空间点、直线、平面之间的位置关系.ppt

第二节 空间点、直线、平面之间的 位置关系,基础梳理,1. 平面的基本性质 公理1：如果一条直线上的_在一个平面内，那么这条直线上_都在这个平面内 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是_,两点,所有的点,经过这个公共点的一条直线,公理3：经过_，有且只有一个平面 推论1：经过_，有且只有一个平面 推论2：经过_，有且只有一个平面 推论3：经过_，有且只有一个平面,两条平行直线,不在同一直线上的三点,一条直线和这条直线外一点,两条相交直线,2. 空间两条直线的位置关系,在同一个平面内,有且只有一个,3. 平行直线的公理及等角定理 (1)公理4：平行于同一条直线的两条直线_ (2)等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边_，那么这两个角_,互相平行,分别平行并且方向相同,相等,4. 异面直线所成的角 如果a，b是两条异面直线，那么经过空间任意一点O，作直线aa，bb，直线a和b所成的_叫做异面直线a，b所成的角,锐角(或直角),基础达标,1. (必修2P22练习2改编)用符号表示“点A在直线l上，直线l在平面内”为_,Al，la,2. 下列命题中不正确的是_(只填序号) 三点确定一个平面；两条直线确定一个平面；两两相交的三条直线一定在同一平面内；过同一点的三条直线不一定在同一平面内,解析：根据公理3及其推论知不正确，中两两相交的三条直线若交于三点则一定在同一平面内，若交于一点则可能在同一平面内，也可能不在同一平面内，是正确的,3. (必修2P27练习6改编)设直线a，b，c，则下列命题正确的是_(只填序号) 若ab，bc，则ac； 若ab，ca，则cb； 若ac，bc则ab； 若ac，bc，则ab.,4. (必修2P27习题7改编)如果a，b是两条异面直线，点A，B a，点C，Db，则AC与BD的位置关系是_,解析：由平行公理知是正确的；在中ca即c与a所成角是90， 由ab得b与c所成角也是90，即有cb，故正确；在平面中是正确的，但在空间中是不正确的；中可能为相交、异面或平行，故不正确,异面,解析：若AC与BD共面，则点A，B，C，D共面，则AB与CD共面，即直线a，b共面，与题意矛盾，故AC与BD异面,5. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，设AB的中点为M，DD1的中点为N，则异面直线B1M与CN所成的角的大小为_,90,解析：如图，取AA1中点P，连结PB，PN，则NP与BC平行且相等，则四边形NPBC为平行四边形，从而PBNC，易证在正方形AA1B1B中PBB1M，则 NCB1M，故异面直线B1M与CN所成的角为90.,经典例题,题型一 点线面的位置关系 【例1】 下列命题： 空间不同三点确定一个平面； 有三个公共点的两个平面必重合； 梯形是平面图形； 四边形是平面图形； 一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交； 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 其中正确的命题是_(填写所有正确命题的序号),分析：根据公理及其推论来作出判断,解：由公理3知，不共线的三点才能确定一个平面，所以均错；根据两条平行直线确定一个平面知是正确；四个点可能不共面，所以四边形不一定是平面图形，故错；在平面中，这个结论是正确的，但是在空间中，一条直线和两平行线中的一条相交，与另一条可能相交，也可能异面，故错；两组对边相等的四边形不一定是平面图形，故错综上，只有是正确的,题型二 共面问题 【例2】 已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD四条边AB，BC，CD，DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形,变式21 已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且 ，判断四边形EFGH的形状,解：如图，因为E，H分别是AB，AD的中点，所以EHBD，且 EH= BD，又 = = ，所以FGBD且FG= BD，所以EHGF，EHFG，所以四边形EFGH为梯形,题型三 三点共线问题 【例3】 如图，在四面体ABCD中，作截面PQR.若PQ、RQ、RP和CB、DB、DC的延长线分别交于M、N、K，求证：M、N、K三点共线,分析：依据公理2证明 证明：MPQ， PQ平面PQR， M平面PQR. MBC，BC平面BCD， M平面BCD. M是平面PQR与平面BCD的公共点,题型四 三线共点问题 【例4】 如图所示，在四面体ABCD中，E、G分别是BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有 ，求证：EF、GH、BD交于一点O.,分析：先证明GH，EF交于一点O，再证明O也在BD上.,又GH平面ABD，EF平面BCD， O平面ABD，O平面BCD. 又平面ABD平面BCD=BD， OBD， 即EF、GH、BD交于一点O.,变式41 如图，已知平面，两两相交有三条交线a，b，c，若abP，证明直线c也过P点.,证明：ab=P，Pa，Pb. 又b=a，a=b，则ab， ba， 则Pa，Pb，又ab=c， Pc.,(2010全国)直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于_ 知识准备：1.知道异面直线所成角的定义；2.能够通过平移直线的办法将异