抛物线的几何性质.ppt

,2.4.2抛物线的简单几何性质,一、温故知新,(一) 抛物线的定义,平面内，到定点F的距离与到定直线l的距离相等的点的轨迹.,(定点F不在定直线l上),(二) 抛物线的标准方程,(1)开口向右,y2 = 2px (p0),(2)开口向左,y2 = -2px (p0),(3)开口向上,x2 = 2py (p0),(4)开口向下,x2 = -2py (p0),由抛物线y2 =2px（p0）,所以抛物线的范围为,二、探索新知,如何研究抛物线y2 =2px（p0）的几何性质?,即点(x,-y) 也在抛物线上,故 抛物线y2 = 2px(p0)关于x轴对称.,则 (-y)2 = 2px,若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px，,定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点。,y2 = 2px (p0)中， 令y=0,则x=0.,即：抛物线y2 = 2px (p0)的顶点（0，0）.,抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率。,由定义知， 抛物线y2 = 2px (p0)的离心率为e=1.,抛物线的离心率为一定值，那么什么在影响抛物线形状？,F,A,B,y2=2px,2p,过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的通径，,利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图.,|AB|=2p,2p越大，抛物线张口越大.,连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。,|PF|=x0+,焦半径公式：,F,例1、过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线交抛物线于A,B两点,求证：以AB为直径的圆和这条抛物线的准线相切。,x,O,y,F,A,B,D,例2、探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口圆的直径为60cm,灯深40cm，求抛物线的标准方程及焦点的位置。,F,y,x,O,解：如图所示，在探照灯的轴截面所在平面建立直角坐标系，使反光镜的顶点与原点重合，x轴垂直于灯口直径。,A,B,设抛物线的标准方程是： 由已知条件可得点A的坐标是（40，30），代入方程可得,所求的标准方程为 焦点坐标为,分析:观察图,正三角形及抛物线都是轴 对称图形,如果能证明x轴是它们的公共的对称轴,则容易求出三角形的边长.,焦点弦的长度,练习过抛物线y2=4x的交点做直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1+x2=6，那么AB=( ) A.10 B.8 C.6 D.4,练习: 1.过抛物线 的焦点,作倾斜角为 的直线,则被抛物线截得的弦长为,y2 = 8x,2.过抛物线的焦点作倾斜角为 的直线L,设L交抛物线于A,B两点,(1)求|AB|;(2)求|AB|的最小值.,例5、已知直线l：x=2p与抛物线 =2px(p0)交于A、B两点，求证：OAOB.,证明：由题意得，A(2p,2p),B(2p,-2p) 所以 =1， =-1 因此OAOB,变题1 若直线l过定点(2p,0)且与抛物线 =2px(p0)交于A、B两点，求证：OAOB.,证明（1）当直线l斜率存在时设 其方程为y=k(x-2p),所以OAOB.,代入y2=2px得，,可知,又,（2）当直线l斜率不存在时设 其方程为x=2p,变题2： 若直线l与抛物线 =2px(p0)交于A、B两点， 且OAOB ，则_,直线l过定点(2p,0),验证：由 得 所以直线l的方程为 即 而因为OAOB ，可知 推出 ，代入 得到直线l 的方程为 所以直线过定点（2p,0).,三、典例精析,例1、某抛物线的顶点是椭圆16x2+9y2=144的中心，