概率论与数理统计1.ppt

概率论与数理统计,概率论是研究随机现象的统计规律的一门学科 特点：研究对象的不确定性,第一章 随机事件的概率,样本空间 一个随机试验的所有可能结果组成的集合，记为 。 其中每一个元素，即每次试验结果称为一个样本点 。,第一章 随机事件的概率,随机试验E 的样本空间 的子集，称为E的随机事件，或事件，用大写字母A，B，C, 表示 由一个样本点组成的单点集称为基本事件。 样本空间有两个特殊子集： 必然事件 ，和不可能事件,随机事件,随机试验 E 试验结果的多种可能性，事先知道 结果的不能预测性,例如 E1 抛硬币试验 E2 连抛两个硬币 E4 进入超市的人数 E5 测试电视机寿命 E6 观测天气,第一章 随机事件的概率,第一章 随机事件的概率,事件间的关系和运算,运算 规律,交换律 结合律 分配律 对偶律,第一章 随机事件的概率,第一章 随机事件的概率,例1. 设A，B，C是随机事件，则事件 “A 与 B 发生，C 不发生” “A，B，C 至少两个发生” “A，B，C 恰好两个发生” “A，B，C 不多于一个事件发生” 例2. 用集合表示下面随机试验中的样本空间与随机事件A 抛骰子试验，A = “出现偶数点”事件 射击活动，当击中后便停止开枪。事件 A = “不超过3次的射击次数” 某地温度上下限为T0 到T1，一昼夜可能出现的最高最低气温表示为(x, y)；事件 A = “一昼夜内该地的温差为 10”,例题,第一章 随机事件的概率,概率 一次试验中事件 A 发生的可能性，成为事件A的概率，记为 P(A)。,概率的计算 （1）古典概型: 事件A包含的基本事件数/样本空间中的事件数 P(A)=nA / n （2）几何概型: 事件A的区域面积/样本空间的区域面积 P(A)=SA / S,第一章 随机事件的概率,概率的性质,P()=1, P()=0, 0P(A)1 2.（有限可加性）若A1,A2,A3两两互不相容 P(A1A2A3) = P(A1)+P(A2)+P(A3) 3. 若A B,则P(B-A) = P(B)-P(A), P(B)P(A) 4. P( ) = 1-P(A) 5. （加法公式）对任两个事件 P(AB) = P(A)+P(B)-P(AB),第一章 随机事件的概率,例1. P(A) = 0.3, P(AB) = 0.6; P(B) = ? 例2. P(A) = P(B) = 0.5, 求证 P(AB) = P( ) 例3. 袋中 4 只白球，2 只黑球，无放回依次摸 2 只球，试求取到两只球： （1）都是白球的概率；（2）同色球的概率 （3）至少一只白球的概率 例4. n 个球随机放入 N（N n）个盒子中去，求每个盒子至多有一个球的概率，恰有 n 个盒子中各有一个球的概率 例5 （Buffen投针问题）平行线距离为 a(a 0)，投掷一枚长 (L a) 的针，求针与平行线相交的概率,例题,1. 2. 3.,第一章 随机事件的概率,条件概率 A, B两事件，P(A) 0，在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率称为条件概率，记为P(B|A),P(B) P(B|A)， 由于样本空间不同,一般地 P(B) P(B|A),例如，掷骰子。在掷出偶数点的条件下，掷出2 点的概率,A = 掷出 2 点， B = 掷出偶数点，,P(A ) = 1/6 ，P(A|B) = ？,已知事件 B 发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是 B，,P(A|B)= 1/3.,B 中共有 3 个元素,它们的出现是等可能的, 其中只有 1 个在集 A 中。于是,容易看到,P(A )=3/10，,又如，10 件产品中有 7 件正品，3 件次品，7 件正品中有 3 件一等品，4 件二等品。现从这 10 件中任取一件，恰是正品，问：它是一等品的概率。记,B = 取到正品,A=取到一等品，,则,计算 P(A|B) 时，一等品的比例这个前提条件未变，只是加上“事件B已发生”这个新的条件。,这个条件，使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题.,若事件 B 已发生, 则为使 A 也发生 , 试验结果必须是既在 B 中又在 A 中的样本点 , 即此点必属于AB. 由于我们已经知道 B 已发生, 故 B变成了新的样本空间 , 于是 有(1)。,设 A、B 是两个事件，且 P(B) 0, 则称 (1),2. 