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NOIP基础算法分治与贪心,巴蜀中学 黄新军,第四部分 分治策略,一、分治思想,分治法，又叫分治策略，顾名思义，分而治之。 它的基本思想为：对于难以直接解决的规模较大的问题，把它分解成若干个能直接解决的相互独立的子问题，递归求出各子问题的解，再合并子问题的解，得到原问题的解。 通过减少问题的规模，逐步求解，能够明显降低解决问题的复杂度。,二、分治法的适用条件,能使用分治法解决的问题，它们一般具备以下几个特征： 该问题可以分解成若干相互独立、规模较小的相同子问题； 子问题缩小到一定的程度能轻易得到解； 子问题的解合并后，能得到原问题的解； 分治法在信息学竞赛中应用非常广泛，使用分治策略能生成一些常用的算法和数据结构，如快排、最优二叉树、线段树等；还可以直接使用分治策略，解决一些规模很大、无法直接下手的问题。,三、分治的三步骤,分解：将要解决的问题分解成若干个规模较小的同类子问题； 解决：当子问题划分得足够小时，求解出子问题的解。 合并：将子问题的解逐层合并成原问题的解。,分治算法设计过程图,分治思想,由分治法所得到的子问题与原问题具有相同的类型。如果得到的子问题相对来说还太大，则可反复使用分治策略将这些子问题分成更小的同类型子问题，直至产生出不用进一步细分就可求解的子问题。分治求解可用一个递归过程来表示。 要使分治算法效率高，关键在于如何分割？一般地，出于一种平衡原则，总是把大问题分成K个规模尽可能相等的子问题，但也有例外，如求表的最大最小元问题的算法，当n6时，等分定量成两个规模为3的子表L1和L2不是最佳分割。一般来讲，都是2分为主。,四、分治的框架结构,if(问题不可分) 直接求解； 返回问题的解； else 对原问题进行分治； 递归对每一个分治的部分求解; 归并整个问题，得出全问题的解； ,五、分治的典型应用,1、求最大值和最小值 2、非线性方程求根 3、二分查找 4、归并排序 5、快速幂 6、求解线性递推关系 7、棋盘覆盖问题 8、循环日程表问题 9、寻找最近点对,1、求最大值和最小值,例题1：给n个实数，求它们之中最大值和最小值，要求比较次数尽量小。,分析：假设数据个数为n,存放在数组a1n中。可以直接进行比较： minn=a1;maxx=a1; for(i=2;imaxx)maxx=ai; else if(aiminn) minn=ai; 使用这一算法，比较次数为2(n-1)。若n=10,则比较18次。,用分治法解决这个问题就是把集合a分成a1,a2两个子集，每个子集有n/2个元素，应用递归结构找出两个子集的最大元和最小元，比较得到的两个最大元和最小元即可得到整个集合a中的最大元和最小元。 划分：把n个数均分为两半。即：划分点为d=(r1+r2)/2，两个区间为r1,d和d+1,r2。 递归求解：求左半的最小值min1 和最大值max1以及右半最小值min2和最大值max2。 合并：所有数的最大值为maxx，最小值为minn。,核心代码,void pd(int r1,int r2,int ,【思考试题】最大值最小化,【问题描述】把一个包含n个正整数的序列划分成m个连续的子序列(每个正整数恰好属于一个序列)。设第i个序列的各数之和为S(i)，你的任务是让所有的S(i)的最大值尽量小。例如序列1 2 3 2 5 4划分成3个序列的最优方案为1 2 3|2 5|4，其中S(1)=6，S(2)=7，S(3)=4，最大值为7；如果划分成1 2|3 2|5 4，则最大值为9；不如刚才的好。n=106，所有数字之和不超过109。,2、非线性方程求根,【例题2】一元三次方程的解 【题目描述】有形如：ax3+bx2+cx+d=0这样的一个一元三次方程。给出该方程中各项的系数(a,b,c,d均为实数)，并约定该方程存在三个不同实根(根的范围在-100至100之间)，且根与根之差的绝对值=1。要求由小到大依次在同一行输出这三个实根(根与根之间留有空格)，并精确到小数点后4位。 