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文档简介
3.2 数学归纳法的应用,第二章 3 数学归纳法与贝努利不等式,学习目标 1.会用数学归纳法证明与正整数有关的不等式. 2.了解贝努利不等式,并会证明贝努利不等式. 3.体会归纳猜想证明的思想方法.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 用数学归纳法证明与正整数n有关的不等式,思考1 用数学归纳法证明问题必须注意的步骤是什么?,答案 (1)归纳奠基:验证初始值. (2)归纳递推:在假设nk成立的前提下,证明nk1时问题成立.,思考2 证明不等式与证明等式有什么不同?,答案 证明不等式需注意的是对式子进行“放缩”.,梳理 利用数学归纳法证明不等式 在运用数学归纳法证明不等式时,由nk时命题成立,推导nk1命题成立时,常常要与其他方法,如 、 、 、_等结合进行.,比较法,分析法,综合法,放缩法,知识点二 贝努利不等式,对任意实数x1和任何正整数n,有(1x)n1nx.,题型探究,类型一 数学归纳法与放缩法结合证明不等式,证明,(2)假设当nk(kN,k2)时,命题成立,,即当nk1时,命题成立. 由(1)(2)可知,不等式对一切nN,n2都成立.,反思与感悟 在归纳递推过程中常用到放缩法,这也是在用数学归纳法证明不等式问题时常用的方法之一.,(2)假设当nk(k1,kN)时,不等式成立,,证明,所以当nk1时,不等式成立. 由(1)(2)知,对于任意大于1的正整数n,不等式均成立.,类型二 利用数学归纳法证明与数列有关的不等式,当n2时,anSnSn1,即SnSn12SnSn1.,解答,假设当nk(k1,kN)时,不等式成立,,证明,即当nk1时,不等式成立. 由可知, 对任意nN不等式都成立.,反思与感悟 (1)首先掌握好数学归纳法求解问题的步骤及等差、等比数列的基础知识,这是解决这类问题的基础. (2)此类题型通常与数列的递推公式、通项公式有关,有时要证明的式子是直接给出,有时是根据条件从前几项入手,通过观察、猜想,归纳出一个式子,然后再用数学归纳法证明.,证明,达标检测,1,2,4,3,解析 由题知,n的最小值为3,所以第一步验证n3是否成立.,1.用数学归纳法证明3nn3(n3,nN),第一步验证 A.n1 B.n2 C.n3 D.n4,答案,解析,1,2,4,3,答案,解析,1,2,4,3,答案,解析,1,2,4,3,4.用数学归纳法证明:2n2n2,nN.,证明,1,2,4,3,证明 (1)当n1时,左边2124;右边1,左边右边; 当n2时,左边2226,右边224,所以左边右边; 当n3时,左边23210,右边329,所以左边右边. 因此当n1,2,3时,不等式成立. (2)假设当nk(k3且kN)时,不等式成立, 即2k2k2. 当nk1时,2k1222k22(2k2)22k22k22k1k22k3(k22k1)(k1)(k3)k22k1(k1)2(因为k3,所以k30,k10).,1,2,4,3,所以2k12(k1)2. 故当nk1时,原不等式也成立. 由(1)(2)知,原不等式对任何nN都成立.,规律与方法,数学归纳法证明不等式的技巧 (1)证明不等式时,由nk到nk1的推证过程与证明等式有所不同,由于不等式中的不等关系,需要我们在证明时,对原式进行“放大”或者“缩小”,才能使用到nk时的假设,所以需要认真分析,适当放缩,才能使问题简单化,这是利用数学归纳法证明不等式时
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