随机变量及其分布.ppt

第二章 随机变量及其分布,2.1随机变量的概念 2.2离散随机变量 2.3泊松分布 2.4连续随机变量 2.5均匀分布 指数分布 2.6随机变量的分布函数 2.8随机变量的独立性 2.9随机变量函数的分布,2.1随机变量的概念,例 掷两颗质量均匀的骰子 ，样本空间由36个样本点ij组成，其中i，j分别表示第一颗、第二颗骰子出现的点数（i=1,2,6,j=1,2,6）。由于等可能性，易知,设两颗骰子出现的点数之和X，这X可能取的数值为2,3,12。X可以看作是定义在样本空间上的函数，即,定义：设随机试验E的样本空间= ，若对于每一个样本点 ，变量X都有确定的实数与之对应，则X是定义在上的实值函数，即X=X()，这样的变量X称为随机变量。通常用大写字母表示随机变量。,随机变量X是由样本空间到实数轴的单值映射。若映射的范围只有有限个或可列无穷多个，则称随机变量X为离散的；若映射的范围是某个实数区间（有界或无界），则称随机变量X为非离散的。,2.2离散随机变量,定义 若随机变量X只能取有限个数值x1,x2,xn或可列无穷多个数值x1,x2,xn,则称X为离散型随机变量；,（2.1）,则称为X的概率函数或概率分布。,离散随机变量X取得任何一个可能值xi的概率P(X=xi)，记作,或记为,概率函数P(xi)具有下列性质：,（2.2）,（2.3）,当取得有限个可能值时， 表示有限项的和； 当取得可列无穷多个可能值时， 表示收敛级数的和,书p31例 某人参加射击游戏，射击的靶如图。设每次射击不会发生脱靶，并且击中1环、2环、4环的概率分别与各环的面积成正比，求此人两次独立射击所得环数的乘积的概率分布。,解 试验的样本空间,其中样本点ij表示“第一次击中i环，第二次击中j环” 设随机变量X表示两次射击所得环数的乘积,每次射击“击中环”“击中环”“击中环”的概率分别为：,两次射击独立，有,因此可求得随机变量X取各个可能值的概率，如表,定义(二项分布) 设随机变量X的概率函数为,其中n为正整数，0p1, p+q=1,则称随机变量服从二项分布，记作XB(n, p) ，其中n, p是分布的参数。,2.3泊松分布,（2.5）,设一批产品共N件，其中有M件次品，即次品率 从这批产品中“放回抽样依次取n件样品”，则样品的次品数,特别当n=1,二项分布B(1, p)称为”0-1”分布，这是随机变量只能取两个数字：0或1，且概率函数为,泊松分布： 定义 设随机变量X的概率函数为,其中0；则称随机变量服从泊松(Poisson)分布，记作 其中是分布的参数。,由指数函数的幂级数展开式可知：,可证明：当n充分大而p很小(p0.1)时，二项分布B(n,p)的概率函数近似等于泊松分布P()的概率函数，即,书p3例 设一批产品共2000个，其中有40个次品随机抽取100个样品，求样品中次品数X的概率分布，仅考虑放回抽样,解：次品率p=40/2000=0.02,样品中的次品数X服从二项分布B(100,0.02)，,样品数量n=100，次品率较小，X的概率函数近似泊松分布，=1000.02=2,即,(书p57例)已知某商店每月销售某种名贵手表的数量服从泊松分布p(4)， (1)求每月至少售出只这种手表的概率； (2)假定每月仅购进一次这种手表，且上月没有库存，这本月初应购进多少只这种手表才能保证当月不脱销的概率不小于0.99？,解:(1)已知Xp(4)，每月至少售出只这种手表的概率为P(X5)；,(2)设本月初购进n只手表,应用场合,在某个时段内： 大卖场的顾客数； 市级医院急诊病人数； 某地区拨错号的电话呼唤次数； 某地区发生的交通事故的次数. 一匹布上的疵点个数； 一个容器中的细菌数 都可以看作是源源不断出现的随机质点流 , 若它们满足一定的条件, 则称为 Poisson 流, 在 长为t的时间内出现的质点数 Xt P ( t ),2.连续随机变量,定义 设随机变量X 的取值范围是某个实数区间(有界或无界)，且存在非负函数 f(x), 使得对于任意区间(a,bI，有,（2.10）,则称X是连续随机变量；函数f(x)称为连续随机变量的概率密度函数（简称概率密度）。,概率密度f ( x )的性质：,（）非负性,（2.1）,（）随机变量取得任一实数值（记作）是必然事件，由等式(2.10)可知,（2.1）,（2.1）,表明连续变量X取的某一可能值x0的概率等于0,但绝不是不可能事件. 因此,对于连续随机变量，总是研究它落在某个区间上的概率，尽管这个区间可以很小。 定义中连续变量X所在的区间可以为闭区间或开区间或半开区间，等式仍然成立。,分布曲线y=f(x)位于x轴的上方，且介于分布曲线与x轴之间的平面图形的面积等于1。