2011.6.22函数导数专题.ppt

函数与导数,奥运盛典陶传宝,美丽的西双版纳,函数与导数专题,二次函数、指数函数，正弦函数,从函数的,解析式构成,导 数 的 概 念,1.曲线的切线,如图,曲线C是函数y=f(x) 的图象,P(x0,y0)是曲线C上的 任意一点,Q(x0+x,y0+y) 为P邻近一点,PQ为C的割线, PM/x轴,QM/y轴,为PQ的 倾斜角.,P,Q,割线,切线,T,请看 当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.,我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即x0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.,设切线的倾斜角为,那么当x0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.,即:,这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切线斜率的本质函数平均变化率的极限.,要注意,曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关; 2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点, 可以有多个,甚至可以无穷多个.,因此,切线方程为y-2=2(x-1), 即y=2x.,求曲线在某点处的切线方程 的基本步骤:先利用切线斜率 的定义求出切线的斜率,然后 利用点斜式求切线方程.,导数的标准定义,导数的物理意义,一般地，设物体的运动规律是ss(t)，则物 体在t到t+t这段时间内的 平均速度为,导数基本公式,和差积商的导数公式,复合函数的导数公式,已知可导函数y=f(u)、u=g(x)的复合函数 为y=fg(x)那么，复合函数为y=fg(x)的导数为：,分段函数的导数原则,如果分段函数 f (x)在每一个分段开区间内都是连续可导函数，那么求这个分段函数 f (x) 的导数的原则是分别分段求导数。如：,函数的单调性的充要条件,如果函数 y=f(x) 在某个区间内可导, 那么(1)f(x)0 (f(x)0)是y=f(x) 为增函数的充要条件。 (2) f(x)0 (f(x)0)是y=f(x) 为减函数的充要条件。,当导函数f(x)在给定区间内存在x值使得 f(x)=0 ，那么， f(x)0 或f(x)0,设函数 f(x) 在点x= x0 及其附近有定义, 如果对 x0 附近的所有点, 都有 f(x)f(x0), 就说 f(x0)是函数 f(x) 的一个极小值, 记作: y极小值=f(x0), 极大值与极小值统称为极值.,函数极值的定义,一般地, 当函数 f(x) 在点 x0 处连续时 (1)如果在 x0 附近的左侧 f(x)0, 右侧 f(x)0, 那么 f(x0) 是极小值 .,判断 f(x0) 是极值的方法,求可导函数 f(x) 的极值的步骤:,(1)确定函数的定义域;,(3)求方程 f(x)=0 的根;,(2)求导数 f(x);,(4)检查 f(x) 在方程 f(x)=0 的根左右的值 的符号, 如果左正右负, 那么 f(x) 在这个 根处取得极大值; 如果左负右正, 那么 f(x) 在这个根处取得极小值。,连续可导函数f(x)在x=x0处有极值的必要条件,连续可导函数f(x)在闭区间a,b上求最值步骤,(1)先求出函数f(x)在闭区间a,b上极值。 (2)再求出函数f(x)在闭区间a,b上区间端点值(3) 比较函数的极值与f(a)、f(b)的大小,最后 确定极值的大小。,函数与导数高考要点：,1.利用导数判定复合函数、叠加函数的单调性。 2.利用导数求复合函数、叠加函数的极 值、最值。 3.利用导数证明不等式。,高考比较流行的问题类型,1.讨论函数的单调性，求函数的极值最值问题,2.利用导数探究恒成立不等式的未知系数取值范围 问题。,3.利用导数探究方程有解问题及方程的位置系数取值范围 问题。,4.利用导数探究数列的单调性及不等式的证明问题。,第一课时典型例题,1.设函数f(x)在x=x0处可导，则 ( ),2.设函数f(x)是可导函数，且满足， 则过曲线y=f(x)上的点(1,f(10)的斜率为( ),2.已知曲线C:y=x2+x,试求出下列两种情 况系的曲线切线方程。,(1)曲线C在点x=1处的切线方程。,(2)过点(1,1)的曲线C的切线方程。,3.求下列函数的导数,典 型 例 题 1,(1)求 y=(x2-3x+2)sinx 的导数.,解: (1)y=(x2-3x+2)sinx+(x2-3x+2)(sinx),=(2x-3)sinx+(x2-3x+2)cosx,复杂函数求导数所遵循的原则,(1)根据函数解析式特点确定函数的类型。,(2)如果函数解析式 能化简间，则先化简。,(3)一般遵循先化简后求导的原则。,解: 由已知 f(x)=aex+bln(2+x),=(aex)+bln(2+x),f(x)=ex.,解得 a=1, b=0.,典 型 例 题 2,设 f(x)=aex+bln(2+x), 若 f(1)=e, 且 f(-1)= , 求函数 f(x) 的解析式.,f(1)=e, f(-1)= ,典型例题3,对于 x0, 2,令 f(x)0 得 0x1;,令 f(x)0 得 1x2.,f(x) 在 0, 1) 上为增函数, 在 (1, 2 上为减函数.,f(1)f(2).,f(0)=0 为函数 f(x) 在区间 0, 2 上的最小值;,求函数 f(x)=ln(1+x)- x2 在区间 0, 2 上的最大值和最小值.,典型例题 4,已知 aR, 求函数 f(x)=x2eax 的单调 区间.,解: 函数 f(x) 的导数 f(x)=2xeax+ax2eax,=(2x+ax2)eax.,(1)当 a=0 时, 由 f(x)0 得 x0.,f(x) 的单调递减区间为 (-, 0), 单调递增区间为 (0, +),2. 