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第三讲 分类讨论思想,所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，如不能 用同一标准、或同一种运算、或同一个定理、或同一种方法去解决，因而会 出现多种情况，我们就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研 究，得出每一类的结论，最后综合各类的结论得到整个问题的解答实质上 分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略分类讨论时应注意 理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到“确定对象的全体，明确分类的 标准，不重复、不遗漏地分类讨论” 1分类讨论时必须遵循的原则 (1)施行分类的集合的全集必须是确定的； (2)分类的标准必须是统一的； (3)分类必须是完整的，不能出现遗漏； (4)各子集域必须是互斥的，不出现重复； (5)如需多级分类，必须逐级进行，不得越级,2分类讨论的步骤 (1)明确讨论的对象，确定对象的全体； (2)确定分类的标准，正确进行分类； (3)逐类进行讨论，获得阶段性的结果； (4)归纳小结，总结出结论 3分类讨论的常见类型 (1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直 线斜率、指数函数、对数函数等 (2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、 性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和 公式、函数的单调性等,(3)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等 (4)由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等 (5)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法 (6)由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用,4简化和避免分类讨论的策略： (1)直接回避，如运用反证法、消参法等； (2)变更主元，如分离参数、变参置换，构造以讨论对象为变量的函数 的形式； (3)合理运算，如利用函数奇偶性、变量的对称轮换以及公式的合理选 用等； (4)数形结合，利用函数图象、几何图形的直观性和对称特点,拓展提升开阔思路 提炼方法 有许多核心的数学概念是分类的，比如：直线斜率、指数函数、对数 函数等，与这样的数学概念有关的问题往往需要根据数学概念进行分 类，从而全面完整地解决问题,拓展提升开阔思路 提炼方法 分类讨论的许多问题是由运算的需要引发的，比如：除法运算中 分母是否为0；解方程、不等式中的恒等变形；用导数求函数单调性 时导数正负的讨论；对数运算中底数是否大于1；数
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