【文件输入】输入仅一行，有四个数，依次为a、b、c、d 【文件输出】输出也只有一行，即三个根(从小到大输出) 【样例输入】1 -5 -4 20 【样例输入】-2.00 2.00 5.00,分析,如果精确到小数点后两位，可用简单枚举法：将x从-100.00 到100.00（步长0.01）逐一枚举，得到20000个 f(x)，取其值与0最接近的三个f(x)，对应的x即为答案。而题目已改成精度为小数点后4位，枚举算法时间复杂度将达不到要求。 直接使用求根公式，极为复杂。加上本题的提示给我们以启迪：采用二分法逐渐缩小根的范围，从而得到根的某精度的数值,分析,A.当已知区间(a,b)内有一个根时； 用二分法求根，若区间(a,b)内有根，则必有f(a)*f(b)b或f(a+b)/2)=0，则可确定根为(a+b)/2并退出过程； (2).若f(a)*f(a+b)/2)0,则必然有f(a+b)/2)*f(b)0,根在(a+b)/2,b)中,对此区间重复该过程。 执行完毕,就可以得到精确到0.0001的根。,分析,B、求方程的所有三个实根 所有的根的范围都在-100至100之间，且根与根之差的绝对值=1。因此可知：在-100,-99、-99,-98、99，100、100，100这201个区间内，每个区间内至多只能有一个根。即：除区间100，100外，其余区间a,a+1，只有当f(a)=0或f(a)f(a+1)0时，方程在此区间内才有解。若f(a)=0 ，解即为a；若f(a)f(a+1)0 ，则可以利用A中所述的二分法迅速出找出解。如此可求出方程的所有的解。,核心参考代码,void divide(double x1,double x2) double x0,y0,y1,y2; x0=(x1+x2)/2; y1=cal(x1);y2=cal(x2);y0=cal(x0); if(x2-x11) divide(x1,x0); if(y0*y21) divide(x0,x2); ,3、归并排序,归并排序的基本思想：归并排序充分应用分治算法的策略，将n个数分成n个单独的有序数列，每个数列中仅有一个数字；再将相邻的两列数据合并成一个有序数列，每个数列中有2个数；再重复上面的合并操作，直到合成一个有序数列。按照分治三步法来说， 归并过程为： （1）划分：把序列分成元素个数相等的两半； （2）递归求解：把两半分别排序； （3）合并：把两个有序表合成一个；,分析,显然，前两部分是很容易完成的，关键在于如何把两个有序表合成一个。每次只需要把两个序列中当前的最小元素加以比较，删除较小元素并加入合并后的新表。,核心参考代码,int tempmaxn; /辅助空间 void MergeSort(int left,int right)/对区间left-right进行归并排序 if(left= =right)return; /只有一个元素 mid=(left+right)/2; /找中间位 MergeSort(left,mid); /对左边归并 MergeSort(mid+1,right); /对右边归并 i=left,j=mid+1,p=left; /合并左右 while(iaj) tempp+=aj+; else tempp+=ai+; while(i=mid)tempp+=ai+; while(j=right)tempp+=aj+; for(i=left;i=right;i+)ai=tempi; ,【变形1】逆序对数目,例题：求“逆序对”。 给定一整数数组A=(A1,A2,An), 若iAj,则就为一个逆序对。例如数组（3，1，4，5，2）的逆序对有,。问题是，输入n和A数组，统计逆序对数目。 数据范围：1=n=30000。,朴素算法,原始的解决方案（双重循环） C:=0; For i:=1 to n -1 do for j:=i+1 to n do if aiaj then c:=c+1; 时间复杂度为O(n2),分治算法：,采用二分法求解: 记数列ast,ed的逆序对数目为D(st,ed); mid=(st+ed)/2,则有： D(st,ed)=D(st,mid)+D(mid+1,ed)+F(st.mid,ed). 