连续系统的数学模型.pptVIP

1,第2章 连续控制系统的数学模型,2.1 系统数学模型的概念,2.2 微分方程描述,2.3 传递函数,2.4 结构图,2.5 信号流图,2.6 系统数学模型的MATLAB表示,2,2.1 系统数学模型的概念,数学模型: 描述系统内部各物理量（或变量)之间关系的数学 表达式或图形表达式或数字表达式。,精确控制性能指标需要数学模型。 完全不同物理性质的系统，其数学模型具有相似性！,3,2.1.2 建立数学模型的方法,机理分析建模方法，称为分析法；,实验建模方法，通常称为系统辨识。,2.1.1 数学模型主要类型,静态模型与动态模型 (静态模型是t时系统的动态模型),输入输出描述模型（外部描述模型）与内部描述模型,连续时间模型与离散时间模型,参数模型与非参数模型,4,第2章 连续控制系统的数学模型,2.1 控制系统数学模型的概念,2.2 微分方程描述,2.3 传递函数,2.4 结构图,2.5 信号流图,2.6 系统数学模型的MATLAB表示,5,第2章 连续系统的数学模型,2.2 微分方程描述,描述系统输出变量和输入变量之间动态关系的 微分方程称为微分方程模型,6,2.2 微分方程描述,系统微分方程的形式与系统分类之间的关系: （1）非线性微分方程描述的是非线性系统； （2）线性微分方程描述的是线性系统; （3）时变系统的微分方程的系数与时间有关； （4）时不变(定常)系统的微分方程的系数与时间无关。,7,根据机理分析，列些微分方程的步骤：,确定系统的输入量和输出量。,对系统中每一个元件列写出与其输入、输出量有关的物理方程。,对上述方程进行适当的简化，比如略去一些对系统影响小的次要因素，对非线性元部件进行线性化等。,从系统的输入端开始，按照信号的传递顺序，在所有元部件的方程中消去中间变量，最后得到描述系统输入和输出关系的微分方程。,例2.1.RLC电路：研究在输入电压ur(t)作用下，电容上电压uc(t)的变化。,依据：电学中的基尔霍夫定律,由（2）代入（1）得：消去中间变量i(t),（两边求导）,整理成规范形式,例2.机械平移系统 求在外力F(t)作用下，物体的运动轨迹。,首先确定：输入F(t),输出x(t) 其次：理论依据 1.牛顿第二定律 物体所受的合外力等于物体质量与加速度的乘积 2.牛顿第三定律 作用力等于反作用力,现在我们单独取出m进行分析，这里不考虑重力的影响。,写微分方程时，常习惯于把输出写在方程的 左边，输入写在方程右边，而且微分的次数 由高到低排列 。机械平移系统的微分方程 为：,这两个例子的微分方程很相似，故可用电子线路来模拟机械平移系统，这也证明了我们前面讲到的，看似完全不同的系统，具有相同的运动规律，可用相同的数学模型来描述。,14,例3 一阶RC网络系统,15,例4 二阶RC网络系统,16,思考： 能否可以将二阶RC网络看成是两个一阶RC网络的串联？分别建立一阶RC网络的输入输出之间的微分方程关系，然后直接得到二阶RC网络的输入输出之间的微分方程关系？,串联,？,T12=0,17,一阶有源网络系统,二阶有源网络系统,思考： 能否可以将下列有源二阶RC网络看成是两个有源一阶RC网络的串联？为什么？,18,例5：编写下图所示的速度控制系统的微分方程。,19,线性系统微分方程的编写例子,20,消去中间变量：推出 之间的关系： 显然，转速 既与输入量 有关，也与干扰 有关。,21,第2章 连续控制系统的数学模型,2.1 控制系统数学模型的概念,2.3 传递函数,2.2 微分方程描述,2.4 传递函数模型,2.5 结构框图模型,2.6 频率特性模型,22,预备知识拉普拉斯变换与反变换, 拉氏变换定义 设函数f(t)满足 t0时，f(t)分段连续 则f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作,拉氏变换基本定理 线性定理 位移定理 延迟定理 终值定理,23,初值定理 微分定理 积分定理 拉氏反变换 F(s)化成下列因式分解形式： a. F(s)中具有不同的极点时，可展开为,24,b.F(s)含有共扼复数极点时，可展开为,c.F(s)含有多重极点时，可展开为,其余各极点的留数确定方法与上同。,25,典型信号的拉氏变换（1）,26,典型信号的拉氏变换（2）,27,应用拉氏变换的终值定理求,注意拉氏变换终值定理的适用条件：,事实上：,的极点均处在复平面的左半边。,不满足终值定理的条件。,28,拉氏变换的应用：求解微分方程,1,29,有理分式的分解（1）：极点为相异实数的情况,30,有理分式的分解（2）：出现极点为相同实数的情况,31,有理分式的分解（3）：出现极点为相异复数数的情况,32,2.3.1 传递函数与脉冲响应函数的定义,定义：在零初始条件下，线性定常系统（环节）输出的拉氏变换与 输入的拉氏变换之比，称为该系统（环节）的传递函数。