《概率论》第1章§5条件概率.ppt

将一枚硬币连抛两次，则样本空间是,如果我们已经知道试验结果中“至少出现了一次正面”,问此时,例,？,分析,记 至少出现一次正面,从而,由于 已发生,故“样本空间”变为,试验的所有可能结果,question,定义,设 是两个事件，且 记,若 则称,甲、乙两市位于长江下游,根据一百多年的气象记录,知道一年中雨天的比率甲市占20%,乙市占18%,两地同时下雨占12%. 试问甲、乙两市下雨是否有关系？,解,例,记 甲市下雨 乙市下雨,则,故可以认为甲、乙两市下雨是有联系的,什么叫“两个事件有关系”, 其数学描述是什么？,条件概率 的基本性质：,非负性,对于任一事件 有,规范性,对于必然事件 有,可列可加性,设是 两两不相容事件列，则有,证,为概率空间,从另一角度看条件概率,设 为概率空间,且事件 已发生,分析,已发生，所以样本空间变为,从而条件概率,可视为缩小的“样本空间” 上的概率, 即,（条件概率空间）,例1 将一枚硬币抛掷两次，观察其出现正反面的情况。设事件A为“至少有一次为H”，事件B为“两次掷出同一面”求已知事件A发生的条件下事件B发生的概率。 解：样本空间为S=HH,HT,TH,TT, A=HH,HT,TH, B=HH,TT。易知此问题为古典概型问题。则有：,例 一盒子装有只产品，其中只一等品，1只二等品。从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样。设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B是“第二次取到的是一等品” 。试求条件概率P(B|A)。 解 此问题属古典概型问题，将产品编号，号为一等品；号为二等品以(i,j)表示第一次、第二次分别取到第i号、第j号产品，样本空间为： S=(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4), ,(4,1),(4,2), (4,3) A=(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2), (3,4) AB=(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2) 所求的概率为：,由条件概率,对称地有,第一个袋中有黑、白球各 2 只, 第二个袋中有黑、白球各 3 只. 先从第一个袋中任取一球放入第二个袋中,再从第二个袋中任取一球.求第一、二次均取到白球的概率.,由乘法公式求得,解,例,记,第 次取到白球,则,条件概率是定义的，但条件概率的值通常是根据实际问题中的具体意义确定的,在概率论发展初期，古典概型中的加法公式,及乘法公式,是概率论的两条基本定理，是概率论深入发展的起点,条件概率乘法公式的说明,则所求概率为,解,例,袋中有 只红球、 只白球，依次将球一个个从袋中取出. 求第 次 取出红球的概率.,是不是所求概率？,解,某球队要经过三轮比赛才能出线. 该球队第一轮比赛被淘汰的概率为0.5,第二轮比赛被淘汰的概率为0.7,第三轮比赛被淘汰的概率为0.9 . 求球队出线的概率.,例,球队出线,则,是不是所求概率？,如何将一个复杂概率计算问题分解为简单计算问题之和,？,样本空间的分划：,设 为样本空间，若事件 满足：,两两不相容，即,想法,将 的计算分解到,上计算然后求和,通常要求,于是,设 为样本空间 的一个分划，即,对任何事件 有,全概率公式,袋中有a 只红球 b 只白球, 先从袋中任取一球, 记下颜色后放回，同时向袋中放入同颜色的球 1 只, 然后再从袋中取出一球. 求第二次取到白球的概率.,解,例,记 第 次取到白球,第 次取到红球,第 次取到白球,则 是 的一个分划,，由全概率公式有,第二次取到白球的概率与第一次取到白球的概率相等，与前面放入什么颜色的球无关,如果加入 c 个同色球有什么结果？,有10个袋，其中甲袋二个,每袋中有红球、白球各2个;乙袋三个,每袋中有红球3个、白球2个;丙袋五个,每袋中有红球2个、白球3个. 从十个袋中任取一袋,再从袋中任取一球, 求取到白球的概率.,解,例,记 分别表示取到甲、乙、丙袋,由全概率公式有,取到白球,全概率公式是概率的加权平均,如果将三个袋中的球混合在一起，然后任取一球，那么取到白球的概率是否相同？,设 为样本空间 的一个分划，且,则由乘法公式有,由全概率公式有,Bayes公式,由全概率公式有,解,例,记 取到次品,取到的产品是 车间生产的,由 Bayes 公式有,可见该次品是第二车间生产的可能性较大,Bayes 推断,某工厂的一、二、三车间都生产同一产品,产量分别占总产量的 三个车间的次品率分别为 现从汇总起来的产品中任取一个，经检查是次品，问它是哪个车间生产的可能性较大？,则,解,例,记 甲每天参加课后体育活动,乙每天参加课后体育活动,因为 较小， 较大, 两 人去活动可能是相约的，故可推断甲、乙相识,根据长期观察知道甲、乙两学生每天参加课后体育活动的比率分别为 和 两人同时参加体育活动的比率为 试问甲、乙两学生是否相识？,Bayes 方法广泛应用于网络、分类、诊断、估计、检验、判别、推理等方面,人物介绍 贝叶斯,若试验产生事件 , 则要探讨事件发生的“原因”,后验概率可以通过 Bayes 公式进行计算,后验概率反映了试验后对各种“原因”发生的可能性大小的推断,先验概率反映了各种“原因” 发生的可能性大小（在试验前是知道的）,Bayes公式的重要意义在于利用人们掌握的先验知识来推断后验概率,应用统计方法确定先验概率,应用 Bayes 公式计算机可计算出后验概率,应用医学知识确定,假定 为各种“疾病”,对人进行观察与检查, 可以确定某个指标 如体温、脉搏、血液中转氨酶含量等,对应于较大 的“疾病” 可提供给医生作进一步的临床诊断,由 Bayes 公式,此人真正患有癌症的概率为,解,例,用某种诊断法诊断癌症