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第2章 随机信号分析基础,杨 鉴 梁 虹 编著 科学出版社 2010-6,第2章 随机信号分析基础,2,目录,2.1 随机变量 2.2 随机过程 2.3 几种典型的随机过程 2.5 谱分解定理 2.4 随机信号通过线性系统 2.6 参数估计理论,第2章 随机信号分析基础,3,2.1 随机变量,随机变量的定义 如果对于试验的样本空间S中的每一个样本点，变量x都有一个确定的实数值与之对应，则变量x是样本点的实函数，记作x=x()。称x为随机变量。随机变量是一个映射。 例2.1.1 抛掷两枚硬币，对于样本空间： 定义 11表示“两枚的正面均朝上”， 12表示“一枚正面朝上，一枚背面朝上”， 22表示“两枚的背面均朝上”，则随机变量x实际上表示的是抛掷两枚硬币时，正面朝上的硬币数。,第2章 随机信号分析基础,4,2.1.1 概率分布函数与密度函数,概率分布函数(cdf) 概率分布函数Fx(x)给出了随机变量x() 小于给定值x的概率： 概率密度函数(pdf) 几个重要的性质,第2章 随机信号分析基础,5,2.1.2 随机变量的数字特征,数学期望 定义 线性 随机变量的函数的数学期望,第2章 随机信号分析基础,6,2.1.2 随机变量的数字特征,矩 m阶矩： 一阶矩： 二阶矩： m阶中心矩： 方差：,第2章 随机信号分析基础,7,2.2 随机过程,离散时间随机过程 用x(,n)表示离散时间随机过程，其中, 代表随机过程的一次实现，n表示离散时间， “ ” 表示所有实现的集合。 随机过程x(,n)的四种释义 若 n = n0 为固定值， 为变量，则x(, n0)为一个随机变量。 若 = 0为固定值， n为变量，则x(0, n)为一个样本序列。 若 = 0 ， n = n0 均为固定值，则x(0, n0)为一个数。 若和你n都是变量，则x(, n)是一个随机过程。,第2章 随机信号分析基础,8,2.2.1 随机过程的基本统计量,均值 (1阶矩)： 自相关 (2阶矩)： 自协方差函数 (2阶中心矩)： 严平稳 (SSS)随机过程：,第2章 随机信号分析基础,9,2.2.1 随机过程的基本统计量,宽平稳(WSS)随机过程 宽平稳随机过程的自相关函数 定义： 性质 原点的值最大： 共轭对称性： 半正定性：,第2章 随机信号分析基础,10,2.2.1 随机过程的基本统计量,两个不同的随机过程的互相关 联合宽平稳随机过程的互相关 时间平均 平稳随机过程的均值遍历性和相关遍历性,第2章 随机信号分析基础,11,2.2.2 独立、不相关与正交,独立的随机过程 独立同分布(IID)过程 对于全部的k都有相同的概率密度函数 不相关的随机过程,第2章 随机信号分析基础,12,2.2.2 独立、不相关与正交,正交的随机过程 若x(n)为平稳的零均值不相关过程，则该过程为正交过程。 联合随机过程的独立、不相关与正交 统计独立： 不相关： 正交：,第2章 随机信号分析基础,13,2.3 几种典型的随机过程,复正弦加噪声 实高斯过程（实正态过程） 宽平稳的过程必然也是严平稳的； 若两个时刻信号的取值是不相关的，则它们必然也是统计独立的； 一个高斯随机过程通过任意线性变换 (或通过任意线性系统)，其输出仍然是高斯过程； 高斯随机过程的高阶矩可以用一阶、二阶矩表示。,第2章 随机信号分析基础,14,2.3 几种典型的随机过程,谐波过程 高斯马尔可夫过程 当随机过程的“现在”（n时刻）和“过去”已知时，“将来”（n+1时刻）的取值只与“现在”的取值有关，而与“过去”的取值无关，或者说“将来”和“过去”的统计特性是无关的。 如果一个随机信号是高斯过程同时又是马尔可夫过程，则称该信号为高斯马尔可夫过程。,第2章 随机信号分析基础,15,2.4 随机信号通过线性系统,时域分析 均值 自相关,第2章 随机信号分析基础,16,2.4 随机信号通过线性系统,频域分析 平稳随机过程的功率谱密度(PSD) 自相关序列满足共轭对称性，根据傅里叶变换的性质，功率谱密度一定为实函数。 复功率谱密度 互功率谱 复互功率谱,第2章 随机信号分析基础,17,2.4 随机信号通过线性系统,复功率谱 功率谱 如果输入信号为零均值白噪声，即x(n)=w(n)，则,第2章 随机信号分析基础,18,2.5 谱分解定理,定义： 平稳随机信号x(n)如果满足下列佩利维纳条件，则称它是规则的。 定理： 平稳随机信号x(n)如果是规则的，则它的复功率谱和功率谱密度必然可以分解为 这里Q(z)是最小相位系统的系统函数。,第2章 随机信号分析基础,19,2.5 谱分解定理,新息滤波器和白化滤波器 w(n)称为x(n)的新息 (Innovation)。,第2章 随机信号分析基础,20,2.5 谱分解定理,有理分式功率谱的分解 其中 对于实信号 差分方程：,第2章 随机信号分析基础,21,2.5 谱分解定理,例2.5.1 已知某平稳随机过程x(n) 的功率谱密度，求这个功率谱的分解式。,第2章 随机信号分析基础,22,2.6 参数估计理论,估计量的性质 估计子，估计算法 估计的偏 有偏估计，无偏估计，渐近无偏估计 估计的方差 估计的均方误差 一致估计,第2章 随机信号分析基础,23,2.6 参数估计理论,均值的估计 偏移 估计量的方差 如果数据样本之间互不相关，则 该均值估计为无偏的一致估计,第2章 随机信号分析基础,24,2.6 参数估计理论,方差的估计 注意：是除以N-1而不是N 方差估计量的偏移 当观测样本互不相关时，可以证明 方差估计量的方差 当N足够大时，可以证明,第2章 随机信号分析基础,25,本章小结,随机变量是抽象的概率空间到实数空间的一个映射，随机变量的集合构成随机矢量，而离散时间随机过程是一组赋予了时间序号的随机变量。 随机信号在任何时间的取值都是不能先验确定的随机变量； 虽然随机信号取值不能先验确定，但这些取值却服从某种统计规律。 对随机过程进行完整的统