其中F(st,mid,ed)表示一个数取自Ast,mid,令一个数取自Amid+1,ed的逆序对数目。,和归并排序一样，划分和递归求解都好办，关键在于合并：如何求出i在左边，而j在右边的逆序对数目呢？统计的常见技巧是“分类”。我们按照j的不同把这些“跨越两边”的逆序对进行分类：只要对于右边的每个j，统计左边比它大的元素个数f(j)，则所有f(j)之和便是答案。 幸运的是，归并排序可以帮助我们“顺便”完成f(j)的计算：由于合并操作是从小到大进行排序的，当右边的aj复制到T中时，左边还没有来得及复制到T的那些数就是左边所有比aj大的数。此时累加器中加上左边元素个数mid-i+1即可。 即把“if(aiaj) tempp+=aj+;” 改为“if(aiaj)tot=tot+mid-i+1;tempp+=aj+; ”。,4、二分查找,【问题描述】给出从小到大排列的n个不同数a0an-1，试判断元素x是否出现在表中。,方法1：顺序查找：方法是一个个寻找，时间复杂度为O(n)。这个方法并没有用到“n个数从小到大排列”这一个关键条件，因而时间效率低下。,方法2：二分查找,只需要比较log2n个元素。假设需要在aLar中查找元素x。 划分：检查某个元素am(Lx，那么元素只可能在aLam-1中；如果amx，那么元素只可能在am+1ar中。 合并：不需要合并。,方法1：二分查找的递归实现,int bsearch(int L,int r,int x) if(Lr)return -1; int m=(L+r)/2; if(am= x)return m; else if (amx) return bsearch(L,m-1,x); else return bsearch(m+1,r,x); ,方法2：二分查找的非递归实现：,int bsearch(int L,int r,int x) int m; while(Lx) r=m1;else L=m+1; return -1; /查找不成功 ,【扩展1】二分查找求下界，即第一次出现的位置 int Erfen(int L,int r,int x) int mid; while(Lr) mid=(L+r)/2; if(x=amid)r=mid; else L=mid+1; return L; 【扩展2】二分查找求上界，即最后一次出现位置的后一个位置,【思考题目】给出n个整数和m个询问，对于每个询问(a,b)，输出闭区间a,b内的整数c的个数。,【思路点拨】 先把所有的数据从小到大排序； 二分查找求下界，即第一次出现的位置low； 二分查找求上界，即最后一次出现位置的后一个位置high； 答案区间为：ans=high-low,【变形1】查找等值点,【问题描述】n个不同整数从小到大排序后放在数组A0An-1中，是否存在i，使得Ai=i？若存在，试找到此点。,5、快速幂,【问题描述】计算an %k ，n=109。,方法1：朴素算法。每次乘以a，时间复杂度O(n)。 int power(int a,int n) int x=1; for(i=1;i=n;i+)x*=a; return x; ,方法2：分治算法,划分：如果n是偶数，考虑k=n/2，否则考虑k=(n-1)/2 递归求解：计算ak。 合并：如果n是偶数，则an=(ak)2，否则an=(ak)2*a 根据这个方法很容易写出程序： int power(int a,int n) if(n=0)return 1; else if(n%2=1)int x=power(a,(n-1)/2);return (x*x)%k*a)%k; elseint x=power(a,n/2);return (x*x)%k; ,方法3：用二进制实现快速幂计算,cinbpk;/输入三个数 t=p; while(t!=0)len+;alen=t%2;t=t/2; /转为二进制 ans=1; for(i=len;i=1;i-) /用二分法实现bp mod k ans=ans*ans%k; if(ai=1)ans=b%k*ans%k;/如果是奇数，就多乘b coutansendl;/输出bp mod k,6、求解线性递推关系,【例题】Fibonacci数 【题目描述】Fibonacci数列定义为：fi=fi-2+fi-1 (i2)，其中f1=1,f2=1。