条件概率的定义,为在事件 B 发生的条件下,事件 A 的发生概率.,3. 条件概率的性质(自行验证),例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出 6 点,问“掷出点数之和不小于 10 ”的概率是多少?,解法1,解法2,解： 设A=掷出点数之和不小于10 B=第一颗掷出6点,应用定义,在 B 发生后的缩减样本 空间中计算,由条件概率的定义：,即 若P(B) 0, 则P(AB) = P(B) P(A|B) (2),而 P(AB) = P(BA),二、 乘法公式,若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB).,将A、B的位置对调，有,故 P(A) 0 , 则 P(AB) = P(A) P(B|A) (3),若 P(A) 0, 则 P(BA) = P(A) P(B|A),(2)和(3)式都称为乘法公式, 利用 它们可计算两个事件同时发生的概率,例2 甲、乙两厂共同生产 1000 个零件，其中 300 件是乙厂生产的. 而在这 300 个零件中，有 189 个是标准件，现从这1000 个零件中任取一个，求这个零件是乙厂生产的标准件的概率？,所求为P(AB).,甲、乙共生产 1000 个,189个是 标准件,设 B=零件是乙厂生产,A=是标准件,若改为“发现它是 乙厂生产的, 问它 是标准件的概率 是多少?”,求的是 P(A|B) .,B 发生, 在 P(AB) 中作为结果; 在 P(A|B) 中作为条件.,条件概率 P(A|B) 与 P(AB) 的区别,条件概率 P(A|B) 与 P(A) 的区别,每一个随机试验都是在一定条件下进行的 ,设 A 是随机试验的一个事件，则 P(A) 是在该试验条件下事件 A 发生的可能性大小.,P(A) 与 P(A |B) 的区别在于两者发生的条件不同,它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同.,而条件概率 P(A|B) 是在原条件下又添加 “B 发生 ” 这个条件时A发生的可能性大小, 即 P(A|B) 仍是概率.,例3 设某种动物由出生算起活到 20 年以上的概率为0.8，活到 25 年以上的概率为 0.4. 问现年 20 岁的这种动物，它能活到 25 岁以上的概率是多少？,解 设A = 能活20年以上，B = 能活25年以上,依题意， P(A) = 0.8, P(B) = 0.4,所求为 P(B|A) .,多个事件的乘法公式,设 A，B，C为三个事件，且 P(AB) 0，则,乘法公式应用举例,一个罐子中包含 b 个白球和 r 个红球. 随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进 c 个与所抽出的球具有相同颜色的球. 这种手续进行四次 ，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率.,（波里亚罐子模型）,于是 W1W2R3R4 表示事件“连续取四个球，第一、第二个是白球，第三、四个是红球. ”,随机取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进 c 个与所抽出的球具有相同颜色的球.,解 设 Wi=第i次取出是白球, i=1,2,3,4,Rj=第j次取出是红球， j=1,2,3,4,用乘法公式容易求出,当 c 0 时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率. 这是一个传染病模型. 每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.,=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3),P(W1W2R3R4),一场精彩的足球赛将要举行, 5个 球迷好不容易才搞到一张入场券。大家都想去,只好用抽签的方法来解决。,5 张同样的卡片,只有一张上写有“入场券”,其余的什么也没写. 将它们放在一起,洗匀,让 5 个人依次抽取.,后抽比先抽的确实吃亏吗？