？,案例1:问题链,案例2:向量的加法,向量的加法就是从位移的积累，从分力和合力的关系中抽象出来的;向量的数量积是以功为原型抽象出来的.教学中要让学生经历这些抽象过程. 诱导公式、向量的加法.doc,案例3:向量的数量积,向量的数量积.doc,案例4: 向量的应用 (例2),你能否画一个几何图形来解释例2?,第3章 三角恒等变换, 两角和与差的三角函数 二倍角的三角函数 几个三角恒等式,1. 教材定位,把演绎的知识结构放在 “对周期性现象研 究”的大背景下展开. （1）对三角函数这一数学模型（运算）性质 的进一步研究（运动的叠加） （2）用演绎方法（借助于运算），建立数学 知识体系的一个范例. （3）发展学生的发现能力与推理运算能力.,2. 教材特点,（1）重视展现公式的发现和推导过程. （2）注意从运算的角度看待三角变换. （3）注意突出向量和三角函数的联系.,3. 本章结构,背景：圆周上一点的运动（运动的叠加）,4. 教学建议,1.准确地把握教学要求 2.重视公式 cos(-）的推导 3.重视基本的技能训练，熟悉公式的内在联系 4.突出化归的思想方法 5.和差化积、积化和差等公式的处理,案例1:关于 y=sinx+conx 的猜想,Sinx+conx Acos(x+) Sinx+conx = con(x- ) con(x- ) = (conx+sinx),关于 “本课重点” 的思考,案例2：cos(-)的推导,问题的提出（铺垫） 学生的思考（猜想） 推导； cos(-) 探究：直接推导cos(+),发展学生的推理能力与运算能力,1.设置问题鼓励学生独立思考，积极探究 2.用化归思想理解公式推导和变形的思路，把握住公式的内在联系和三角变换的思考方向 3.重视公式特点的分析和把握 4.发挥目标的指向作用,注意通过角的关系来寻找解题的思路 5.掌握基本的变换技巧,注重两种模式（完整的过程） “