,求（）系数A；（）随机变量的概率分布的中值 即满足等式,书p39例 设连续随机变量的概率密度为,2.均匀分布 指数分布,、均匀分布 定义 设随机变量的概率密度为,（2.14）,则称随机变量 X在区间a,b上服从均匀分布，记作U(a,b)，其中a,b是分布的参数。,例p40 用电子表计时一般准确至百分之一秒，即若以秒为时间的计量单位，这小数点后第二位数字是按“四舍五入”原则得到，求由此产生的计时误差的概率密度。,解 计时误差X的可能取的区间-0.005,0.005上的任意数值，并在此区间上服从均匀分布，所以X的概率密度为,、指数分布 定义 设随机变量的概率密度为,（2.15）,则称随机变量 X服从指数分布，记作 其中是分布的参数。,例p41 已知某电子元件厂生产的电子元件的寿命X(h)服从指数分布e(0.0002)，该厂规定寿命低于500h的元件可以退换，问该厂被退换元件的数量大约占总产量的百分之几？,解 因为X的概率密度,所以该厂被退换元件的数量大约占总产量的9.5%。,2.6随机变量的分布函数,定义 设是随机变量，是任意实数，则事件“”的概率P(Xx)称为随机变量的分布函数，记作F(x)，即,（2.16）,可知：(1)若是离散随机变量，并有概率函数,（2.17）,(2)若是连续随机变量，并有概率密度函数f(x)，则,（2.18）,且在f(x)的连续点x处，有,（2.19）,例1p42 设随机变量X的概率分布表如下，求 求随机变量X的分布函数；,例1 设随机变量X的概率分布表如下，求 （1）求随机变量X的分布函数； （2）求概率PX1/2，P0X5/2,或,分布函数具有下列性质:,(1)有定义知，,（2.21）,（2.20）,(3)当 时，事件“x”在极限状态时是不可能事件，有,（2.22）,当 时，事件“x”在极限状态时是必然事件，有,（2.23）,（2.24）,(4)由等式(2.21)得,（2.25）,2.随机变量的独立性,二维随机变量的联合分布： 定义1 设与是定义在同一样本空间上的离散随机变量，则称,为二维随机变量(X,Y)的联合概率函数或联合概率分布，其中i=1,2,;j=1,2,.,定义2 设与是定义在同一样本空间上的连续随机变量，若存在非负函数f(x,y),使得对于xOy平面上任意区域R有,则称f(x,y)为二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数(简称联合概率密度).,定义3 设与是定义在同一样本空间上的两个随机变量，x与y是任意两个实数,则称,为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数.,离散随机变量:,连续随机变量:,对于多维随机变量函数仅考虑其独立情况下的计算.,定义 设与是两个随机变量，若对于任意的实数x与y，有,则称与是相互独立的,（2.44）,若与是相互独立的，则有,（2.45）,（2.46）,定理2 连续随机变量X与Y相互独立的充要条件是:两个边缘概率密度的乘积 是二维随机变量(X,Y)的联合概率密度. 即对于任意点(x,y),有,(书p59例) 设随机变量与相互独立，与的概率密度分别为,求(1) (X,Y)的联合概率密度及其分布函数； ()P(X0,y0,3x+4y3的内的概率,解:因为与相互独立，其概率密度为,所以(X，Y)的联合分布为：,（）因为随机变量X与Y相互独立,（）（，）落在区间内的概率,2.随机变量函数的分布,由已知的随机变量的分布求得随机变量函数的分布。,书p52例1 已知X的概率分布如表，求Y=X2-2X的概率分布。,Y的概率分布:,解:,解 X在区间(0,1)取值,Y将在区间(1,3)内取值,Y的分布函数,两边对y求导：,所以Y的概率密度为,书P53例 设随机变量在区间-1,2上服从均匀分布，即概率密度为,求随机变量函数的概率密度,解：当X在区间-1,2上取值，Y将在区间0,1或1,4上取值。所以应分别讨论：,（1）当0y1时，如右上图,（2）当1y4时，如右图,所以Y的分布函数为,对y求导,得Y的概率密度为,注意当y=0或y=1时FY(y)不可导,可自定义一个值,书P54例 设随机变量与是相互独立，都服从泊松分布，概率函数分别是,求随机变量函数概率分布.（了解结论）,可见,随机变量函数Z服从泊松分布P(x+y).,(书p55例5)设随机变量与是相互独立，概率密度函数分别是,求随机变量函数概率密度.,当z0时，如图,Z的分布函数：,Z的概率密度：,例p55 设随机变量与是相互独立，概率密度函数分别为 求它们的最大值max(X,Y)及最小值min(X,Y)的分布函数,(书p61例) 有两路公共汽车都经过某个中途站，