,到底谁说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下,每个人抽到“入场券”的概率到底有多大?,“大家不必争先恐后，你们一个一个 按次序来，谁抽到入场券的机会都 一样大.”,我们用Ai表示“第i个人抽到入场券” i1,2,3,4,5.,显然，P(A1)=1/5，P( )4/5,第1个人抽到入场券的概率是1/5.,则 表示“第i个人未抽到入场券”,因为第 2 个人抽到 入场券，第 1 个人 肯定没抽到.,也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1个人未抽到，计算得：,由于,由乘法公式,P(A2) = (4/5)(1/4) = 1/5,这就是有关抽签顺序问题的正确解答.,同理，第 3 个人要抽到“入场券”，必须第 1、第 2 个人都没有抽到。 因此,继续做下去就会发现, 每个人抽到“入场券” 的概率都是1/5.,抽签不必争先恐后.,也就是说，,P(A3) = (4/5)(3/4) (1/3) = 1/5,例4 设袋中有 5 个红球，3 个黑球，2 个白球，试按 （1）有放回抽样；（2）不放回抽样两种方式摸球三次 每次摸得一球，求第三次才摸得白球的概率。,解：设 A = 第一次未摸得白球 ； B = 第二次未摸得白球 ； C = 第三次未摸得白球 ； 则，事件“第三次才摸得白球”可表为 ABC。,（1）有放回抽样,（2）不放回抽样,例6 设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下打破的概率为 0.5，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率是 0.7，若前两次均未打破，第三次落下打破的概率为 0.9。试求透镜落下三次未打破的概率。,解：设 Ai = 透镜第 i 次落下打破 ，i = 1, 2, 3, B = 透镜落下三次未打破 ， 则,另解：,第一章 随机事件的概率,例2100 件产品中，有 5 件废品。不放回抽样检查，若抽查 5 件至少有一件废品，则拒购这批产品，求拒购概率。,例1. 10个球，3 黑 7 白，不放回连取两球： 若第一次是黑球，第二次仍是黑球的概率； 若第二次是黑球，第一次也是黑球的概率。,第一章 随机事件的概率,例题,第一车间的次品率为 0.15，第二车间的次品率为 0.12。两车间的产品分别有 2000 件和 3000 件，混放在仓库里，问： 在仓库里随机取一件成品，其次品率是多少？ 若取到一件次品，由一车间生产的概率是多少？,从仓库里随机取一件成品：设事件 A1，A2 分别为一、二车间生产的产品；事件 B 为该产品是次品。 第一车间的产品占 P(A1) = 0.15，次品率 P(B|A1) = 0.4， 第二车间的产品占 P(A2) = 0.12，次品率 P(B|A2) = 0.6 . 第一问求 P(B)，第二问求 P(A1|B).,第一章 随机事件的概率,全概率公式,设事件 A1,A2 互不相容，P(A1) 0，P(A2) 0，且 B A1A2， 则对事件 B 有: P(B) = P(A1) P(B|A1) + P(A2) P(B|A2),P(B) = P(BA1)+P(BA2) = P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2),仅仅使用加法法则或乘法法则无法计算其概率. 于是先将复杂的事件 B 分解为较简单的事件 AB 与AB; 再将加法法则与乘法法则结合起来, 计算出需要求的概率. 把这个想法一般化, 得到全概率定理, 又称全概率公式.,全概率定理的图形理解,如图所示, 事件B的面积为B与各个事件Ai相交的面积之和.,全概率定理解题的思路,用全概率定理来解题的思路，从试验的角度考虑问题，一定是将试验分为两步做，将第一步试验的各个结果划分为一些完备事件组（互不相容，又不遗漏） A1, A2, , An 然后在这每一事件下计算或给出某个事件B发生的条件概率； 最后用全概率公式综合。 全概率的精神在于把复合事件分解为简单事件。,例 有 12 个乒乓球都是新球, 每次比赛时取出 3 个用完后放回, 求第3 次比赛时取到的 3 个球都是新球的概率。,因为一开始都是新球, 因此第一次只能取到 3 个新球，当第二次取球的时候, 12 个乒乓球中必然有 3 个旧球。 假设 B0, B1, B2, B3 为第二次取到 0 个, 1 个, 2 个 3 个新球, 而 B0, B1, B2, B3 构成完备事件组，并能够求出它们的概率。 再假设 C3 为第三次取到 3 个新球的事件，则针对 C3 使用全概率公式。