时域离散信号和时域离散系统1.ppt

第一章 时域离散信号和 时域离散系统,第一节 学习目标,掌握序列的概念及其几种典型序列的定义，掌握序列的基本运算，并会判断序列的周期性； 掌握线性/移不变/因果/稳定的离散时间系统的概念并会判断，掌握线性移不变系统及其因果性/稳定性判断的充要条件； 理解常系数线性差分方程及其用迭代法求解单位抽样响应； 了解对连续时间信号的时域抽样，掌握奈奎斯特抽样定理，了解抽样的恢复过程。,x(n)代表第n个序列值， 在数值上等于信号的采样值,x(n)只在n为整数时才有意义,一、离散时间信号序列,序列：对模拟信号 进行等间隔采样，采样间隔为T， 得到 n取整数。对于不同的n值， 是一个有序的数字序列： 该数字序列就是离散时间信号。实际信号处理中，这些数字序列值按顺序存放于存贮器中，此时nT代表的是前后顺序。为简化，不写采样间隔，形成x(n)信号，称为序列。,1、序列的运算,移位 翻褶 和 积 累加 差分 时间尺度变换 卷积和,1）移位,序列x(n)，当m0时 x(n-m)：延时/右移m位 x(n+m)：超前/左移m位,2）翻褶,x(-n)：是以n=0的纵轴为 对称轴将序列x(n) 加以翻褶,3）和,同序列号n的序列值 逐项对应相加,4）积,同序号n的序列值 逐项对应相乘,5）累加,6）差分,前向差分： 后向差分：,7）时间尺度变换,：压缩、抽取 ：伸展、插值,8）卷积和,设两序列x(n)、 h(n)，则其卷积和定义为：,1）翻褶：,2）移位：,3）相乘：,4）相加：,举例说明卷积过程,卷积和与两序列的前后次序无关,2、几种典型序列,1）单位抽样序列,2）单位阶跃序列,与单位抽样序列的关系：,3）矩形序列,与其他序列的关系：,4）实指数序列 为实数,5）复指数序列,为数字域频率,例：,6）正弦序列,模拟正弦信号：,数字域频率是模拟域频率对采样频率的归一化频率,7）任意序列 x(n)可以表示成单位取样序列的移位加权和，也可表示成与单位取样序列的卷积和。,例：,3、序列的周期性,若对所有n存在一个最小的正整数N，满足 则称序列x(n)是周期性序列，周期为N。,例： 因此，x(n)是周期为8的周期序列,讨论一般正弦序列的周期性,分情况讨论,1）当 为整数时 2）当 为有理数时 3）当 为无理数时,例：判断,是否是周期序列？,讨论：若一个正弦信号是由连续信号抽样得到，则抽样时间间隔T和连续正弦信号的周期T0之间应是什么关系才能使所得到的抽样序列仍然是周期序列？,设连续正弦信号：,抽样序列：,当：,为整数或有理数时，x(n)为周期序列 如果：f = 2f0 , w0=; f = f0 , w0= 2,令：,例：,N，k为互为素数的正整数,即,N个抽样间隔应等于k个连续正弦信号周期,4、序列的能量,定义为：序列各抽样值的平方和,二、线性移不变系统,一个离散时间系统是将输入序列变换成输出序列的一种运算。,1、线性系统,若系统 满足叠加原理： 或同时满足： 可加性： 比例性/齐次性： 其中： 则：此系统为线性系统。,例：证明由线性方程表示的系统,是非线性系统。,扩充：增量线性系统,2、移不变系统,定义：若系统响应与激励加于系统的时刻无关，则称为移不变系统（或时不变系统）。,例：试判断,是否是移不变系统？,线性移不变系统：同时具有线性和移不变性的离散时间系统。 LSI：Linear Shift Invariant,3、单位抽样响应与卷积和,单位抽样响应h(n)是指输入为单位抽样序列 时的系统输出：,对LSI系统，讨论对任意输入的系统输出,结论：一个LSI系统可以用单位抽样响应h(n)来表征，任意输入的系统输出等于输入序列和该单位抽样响应h(n)的卷积和。,思考: 当x(n)的非零区间为N1,N2，h(n)的非零区间为M1,M2时，求解系统的输出y(n)又如何分段？ 结论： 若有限长序列x(n)的长度为N，h(n)的长度为M，则其卷积和的长度L为： L=N+M-1,4、LSI系统的性质,交换律,结合律,h1(n),x(n),h2(n),y(n),h2(n),x(n),h1(n),y(n),h1(n)*h2(n),x(n),y(n),分配律,5、因果系统,定义：若系统 n时刻的输出，只取决于n时刻以及n时刻以前的输入序列，而与n时刻以后的输入无关，则称该系统为因果系统。,LSI系统是因果系统的充要条件：,6、稳定系统,定义：稳定系统是有界输入产生有界输出的系统。 