方阵的特征值与特征向量.ppt

第4章 矩阵的对角化与二次型的化简,一、矩阵的特征值与特征向量,二、相似矩阵与矩阵的对角化,下页,三、正交矩阵,四、二次型与二次型的化简,五、正交变换化二次型为标准形,六、惯性定律与正定二次型,方程(lE-A)Xo的解都是特征值l的特征向量吗？,定义1 设A是n阶方阵，如果存在数l和n维非零列向量X满足 AXlX， 则称l为A的特征值，称向量X为A的对应于特征值l的特征向量., |lE-A|0,矩阵 lE-A 称为 A 的特征矩阵； l 的 n 次多项式 |lE-A| 称为 A 的特征多项式； 方程 |lE-A|0 称为 A 的特征方程.,(lE-A)Xo,AXlX,注意：如果X是A的对应于特征值l的特征向量，则,问题：,特征值l的特征向量有多少？,怎样求矩阵的特征值和特征向量？, lX-AXo,下页,第1节 矩阵的特征值与特征向量,1.1 特征值特征向量的概念与计算,方程 |lE-A|0 的每个根都是矩阵A的特征值. 方程(lE-A)Xo的每个非零解都是l对应的特征向量.,解：矩阵的特征方程为,|lE-A|,=(l-4)(l+2)=0，,矩阵A的特征值为 l14，l2-2 ., 对于特征值l14，解齐 次线性方程组(4E-A)Xo，,于是，矩阵A对应于l14的 全部特征向量为,(c1不为0) .,下页,解：矩阵的特征方程为,|lE-A|,=(l-4)(l+2)=0，,矩阵A的特征值为 l14，l2-2 ., 对于特征值l2-2，解齐 次线性方程组(-2E-A)Xo，,于是，矩阵A对应于l2-2 的全部特征向量为,(c2不为0) .,下页,方程 |lE-A|0 的每个根都是矩阵A的特征值. 方程(lE-A)Xo的每个非零解都是l对应的特征向量.,解：矩阵的特征方程为,=(l-2)(l-1)2=0，,矩阵A的特征值为 l1l2=1 ，l32 ., 对于特征值l1 l2 1， 解线性方程组(E-A)Xo，,于是，A的对应于l1 l2 1 的全部特征向量为,(c1不为0) .,下页,解：矩阵的特征方程为,l+1,-1,0,=(l-2)(l-1)2=0，,矩阵A的特征值为 l1l2=1 ，l32 ., 对于特征值l32，解线性方程组(2E-A)Xo，,于是，A的对应于l32的全 部特征向量为,(c2不为0) .,下页,的特征值与特征向量.,|lE-A|,=(l+2)2(l-4)=0，,矩阵A的特征值为 l1l2=-2, l34 ., 对于特征值l1l2=-2, 解线性方程组(-2E-A)Xo,解：矩阵的特征方程为,= (l+2),于是，A的对应于l1l2=-2 的全部特征向量为,(c1,c2不全为0) .,下页, 对于特征值l3=4 ，解 线性方程组(4E-A)Xo，,于是，A的对应于l34的全 部特征向量为,解：矩阵的特征方程为,=(l+2)2(l-4)=0，,矩阵A的特征值为 l1l2=-2, l34 .,|lE-A|,的特征值与特征向量.,(c3不为0) .,下页,例4试证：n阶O矩阵的特征值为零. 证：由 |lE-O| |lE|=ln0，必有l=0 .,下页,例5试证：n阶矩阵A是奇异矩阵的充分必要条件是A有 一个特征值为零. 证：必要性. 如果A是奇异矩阵，则|A|0 .于是 |0E-A|-A|(-1)n|A|0，即0是A的一个特征值. 充分性. 设A有一个特征值为0，对应的特征向量为X1 .由 定义，有 AX10X1o (X1o)， 所以齐次线性方程组AXo有非零解X1 ,由此可知|A|0，即A为 奇异矩阵.,问题：对角矩阵的特征值是什么？