,解：,第一章 随机事件的概率,贝叶斯公式,设事件 A1, A2 互不相容， P(A1) 0，P(A2) 0，且B A1A2，则有,（逆概率公式）,_,P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2),P(A1)P(B|A1),后验概率,先验概率,P(A1|B) =,贝叶斯定理解题的题型与全概率定理的题型完全一样, 只是要求的是一个条件概率, 是在信息论中的重要公式, 即在二次试验后, 观察者只能看到最后的结果事件 B, 却要根据 B来推断第一步试验的哪个事件发生了的条件概率,贝叶斯定理解题的思路,第一章 随机事件的概率,例题 诊断肝癌问题 已知肝癌患者0.95能被诊断出来，非肝癌患者0.98会被排除有病，而肝癌患者约占0.004。问：诊断出患有肝癌的人中确有肝癌的概率是多少？,设 C = “的确患有肝癌”， A = “诊断有肝癌”。 则 P(A|C) = 0.95, P(A|C) = 0.98, P(C) = 0.004 P(A) = P(A|C)*P(C) + P(A|C)*P(C) = 0.95*0.004 + 0.02*0.996 = 0.02372 P(C|A) = P(A|C) P(C) / P(A) = 0.95*0.004 / 0.02372 = 0.16,在使用全概率公式和贝叶斯公式的题型中, 关键的一步是要使用一完备事件组， 而最常用的完备事件组，是一事件 A 与它的逆 A 构成的完备事件组， 这时的全概率与贝叶斯公式为, (应在考试前专门将它们记住).,1987年理工科硕士入学考试题,有两个箱子, 第一个箱子有 3 个白球 2 个红球, 第二个箱子有 4 个白球 4 个红球. 现从第 1 个箱子中随机地取 1 个球放到第 2 个箱子里, 再从第 2 个箱子中取 1 个球, 此球是白球的概率为_, 已知上述从第 2 个箱子中取出的球是白球, 则从第 1 个箱子中取出的球是白球的概率为_.,解 假设事件A为从第1个箱子取出的是白球, B为从第2个箱子取出的是白球, 第一步试验中的 A 与A 构成完备事件组, 则,1999年MBA试题,(A) 0.5626 (B) 0.5 (C) 0.45 (D) 0.375 (E) 0.225,甲盒内有红球 4 只, 黑球 2 只, 白球 2 只; 乙盒内有红球 5 只, 黑球 3 只; 丙盒内有黑球 2 只, 白球 2 只, 从这 3 只盒的任意一只中取出 1 只球, 它是红球的概率是( ),解 假设A1,A2,A3为取到甲,乙,丙盒的事件, 这是第一步试验的各事件, 构成完备事件组. 假设B为最后取出的是红球的事件.,例6 经分析利率下调的概率为 60%, 利率不变的概率为 40%。如利率下调, 股价上涨的概率为 80%, 而在利率不变的情况下, 股价上涨的概率为 40%。求股价上涨的概率。,解： 记A为事件“利率下调“, 则A为“利率不变, 记B为事件“股价上涨“. 据题设知 P(A)=60%, P(A )=40%, P(B|A)=80%, P( B|A)=40%. 于是 P(B)=P(AB)+P(AB ) =P(A)P(B|A)+P(A )P( B |A ) =0.60.8+0.40.4=0.64.,例7 对以往数据分析结果表明, 当机器调整良好时, 产品的合格率为98%, 而当机器发生某种故障时, 其合格率为55%. 每天早上机器开动时, 机器调整良好的概率为95%. 试求已知某日早上第一件产品是合格时, 机器调整良好的概率是多少?,解 设 A为事件“产品合格”, B 为事件“机器调整良好”。 已知 P(A|B) = 0.98, P(A|B) = 0.55, P(B) = 0.95, P(B) = 0.05, 所需求的概率为 P(B|A)。则,这就是说, 当生产出第一件产品是合格品时, 此时机器调整良好的概率为 0.97。 这里, 概率 0.95 是由以往的数据分析得到的, 即为先验概率。而在得到信息(即生产出的第一件产品为合格品)之后再重新加以修正的概率 0.97 即为后验概率。有了后验概率我们就能对机器的情况有进一步的了解。,第一章 随机事件的概率,全概率公式、贝叶斯公式,1甲乙丙三人独立地同时瞄准飞机射击，击中的概率均为 2/3. 飞机遭一击而落的概率为 1/6，遭两击而落的概率为 1/2，遭三击则必落。 求飞机可被击落的概率。 2男人中的 4% 以及女人中的 0.25% 都为色盲。从男女相等的人群中随机挑出一人恰好是色盲，问其是男性的概率是多少？,练习,在这两个公式中，有两类事件： 果(事件)B 因(事件)A1, A2, ,第一章 随机事件的概率,相互独立事件,若 P(AB) = P(A) P(B)，则称事件 A 与 B 相互独立。