若：,LSI系统是稳定系统的充要条件：,则：,结论：因果稳定的LSI系统的单位抽样响应是因果的，且是绝对可和的，即,1.4 线性常系数差分方程,只描述或者研究系统输出和输入之间的关系， 这种方法称为输入输出描述法。,模拟系统,常系数微分方程,离散系统,常系数差分方程,1.4.1 线性常系数差分方程,一个N阶常系数线性差分方程，其一般形式为,其中：ai，bi都是常数,与n无关，故称“常系数”； x(n-i), y(n-i)只有一次幂，体现“线性”； y(n-i)项变量的最大值与最小值之差确定“阶数”。,或者：,差分方程的特点：,采用差分方程描述系统简便、直观、易于计 算机实现； 2. 容易得到系统的运算结构； 3. 便于求解系统的瞬态响应。 但：差分方程不能直接反应系统的频率特性和稳定性等；实际上用来描述系统多数还是用系统函数。,1.4.2 线性常系数差分方程的解,时域经典法：类似于解微分方程，全响应=齐次解+特解，并由边界条件求待定系数。过程繁琐，应用很少，但物理概念比较清楚。 迭代法(递推法)：比较简单，适用于计算机求解，但只能得到一系列数值解（瞬态解），不能直接给出一个完整的解析式。 卷积法：由差分方程求出系统的h(n)，再与已知的x(n)进行卷积，得到y(n)，即：y(n)=x(n)*h(n)。适用于系统起始状态为零（即所谓松弛系统）的求解。 变换域方法：类似于连续时间系统的拉普拉斯变换，这里采用z变换法来求解差分方程，这在实际使用上是最简单有效的方法。,例1.4.1 若LSI系统的输入x(n)和输出y(n)满足下列差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)，输入序列x(n)=(n)，求输出序列y(n)。,【解】(1) 设初始条件：y(-1)=0,n=0时，y(0)=ay(-1)+(0)=1,n=n时，y(n)=an,y(n)=anu(n),n=2时，y(2)=ay(1)+(2)=a2,n=1时，y(1)=ay(0)+(1)=a,(2) 设初始条件：y(-1)=1,y(n)=ay(n-1)+x(n),n=0时，y(0)=ay(-1)+(0)=1+a n=1时，y(1)=ay(0)+(1)=(1+a)a n=2时，y(2)=ay(1)+(2)=(1+a)a2 n=n时，y(n)=(1+a)an,y(n)=(1+a)anu(n),相同的系统，相同的输入，初始条件不同，输出也不同。,(3) 设初始条件：y(0)=0,y(n)=ay(n-1)+x(n),n=0 y(-1)=a-1y(0)-(0)=- a-1,y(n-1)=a-1y(n)-x(n),n=-1 y(-2)=a-1y(-1)-(-1)=- a-2,n=-2 y(-3)=a-1y(-2)-(-2)=- a-3,y(n)=h(n)= -an-1u(-n-1),非因果系统 |a| 1时稳定 |a|1时不稳定,以上结果说明： （1）一个常系数线性差分方程不一定代表一个因果系统，如果边界条件假设不同，可以得到非因果系统； （2）一个常系数线性差分方程，如果没有附加的起始条件，不能唯一的确定一个系统的输入输出关系；并且只有当起始条件选择合适时，才相当于一个线性移不变系统。,例1.4.2 设系统用一阶差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n) 描述，初始条件y(-1)=1，试分析该系统是否是线性 非时变系统。,Tx(n- n0)=y(n-n0),通过设输入信号x1(n)=(n)，x2(n)=(n-1)和 x3(n)=(n)+(n-1)来检验系统是否是线性非 时变系统。,（1）x1(n)=(n)， y1(-1)=1,y(n)=ay(n-1)+x(n),y1(n)=(1+a)anu(n),（2）x2(n)=(n-1)， y2 (-1)=1,n=0时，y2(0)=ay2 (-1)+(-1)=a n=1时，y2 (1)=ay2 (0)+(0)=a2+1 n=2时，y2 (2)=ay2 (1)+(1)=a(a2+1) n=n时，y2 (n)= an-1(a2+1)u(n),时变系统,y1(n)=T(n)； y2(n)=T(n-1) y2(n)y1(n-1),(3) x3(n)=(n)+(n-1); y3(-1)=1,n=0时，y3(0)=ay3 (-1)+(0)+(-1)=a+1 n=1时，y3(1)=ay3 (0)+(1)+(0)=a2+a+1 n=2时，y3(2)=ay3(1)+(2)+(1)=a(a2+a+1) n=n时，y3(n)= an-1(a2+a+1)u(n),y(n)=ay(n-1)+x(n),y3(n)y1(n)+y2(n),非线性系统,y1 (n)=(1+a)anu(n) y2 (n)= an-1(a2+1)u(n) y3 (n)= an-1(a2+a+1)u(n),设系统用一阶差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n) 描述，初始条件y(-1)=0，试分析该系统是否是线性 非时变系统。,（1）x1(n)=(n) ，y1(n)=anu(n),（2）x2(n)=(n-1)， y2(n)=an-1u(n-1),时不变系统,（3）x3(n)=(n) +(n-1)， y3(n)= anu(n)+an-1u(n-1),线性系统,在以下的讨论中，除非另外声明，我们都假设常 系数线性差分方程所表示的系统都是指线性移不变 系统，并且多数是指因果系统。,注意：若系统是因果的，一般在输入x(n)=0(nn0)时，则输出y(n)=0(nn0)时，系统是线性非时变系统。,1.5 模拟信号数字处理方法,前置预 滤波器,A/D 变换器,数字信号 处理器,D/A 变换器,模拟 滤波器,模拟,Xa(t),PrF,ADC,DSP,DAC,PoF,模拟,Ya(t),1.5.1 采样定理,信号的采样 每隔一段时间对一连续信号抽取其值的过程。,0,t,样值信号 是一个矩形脉冲序列，其脉冲幅度为 此时刻xa(t)的值。这样每隔Ts抽样一次的抽样方式 称为均匀抽样，Ts称为抽样周期，fs=1/Ts称为抽样 频率，s=2fs称为抽样角频率。,Ts,2. 理想抽样,Ts，矩形脉冲串变为单位脉冲串,理想采样输出：,3. 时域采样定理,在傅里叶变换中，两信号在时域相乘的傅里叶 变换等于两个信号分别的傅里叶变换的卷积。,设：,图示：,A,(1),FT,FT,时域抽样,频域周期重复,说明： 采样信号的频谱是原模拟信号的频谱以 为周期，进行周期性延拓而成的； 频谱的幅度是Xa(j)的1/Ts倍； 连续信号xa(t)属带限信号，最高截止频率为m， 如果采样角频率s 2m，那么让采样信号 通过一个增益为Ts，截止频率为s/2的理想低通 滤波器，可以唯一地恢复出原连续信号xa(t)。否 则s2m会造成采样信号中的频谱的混叠现象， 不能无失真的恢复原连续信号； 前置预滤波器的作用：滤去高于s/2的无用高频 分量和一些杂散信号。,时域抽样定理：为使采样后能不失真的还原出原信号，采样频率必须大于两倍信号最高频率，这就是奈奎斯特采样定理。,奈奎斯特抽样间隔（最大抽样间隔）,一般称fs/2（s/2）为折叠频率，只有当信号最高频率不超过该频率时，才不会产生频率混叠现象，否则超过fs/2的频谱会折叠回来形成混叠现象，因此频率混叠均产生在fs/2附近。,4. A/D转换,采样以后到形成数字信号的这一过程是一个量化编码的过程。,1.5.2 数字信号转换成模拟信号,1. 采样恢复,将采样信号通过一个理想的低通滤波器G(j)，只让基带频谱通过，因而其带宽应该等于折叠频率。,理想低通G(j)的冲激响应为,其中：,内插函数（抽样函数）,抽样函数性质,根据卷积公式，低通滤波器的输出为：,t=，n时，Sa(t)=0； t=0时，Sa(t)=1;,即：,采样内插公式,说明连续信号xa(t)如何由它的采样值xa(nTs)表达： xa(t)可以由无数多个抽样点的Sa函数组成，在每一个抽样点上，只有该点所对应的内插函数不为零，使得各抽样点上的信号值不变xa(nTs)，而抽样点之间的信号则由各加权抽样函数波形的延伸叠加而成。,图1.5.7 理想恢复,2. 数模转换,解码的作用：将数字信号转换成时域离散信号。 零阶保持器：将前一个采样值进行保持，一直到下一个采样值来到，再跳到新的采样值并保持，因此相当于进行常数内插。实际上是一个低通滤波器，能够起到将时域离散信号恢复成模拟信号的作用。,零阶保持器,零阶保持器的幅度特 性与低通滤波器有明 显的差别，主要是在 |/Ts区域有较 多的高频分量，表现 在时域上，就是恢复 出的模拟信号是台阶 形的。,平滑滤波：滤除多余的高频分量，对时间波形起平滑作用。,前置预 滤