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,10.3 格林公式及其应用,一、格林公式,1. 平面单连通区域的概念,单连通区域 :设D为平面区域, 如果D内任 一闭曲线所围的部分都属于D; 复连通区域 : 非单连通区域.,规定:当观察者沿L的这个方向行走时, D内 在他近处的那一部分总在他的左边.,2. 平面区域D的边界曲线L的正方向,设闭区域D由分段光滑的曲线L围成, 函数P(x,y), Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数, 则有,定理1,3.格林公式,其中L是D的取正向的边界曲线 .,证明(1),同理可证,两式相加得,证明(2),证明(3),由(2)知,格林公式成立的条件：,1）P, Q 在D上具有一阶连续偏导数; 2）L是闭路.,格林公式的应用计算平面面积,例1 求椭圆 所围成图形的面积A.,证: 令,则,利用格林公式 , 得,例3 计算 ， 其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线, L的方向为逆时针方向.,D,L,D,解,(注意格林公式的条件),例4 计算 其中L是由A(0,一1)沿半圆周 到B(0,1)。,A(0,一1),B(0,1),解,利用格林公式，注意L不是闭路,故加作辅助线：直线BA,如果在区域G内有,A,B,1.曲线积分与路径无关的定义,二、平面上曲线积分与路径无关的条件,定理2 设开区域G是一个单连通域, 函数P,Q在G内具 有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价:,2. 曲线积分路径无关的条件,(4) 对G 内任意闭曲线C: .,(3) (x,y) G, ;,(2)在G内存在u(x,y),使得,(1)在G内曲线积分 与路径无关;,证明 (1) (2),在D内取定点,因曲线积分,则,同理可证,因此有,和任一点B( x, y ),与路径无关,有函数,证明 (2) (3),设存在函数 u ( x , y ) 使得,则,P, Q 在 D 内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有,证明 (3) (4),设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图) ,利用格林公式 , 得,所围区域为,证毕,说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为,证明 (4) (1),设,为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲,线,则,(根据条件(4),注,(1)定理条件:,(2) 求u(x,y):使得 du=P(x,y) dx+Q(x,y) dy,解,例7 验证,是某个函数的全微分, 并求,出这个函数.,证: 设,则,由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使,。,。,例8 验证,在右半平面 ( x 0 ) 内存在原函,数 , 并求出它.,证: 令,则,由定理 2 可知存在原函数,或,解:,这里,则有,可见, 在不含原点的单连通区域内积分
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