,系统微分方程与传递函数可以直接转换!,33,因为组成系统的元部件或多或少存在惯性，所以G(s)的分母次数大于等于分子次数，即 ,若mn,我们就说这是物理不可实现的系统。,分母中S的最高阶次n即为系统的阶次。,34,下面考察单位脉冲输入信号下系统的输出,单位脉冲输入信号的拉氏变换为1,单位脉冲输入信号下系统的输出的拉氏变换为,单位脉冲输入信号下系统的输出为,思考： 求系统在单位阶跃信号作用下的输出响应（单位阶跃响应）。 并考虑系统的单位脉冲响应与单位阶跃响应之间的关系？,脉冲响应是系统的数学模型! 阶跃响应不是系统的数学模型!,35,传递函数的性质： （1）传递函数只取决于系统或元件的结构和参数，与输 入输出无关； （2）传递函数概念仅适用于线性定常系统，具有复变函 数的所有性质； （3）传递函数是复变量s 的有理真分式，即nm； （4）传递函数是系统冲激响应的拉氏变换； （5）传递函数与真正的物理系统不存在一一对应关系； （6）由于传递函数的分子多项式和分母多项式的系数均 为实数，故零点和极点可以是实数，也可以是成对 的共轭复数。,36,2.3.2 传递函数的表示方式,1有理分式形式,2零极点形式,37,2零极点形式,（传递函数是s的复变函数，s是复数变量）,38,2零极点形式,（传递函数是s的复变函数，s是复数变量）,39,3时间常数形式,40,2.3.3 线性系统的基本环节,放大环节（比例环节）：,积分环节：,微分环节：,惯性环节：,振荡环节：,一阶微分环节：,二阶微分环节：,滞后环节（纯时滞环节）：,一个系统或一个元件（线性连续）总可以由一个或几个基本环节组成。 有些基本环节在实际中可以单独存在，但象各种微分环节实际上是不能单独存在的。,41,例2.3.1：RC电路如图所示 依据：基尔霍夫定律 消去中间变量 ，,则微分方程为：,42,可用方框图表示,对上式进行零初始条件下的拉氏变换得：,43,传递函数的一般形式 （考虑时间滞后情况）,不考虑时间滞后时（不存在输送带）：,考虑时间滞后时（存在输送带）：,44,惯性环节从输入开始时刻就已有输出，仅由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要求的输出值；,惯性环节与延迟环节的区别：,延迟环节从输入开始后在0时间内没有输出，在t =之后，才有输出。,作业 2.3 2.4,46,第2章 连续控制系统的数学模型,2.1 系统数学模型的概念,2.3 传递函数,2.2 微分方程描述,2.4 结构图,2.5 信号流图,2.6 系统数学模型的MATLAB表示,47,2.4.1 结构图的概念和基本组成,控制系统的结构图是系统数学模型的图解形式， 可以形象直观地描述系统中各元件间的相互关系 及其功能以及信号在系统中的传递、变换过程。 特点：具有图示模型的直观，又有数学模型的精确。,1 .概念,48,(3)比较点： 综合点，相加点 加号常省略，负号必须标出 (4)引出点： 一条传递线上的信号处处相等 ，引出点的信号与原信号相等。,2. 组成 (1)方框：有输入信号，输出信号，传递线，方框内的函数为输入与输出的传递函数，一条传递线上的信号处处相同。 （2）信号线：带箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标注信号的时间函数或象函数,49,例1利用结构图等效变换讨论两级RC串联电路的传递函数。,解：不能把左图简单地看成两个RC电路的串联,有负载效应。根据电路定理，有以下式子：,3.结构图的绘制,50,绘图：ui(s)为输入，画在最左边。,这个例子不是由微分方程组代数方程组结构图，而是直接列写s域中的代数方程，画出了结构图。,51,若重新选择一组中间变量，会有什么结果呢？ (刚才中间变量为i1,u1,i2，现在改为I,I1,I2),从右到左列方程：,52,这个结构与前一个不一样，选择不同的中间变量，结构图也不一样，但是整个系统的输入输出关系是不会变的。,绘图,53,4.结构图的等效变换 （1）串联,54,(2)并联,55,(3)反馈 这是个单回路的闭环形式，反馈可能是负， 可能是正，我们用消去中间法来证明。,R(s),C(s),C(s),B(s),56,以后我们均采用(s)表示闭环传递函数， 负反馈时， (s)的分母为1回路传递函数， 分子是前向通路传递函数。 正反馈时， (s)的分母为1回路传递函数， 分子为前向通路传递函数。 单位负反馈时，,57,（4）信号引出点的移动： 引出点从环节的输入端移到输出端,信号分支点的移动和互换,58,信号相加点和分支点的移动和互换,引出点从环节的输出端移到输入端：,注意： 相临的信号相加点位置可以互换；见下例,59,信号相加点和分支点的移动和互换,同一信号的取出点位置可以互换：见下例,相加点和分支点在一般情况下，不能互换。