,充要条件：P(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B),例，A = “概率学得好的同学” B = “篮球打得好的同学” 事件 A 与 B 相互独立,A,B,B在A和A的补里面的比例分配相同,相互独立事件,若事件 A 与 B 相互独立，则 A 与 也相互独立。,P(A) 0, P(B) 0, 事件 A, B 相互独立与互不相容不能同时成立。,第一章 随机事件的概率,当 A，B 相互独立 当 A，B 互不相容,A,第一章 随机事件的概率,相互独立事件,事件 A, B, C 相互独立： P(ABC) = P(A)P(B)P(C) P(AB) = P(A)P(B), P(AC) = P(A)P(C), P(BC) = P(B)P(C),事件 A, B, C 两两相互独立，例如：掷两枚骰子 A “第一掷是奇数” B “第二掷是奇数” C “两掷和是偶数” 则未必 A,B,C 相互独立,B,C,A,B,C,相互独立事件,例题,1. 设两事件A与B相互独立： 若P(A)=0.6, P(B)=0.7, 则P(A-B)= ； 若P(AB)=0.6, P(A)=0.4, 则P(B)= ；,第一章 随机事件的概率,解：,第一章 随机事件的概率,相互独立事件,2设 A 与 B 为事件，下述命题是否正确？ 若 A 与 B 相互独立，则 A 与 B 互不相容； 若 A 与 B 互逆，P(A) 0, P(B) 0,则 A 与 B 相互独立； 若 A 与 B 相互独立，则 B 与 A 也相互独立； 三事件彼此两两独立，则相互独立； 三事件相互独立，则彼此两两独立。 3袋中有 6 个白球，2 个黑球，有放回的抽两次，“第一次抽到白球” 与 “第二次抽到白球” 两事件是否独立？,例题,（随机）事件,（事件的）概率,概率的性质与公式,事件的运算与关系,随机试验的样本空间 子集，称为随机事件，用大写字母表示,一次试验中事件 A 发生的可能性，称为事件A的概率，记为 P(A)。,和事件 积事件 包含 相等 互逆 不相容 独立,P()=1, P()=0, 0P(A)1 (有限可加性)两两互不相容事件： P(A1A2A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3) 3. 加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式,小结,条件概率,第一章 随机事件的概率,第一章作业,1，2，8，9，15，16，17，22，23，24，25，29，30，31，32，33,第二章 随机变量及其分布,随机变量 随机试验 E 的样本空间 = ，若对任一 都有实数 X()与之对应，则称为随机变量，简记为 X。,随机变量X = X() 是定义在样本空间 上的实数单值函数,随机事件是随机变量在某一范围内的取值,从而对随机事件的研究，转化为对随机变量的研究，进而可以采用数学分析的方法对随机试验的结果作深入广泛的研究。,第二章 随机变量及其分布,例 抛硬币试验 X() = 0，1 电话呼叫次数 X() = k, k=0,1,2, 天气预报,晴,云,阴,雨 X() = 1,2,3,4 电视机寿命测试 X() = x, x0,第二章 随机变量及其分布,离散型随机变量及其概率分布,概率函数:,例 某厂的产品有一级/二级/三级/等外品4级，其样本空间是1,2,3,4。 对应的随机变量X的概率函数为: P(X=1)=1/4, P(X=2)=1/3, P(X=3)=1/4, P(X=4)=1/6.,概率函数，概率分布，分布律 同义,显然,第二章 随机变量及其分布,离散型随机变量及其概率分布,随机事件的概率: “该厂生产非一级品的概率” P(2X) = 3/4 “该厂生产2,3级品的概率” P(2X4) = 7/12 “该厂生产等内品的概率” P(X4) = 5/6,第二章 随机变量及其分布,设 X 为随机变量，x 为任意实数，称函数 F(x) = P(X x) 为 X 的分布函数。 这个函数完整地描述了随机变量的取值规律。 F(x)是普通的实函数： 单调递增 x1 x2, 则 F(x1) F(x2) 有界性 0 F(x) 1 右连续性 F(x + 0) = F(x) 计算 X 落在区间 x1, x2 的概率： P(x1 X x2) = F(x2) - F(x1),第二章 随机变量及其分布,某厂的产品有一级/二级/三级/等外品4级，其样本空间是1,2,3,4。