现在请你求Fibonacci数列的第n项。 【文件输入】输入文件只有一行为一个整数n(1=n=231-1)。 【文件输出】输出文件只有一行为一个整数，表示Fibonacci数列的第n项mod 32768的值。 【样例输入】4 【样例输出】3 【数据范围】 对于20%的数据，1=n=1000 对于40%的数据，1=n=10000000 对于100%的数据，1=n=231-1,分析,枚举，肯定超时,void precalc_fib(int n) f0=0;f1=1; for(int i=2;i=n;i+)fi=fi-1+fi-2; ,先复习矩阵乘法 两个2*2矩阵相乘的公式为, 可用倍增法在O(logn)时间内求出幂(忽略高精度),一般情形,7、棋盘覆盖问题,分析,8、循环日程表问题,【例题】比赛安排 【问题描述】设有2n(n=6)个球队进行单循环比赛,计划在2n -1天内完成，每个队每天进行一场比赛。设计一个比赛的安排，使在2n -1天内每个队都与不同的对手比赛。例如n=2时的比赛安排为： 队 1 2 3 4 比赛 1-2 3-4 第一天 1-3 2-4 第二天 1-4 2-3 第三天 【文件输入】一个整数n。 【文件输出】输出比赛安排表。 【样例输入】2 【样例输出】 1-2 3-4 1-3 2-4 1-4 2-3,初看此题，感觉无法下手，因为没有任何直接可用的算法和数据结构。 仔细分析，可以发现，将问题进行分解，能找出规律。 当n=1时，共有2个球队参赛，一天就可以比完。 当n=2时，共有4个球队，需比赛3天。从2个球队的比赛安排表中可以看出，左上角与右下角对称，左下角与右上角对称，左下角的值是由左上角值加n得到的。,cinn; m=1;a11=1;h=1; m=1n; /比赛总队数 while(h=m) /从一个球队开始构造 for(i=1;i=h;i+) for(j=1;j=h;j+) aij+h=aij+h; /构造右上角方阵 ai+hj=aij+h; /构造左下角方阵 ai+hj+h=aij; /构造右下角方阵 h=h*2; ,核心参考代码,9、寻找最近点对,给定平面上n个点,找出其中的一对点的距离,使得在这n个点的所有点对中,该距离为所有点对中最小的。（n=60000）,分析,【问题简述】给定平面上n个点的坐标，找出其中欧几里德距离最近的两个点。 【方法1】枚举算法。需要枚举O(n2)个点对，每个距离的计算时间为O(1)，故总的时间复杂度为O(n2)。,有没有更好的算法呢？,【方法2】分治算法,先按照X坐标排序，把所有点划分成个数尽量相等的两部分，分别求最近点对，设距离分别为dL和dr。,合并：令d=mindL,dr，则跨越两边的点对中，只有下面的竖条中的才有可能更近。,需要检查竖条里的所有点对吗？,由d的意义可知，P2中任何2个S中的点的距离都不小于d。由此而来可以推出矩形R中最多只有6个d/2*2/3*d的矩形(如下图所示)。,（反证法）若矩形R中有多于6个S中的点，则由鸽笼原理易知至少有一个d/2*2/3*d的小矩形中有2个以上S中的点。设U，V是这样2个点，它们位于同一小矩形中，则： (X(U)-X(V)2+(Y(U)-Y(V)2=(d/2)2+(d/2)2=25d2/36 因此，D(U,V)=5d/6d。这与d的意义相矛盾。也就是说矩形R中最多只有6个S中的点。 由于这种稀疏性质，对于P1中任一点p，P2中最多只有6个点与它构成最接近点对的候选者。,第五部分 贪心策略,序言,近年来的信息学竞赛中，经常需要求一个问题的可行解和最优解，这就是所谓的最优化问题。贪心法是求解这类问题的一种常用算法。在众多的算法中，贪心法可以算得上是最接近人们日常思维的一种算法，它在各级各类信息学竞赛、尤其在一些数据规模很大的问题中发挥着越来越重要的作用。