,常用的结构图等效变换见表2-1,所以，一般情况下，相加点向相加点移动，分支点向分支点移动。,60,例2利用结构图等效变换讨论两级RC串联电路的传递函数。,总的结构图如下：,61,为了求出总的传递函数，需要进行适当的等效变换。一个可能的变换过程如下：,62,63,解：结构图等效变换如下：,例3系统结构图如下，求传递函数 。,64,结构图等效变换例子|例2-12,65,结构框图的化简 例2.9,66,结构图的化简 例2.10,67,结构图的化简 例2.11,68,2.4.4 反馈控制系统的传递函数,69,反馈控制系统的误差传递函数,R(s),E(s),E(s),N(s),70,2.5 信号流图,信号流图可以表示系统的结构和变量传送过程中的数学关系。它也是控制系统的一种数学模型。在求复杂系统的传递函数时较为方便。,71,一、信号流图及其等效变换 组成：信号流图由节点和支路组成的信号传递网络。见下图：,信号流图的概念,节点：节点表示变量。以小圆圈表示。 支路：连接节点之间的有向线段。支路上箭头方向表示信号传送方向，传递函数标在支路上箭头的旁边，称支路增益。 支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变为另一种信号。,72,上图中， 两者都具有关系: 。支路对节点 来说是输出支路，对输出节点y来说是输入支路。,信号流图的概念,73,回路(闭通路)：起点和终点为同一节点，而且信号通过每一节点不多于一次的闭合通路称为回路。,互不接触回路：回路之间没有公共节点时，这种回路称为互不接触回路。,信号流图的术语,通路传输(增益)：通路中各支路传输的乘积称为通路传输或通路增益。前向通路中各支路传输的乘积称为前向通路传输或前向通路增益。,回路传输(增益)：回路上各支路传输的乘积称为回路传输或回路增益。,74,信号流图的等效变换,75,信号流图的等效变换,76,信号流图的性质,节点表示系统的变量。一般，节点自左向右顺序设置，每个节点标志的变量是所有流向该节点的信号之代数和，而从同一节点流向支路的信号均用该节点的变量表示。 支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变换为另一信号。 信号在支路上只能沿箭头单向传递，即只有前因后果的因果关系。 对于给定的系统,节点变量的设置是任意的，因此信号流图不是唯一的,信号流图的性质,77,信号流图的绘制,信号流图的绘制： 根据结构图 例1 已知结构图如下，可在结构图上标出节点，如上图所示。然后画出信号流图如下图所示。,78,信号流图的绘制, 按微分方程拉氏变换后的代数方程所表示的变量间数学关系绘制。如前例所对应的代数方程为,按方程可绘制信号流图,79,梅逊公式的推导,梅逊公式的推导,如前例已知信号流图如图所示，所对应的代数方程为,以R为输入，V2为输出则可整理成下列方程,80,于是可求得该方程组的系数行列式,和,梅逊公式的推导,81,根据克莱姆法则得,于是传递函数为,分析上式可以看到，传递函数的分子和分母取决于方程组的系数行列式，而系数行列式又和信号流图的拓扑结构有着密切的关系。从拓扑结构的观点，信号流图的主要特点取决于回路的类型和数量。而信号流图所含回路的主要类型有两种：单独的回路和互不接触回路。,梅逊公式的推导,82,图中所示信号流图共含有五个单独回路和三对互不接触回路（回路和、和、和）,所有单独回路增益之和为,两两互不接触回路增益乘积之和为,而值恰好为,可见，传递函数的分母取决于信号流图的拓扑结构特征。,梅逊公式的推导,83,如果把中与第k条前向通道有关的回路去掉后，剩下的部分叫做第k条前向通道的余子式，并记为k。由图可得，从输入到输出的前向通道和其增益以及响应的余子式如下表所示,梅逊公式的推导,84,故用信号流图拓扑结构的术语，系统的传递函数可表示为,梅逊公式的推导,传递函数的分子等于系数行列式除以R(s)。而 恰好为,85,梅逊公式,用梅逊公式可不必简化信号流图而直接求得从输入节点到输出节点之间的总传输。（即总传递函数） 其表达式为：,式中： 总传输（即总传递函数）； 从输入节点到输出节点的前向通道总数； 第k个前向通道的总传输； 流图特征式；其计算公式为：,梅逊公式,86,（正负号间隔）,式中： 流图中所有不同回路的回路传输之和； 所有互不接触回路中，每次取其中两个回 路传输乘积之和；,所有互不接触回路中，每次取其中三个回路传输乘积之和；,第k个前向通道的特征式的余子式；其值为 中除去与第k个前向通道接触的回路后的剩余部分；,梅逊公式,87,梅逊公式|例2-13a,解：前向通道有一条； 有一个回路；,例1求速度控制系统的总传输 。（不计扰动）,88,梅逊公式|例4,解：先在结构图上标出节点，再根据逻辑关系画出信号流图如下：,例2：绘出两级串联RC电路的信号流图并用Mason公式计算总传递函数。,89,有两个互不接触回路