对应的随机变量X的概率函数为: F(0) = P(X 0) = 0, F(1) = P(X1) = 1/4, F(2) = P(X2) = 7/12, F(3) = P(X3) = 10/12, F(4) = P(X4) = 1. 那么 F(-1) = ?, F(1.6) = ?, F(6) = ?,第二章 随机变量及其分布,分布函数：,第二章 随机变量及其分布,重要的离散型随机变量的分布 两点分布（01分布）只有两个结果的试验 X B(1, p),二项分布 以概率 p 的 n 重贝努里概型试验中，事件出现次数的概率分布 X B(n, p),第二章 随机变量及其分布,二项分布 X B(5, 0.2),第二章 随机变量及其分布,泊松(Poisson)分布 二项分布当n时的极限分布，如电话的呼入次数，超市每天顾客到来数。设 = np， X P(),重要的离散型随机变量的分布,第二章 随机变量及其分布,例,盒中12只晶体管，2只是次品。从中任取3只，求次品数 X 的分布律。 2. 假设随机变量的分布律： P(X = k) = k/n, k = 1,2,3,4,5. 则 n = P(X = k) = k/15, k = 1,2,3,4,5. 则P(0.5 X 2.5)= P(X = k) = kp + (1- k)(1- p), 且P(X = 1) = 3P(X = 0) 则p P(X = k) = Ck / k! , k = 0,1, , 则 C = 3.设随机变量XB(n,p),且 P(X = 2) = 2P(X = 3) = P(X = 1)。求（1）n, p； （2） P(X = 4),第二章 随机变量及其分布,例,4. 五台车床，每台处于停车的概率为1/3： 任一时刻两台车的停车概率； 至少有一台车停车的概率 5. 某人射击命中率为 0.01，独立射击 500 次： (1)最可能命中多少次；(2)至少命中 2 次的概率 6. 从发芽率为 0.8 的一批种子中任取 10 粒种子，求其发芽数不少于 8 粒的概率。 7. 电话交换机每分钟接到呼唤的次数 X P(3)，求每分钟(1)恰有 3 次，(2)至少两次呼唤的概率 8. 随机变量 X P() 取到什么值的概率最大？,第二章 随机变量及其分布,连续型随机变量,若分布函数 F(x) 是一条连续曲线，那么 X 就是连续型随机变量。（C.R.V）,分布函数 F(x) = P(Xx) P(xXx+x) = F(x+x) F(x) P(xXx+x)x = F(x+x) F(x) x 令 x0，则 f (x) = F(x),f (x) 称随机变量 X 的概率(线)密度,连续、可导,第二章 随机变量及其分布,蓝条面积： P(x1 X x2) f(x)x, 概率 连续曲线下面积,注意到 f(x) 意味着，f(x) 表示单位线度上分布的概率，即概率线密度。,第二章 随机变量及其分布,密度函数与分布函数的关系：,容易证明,性质,计算概率,第二章 随机变量及其分布,例,1. 随机变量 X 的概率密度， 求（1）P(1 X 2), P(0 X 3)； （2）X 的分布函数。,解：,第二章 随机变量及其分布,例,2. 已知分布函数 求（1）常数 A；（2）P(X 2), P(0 X 3), P(2 x 2.5);（3）概率密度 f(x)。,解：,第二章 随机变量及其分布,例,3. 随机变量 X 的概率密度， 其中k 0 为已知常数, 求 （1）未知数 A；（2）概率 P( 0 X 1/k )。,解：,第二章 随机变量及其分布,常见连续分布：,1. 均匀分布 XU(a, b),a = 0 b1 = 4 b2 = 6 b3 = 8,第二章 随机变量及其分布,常见连续分布：,2. 正态分布 XN(,2 ),第二章 随机变量及其分布,常见连续分布：,标准正态分布 性质 查表 设 X N(1,4), 求 P(X1),PX1 = 1 F(1)+F( 1) = 0.5 + (-1) =1.5 (1),第二章 随机变量及其分布,常见连续分布：,3. 指数分布 XE(),第二章 随机变量及其分布,选择题,设随机变量 X 的概率密度函数 f(x) 是偶函数，分布函数为 F(x)， 则对任意常数 a 0, P(|X| a) = (A)2(1 F(a); (B)2F(a) 1; (C)2 F(a); (D) 1 2F(a) 2. 某汽车站从早上 6 点起，每 15 分钟一班车通过，若乘客到达此站的时间是 8 点到 9 点之间服从均匀分布的随机变量，则他等车时间不超过 5 分钟的概率是 (A)1/15 ; (B)1/3; (C)1/4; (D)2/3 3. 设随机变量 X R(1, 5)，对 X 作三次独立观察，则至少有两次观察值大于