,性质1 设X1, X2, Xm都是矩阵A的对应于特征值l的特征向量, 如果它们的线性组合 k1X1+k2X2+ kmXmo, 则k1X1+k2X2+ kmXm也是矩阵A的对应于特征值l的特征向量,性质2 如果n 阶方阵A的全部特征值为l1,l2, ,ln (k重特征值 算作k个特征值)，则 l1+l2+ +ln= Tr(A); 其中,Tr(A)=a11+ a22+ a33+ ann , 称为矩阵A的迹. l1l2 ln|A|,下页,1.2 特征值与特征向量的性质,推论：n阶方阵可逆的充分必要条件是A的特征值不等于零.,证明: 由性质2可知，若A是可逆矩阵，即|A|0，则A的 任一个特征值都不为零,若X是A的属于特征值l的特征向量，则 Al， 两端同乘A-1,并整理得 A-1X= l-1,即l-是A-的特征值，X也是A-的对应于l-的特征向量.,性质3 设l是可逆方阵A的一个特征值，X是它对应的特征 向量，则l0 ， l-1 是A-1的一个特征值，且X也是A-1的对应 于l-1的特征向量,下页,性质4 设l是方阵A的一个特征值，X为对应的特征向量，m是 一个正整数，则lm是Am的一个特征值，X为对应的特征向量,下页,证明: 由于Al，两端都左乘A得 A2lA, 把Al代入上式得 A2l(l)= l2， 依次类推可得 Amlm， 即lm是Am一个特征值，为对应的特征向量,即, 若f (x)是一个多项式，则f (l)是f (A)的特征值,下页,推论 设l是方阵A的一个特征值，则,是矩阵,的一个特征值(m为正整数).,特别，若,则必有，,性质4 设l是方阵A的一个特征值，X为对应的特征向量，m是 一个正整数，则lm是Am的一个特征值，X为对应的特征向量,性质5 n阶矩阵A互不相同的特征值l1，l2， ，lm，对应的特征向量X1，X2， ，Xm线性无关,下页,性质6 设A为n阶矩阵，则A与AT有相同的特征值,即A与AT 有相同的特征多项式，,= | (lE-A) |，,= | (lE-A)T |,| lE-AT |,由(lE-A)T=lE-AT 有,证明：,所以它们的特征值相同,证明: 因为A2=A ，所以A2-A=o, 设A的特征值为l ，则由性质 4之推论可得l 2- l =0，解得，l 10， l 21. 证毕.,例7. 设3阶矩阵A的三个特征值分别为l1=1, l2=0, l3= -1, 求矩 阵B=A2+3A+2E的特征值.,下页,例6. 设n阶矩阵A满足A2=A，证明A有特征值为0或1.,解：令B=f(A)=A2+3A+2E，则由性质4之推论可知f (l)是f (A) 的特征值，从而得矩阵B的三个特征值分别为：, 已知三阶方阵A的三个特征值为，-，则 |A|（ ）， A-的特征值为（ ）， AT的特征值为（ ）， A2+2A+E的特征值为（ ）, 设Ak=0，k是正整数，则A必有一特征值为（ ） , 若A2A，则A的特征值为（ ） , 设A是3阶方阵，已知方阵E-A，E+A，3E-A都不可逆，则A的特征值为（ ）, 已知三阶矩阵A的特征值为，-， 则A-5E（ ） ,- 6,-1/2, 1/3, -,4, 1, 16,0,0, 1,1, -1, 3,-72,下页,练习题,性质5 n阶矩阵A互不相同的特征值l1，l2， ，lm，对应的特征向量X1，X2， ，Xm线性无关,性质7 矩阵A的m个不同的特征值所对应的m组线性无关的特征向量组并在一起仍然是线性无关的。,性质8 设0是n阶方阵A的一个t重特征值，则0对应的特征向量集合中线性无关的向量个数不超过t.,补充性质,下页,下页,作业： 136页 1 2 3 4(1)(2):只求特征值与特征向量.,结束,4E-A,因为特征矩阵,所以齐次线性方程组(4E-A)XO的一般解为x1=x2，,返回,-2E-A,因为特征矩阵,所以齐次线性方程组(-2E-A)XO的一般解为5x1 =- x2 ，,返回,因为特征