利用导数解决与单调性、极值、最值等有关的参数范围问题:,1.设 f(x)=x3- 0.5x2-2x+5. (1)求函数 f(x) 的单调递增、递减区间; (2)当 x-1, 2 时,f(x)m 恒成立, 求实数 m 的取值范围.,典型例题 5,2.设 f(x)=x2+ a x 1(x0,常数aR). (1)讨论函数 f(x) 的单调递增、递减区间; (2)若函数y=f(x)在x2,+)上为增函数, 求实数 a 的取值范围.,例6,点评 本题中用到改变主元的技巧，化归为一次函数的最值问题，从而数形结合快速求得x的范围.,解: (1)由已知 f(x)=3x2-x-2,(2)命题等价于 f(x) 在 -1, 2 上的最大值小于 m.,f(2)=7,f(x) 在 -1, 2 上的最大值为 7.,7m.,故实数 m 的取值范围是 (7, +).,例6,典型例题 7,已知 a 为实数, f(x)=(x2-4)(x-a). (1)求导函数 f(x); (2)若 f(-1) =0, 求 f(x) 在 -2, 2 上的最大值和最小值; (3)若 f(x) 在 (-, -2和 2, +) 上都是递增的, 求 a 的取值范围.,解: (1)由已知 f(x)=x3-ax2-4x+4a,f(x)=3x2-2ax-4.,f(x)=3x2-x-4.,(3) f(x) 的图象为开口向上的抛物线且过点 (0, -4),由题设得 f(-2)0 且 f(2)0 .,8+4a0 且 8-4a0.,-2a2.,故 a 的取值范围是 -2, 2.,已知函数 f(x)=ax3+cx+d (a0) 是 R 上 的奇函数, 当 x=1 时, f(x) 取得极值 -2. (1)求 f(x) 的单调区间和极大值; (2)证明: 对任意x1, x2(-1, 1), 不等式 |f(x1)- f(x2)|4 恒成立.,典 型 例 题 8,(1)解:函数 f(x) 是 R 上的奇函数,f(-x)=-f(x), 即 -ax3-cx+d=-ax3-cx-d 对 xR 恒成立.,d=0.,f(x)=ax3+cx,f(x)=3ax2+c.,当 x=1 时, f(x) 取得极值 -2,f(1)=-2 且 f(1)=0.,a+c=-2 且 3a+c=0.,a=1, c=-3.,f(x)=3x2-3.,由 f(x)0 得 -1x1;,由 f(x)0 得 x1.,f(x) 在 (-, -1) 上是增函数, 在 (-1, 1) 上是减函数, 在,(1, +) 上是增函数.,当 x=-1 时, f(x) 取得极大值 f(-1)=2.,故函数 f(x) 的单调递减区间是 (-1, 1), 单调递增区间是,(-, -1) 和(1, +);,f(x) 的极大值为 2.,(2)证: 由 (1) 知 f(x)=x3-3x 在 -1, 1 上是 减函数,且 f(x) 在 -1, 1 上的最大值 M=f(-1)=2,f(x) 在 -1, 1 上的最小值 m=f(1)=-2,对任意x1, x2(-1, 1), 不等式 |f(x1) f(x2)|4 恒成立.,已知函数 f(x)=x3-ax2-3x. (1)若 f(x) 在区间 1, +) 上是增函数, 求实数 a 的取值范围; (2)若 x=- 是 f(x) 的极值点, 求 f(x) 在 1, a 上的最大值; (3)在(2)的条件下, 是否存在实数 b, 使得函数 g(x)=bx 的图象与函数 f(x) 的图象恰有三个交点, 若存在, 求出实数 b 的取值范围; 若不存在, 请说明理由.,导数的应用举例 9,解: (1)由已知 f(x)=3x2-2ax-3.,f(x) 在区间 1, +) 上是增函数,在 1, +) 上恒有 f(x)0,即 3x2-2ax-30 在 1, +) 上恒成立.,解得 a0.,故实数 a 的取值范围是 (-, 0.,由于 f(0)=-30,f(x)=3x2-8x-3.,在 1, 4 上, 当 x 变化时, f(x), f(x) 的变化情况如下表:,f(x) 在 1, 4 上的最大值是 f(1)=-6.,(3)函数 g(x) 与 f(x) 的图象恰有三个交点,即方程 x3-4x2-3x=bx 恰有三个不等实根.,解得 a=4.,x=0 是方程一个的根,方程 x2-4x-3=b 即 x2-4x-(3+b)=0 有两个非零不等实根.,=16+4(3+b)0 且 3+b0.,解得 b-7 且 b-3.,故实数 b 的取值范围是 (-7, -3)(-3, +).,典 型 例 题 10,已知函数f(x)=ax4lnx+bx4-c(x0)在x=1处 取得极值 3 - c,其中a、b、c为常数。 (1)试确定a、b的值。 (2)讨论函数f(x)的单调区间。 (3)若对任意x0，不等式f(x) - 2c2恒成 立，求c的取值范围。,3. 应用导数求函数的极值或最值（解决应用问题）:,解析 设容器底面短边长为xm，则另一边长为(x+0.5)m，高为,例题12： 用总长14.8m的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积.,点评 (1) 本题主要考查应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力，同时考查建立函数式、解方程、不等式等基础知识及求最值的方法. (2) 求可导函数在闭区间上的最值，只需比较导数为零处的函数值与区间端