,一、什么是贪心法,贪心法是从问题的某一个初始状态出发，通过逐步构造最优解的方法向给定的目标前进，并期望通过这种方法产生出一个全局最优解的方法。,贪心方法的基本思想,贪心是一种解题策略，也是一种解题思想 使用贪心方法需要注意局部最优与全局最优的关系，选择当前状态的局部最优并不一定能推导出问题的全局最优 利用贪心策略解题，需要解决两个问题： 该题是否适合于用贪心策略求解 如何选择贪心标准，以得到问题的最优解,【引例】在一个NM的方格阵中，每一格子赋予一个数（即为权），规定每次移动时只能向上或向右。现试找出一条路径，使其从左下角至右上角所经过的权之和最大。 我们以23的矩阵为例：,若按贪心策略求解，所得路径为：1346； 若按动态规划求解，所得路径为：12106。,适用于贪心策略求解的问题的特点,适用于贪心策略求解的问题必须具有最优子结构的性质，但并不是所有具有最优子结构的问题都可以用贪心策略求解。因为贪心往往是盲目的，需要使用更理性的方法动态规划（例如“0-1背包问题”与“部分背包问题”）,【问题1】部分背包问题,给定一个最大载重量为M的卡车和N种食品，有食盐，白糖，大米等。已知第i种食品的最多拥有Wi公斤，其商品价值为Vi元/公斤，编程确定一个装货方案，使得装入卡车中的所有物品总价值最大。,【分析】因为每一个物品都可以分割成单位块，单位块的利益越大，显然总收益越大，所以它局部最优满足全局最优，可以用贪心法解答。 方法如下：先将单位块收益按从大到小进行排列，然后用循环从单位块收益最大的取起，直到不能取为止便得到了最优解。,【问题2】0/1背包问题,给定一个最大载重量为M的卡车和N种动物。已知第i种动物的重量为Wi，其最大价值为Vi，设定M，Wi，Vi均为整数，编程确定一个装货方案，使得装入卡车中的所有动物总价值最大。,【分析】按贪心法，有反例：设N=3,卡车最大载重量是100,三种动物A、B、C的重量分别是40,50,70,其对应的总价值分别是80、100、150。,贪心策略与其他算法的区别,1.贪心与递推：与递推不同的是，贪心法中推进的每一步不是依据某一固定的递推式，而是当前看似最佳的贪心决策，不断的将问题归纳为更加小的相似的子问题。所以归纳、分析、选择正确合适的贪心策略，是正确解决贪心问题的关键。 2.贪心与动态规划：与动态规划不同的是，贪心是鼠目寸光；动态规划是统揽全局。,几个简单的贪心例子,贪心策略,例题1：删数问题,键盘输入一个高精度的正整数n（n=240位）,去掉其中任意s个数字后剩下的数字按照原来的次序将组成一个新的正整数。编程对给定的n和s,寻求一种方案,使得剩下组成的新数最小。 【样例输入】 178543 4 【样例输出】13,分析,由于正整数n的有效位数最大可达240位，所以可以采用字符串类型来存储n。那么，应如何来确定该删除哪s位呢？是不是只要删掉最大的s个数字就可以了呢？ 为了尽可能地逼近目标，我们选取的贪心策略为：每一步总是选择一个使剩下的数最小的数字删去，即按高位到低位的顺序搜索，若各位数字递增，则删除最后一个数字，否则删除第一个递减区间的首字符。然后回到串首，按上述规则再删除下一个数字。重复以上过程s次，剩下的数字串便是问题的解了。,例题2：排队问题,在一个食堂，有n个人排队买饭，每个人买饭需要的时间为Ti，请你找出一种排列次序，是每个人买饭的时间总和最小。,【思路点拨】由题意可知，本题可以采用的贪心策略为：将n个人排队买饭的时间从小到大排序，再依次累加每人的买饭时间，即可得到最小的总和。由样例可知，排好序后的数据为(1,3,5,7,9,11)，每个人的买饭时间如下： T1=1 T2=T1+T2=1+3=4 T3=T2+T3=1+3+5=9 T4=T3+t4=1+3+5+7=16 T5=T4+T5=1+3+5+7+9=25 T6=T5+T6=1+3+5+7+9+11=36 总时间T=T1+T2+T3+T4+T5+T6=91 用反证法证明如下：假设一个不排好序的n个人也能得到最优答案，比如把(1,3,5,7,9,11)中的3,5对调一下，得到的序列为(1,5,3,7,9,11)。对调后，3,5前后的1,7,9,11四个人的买饭时间不会有变化，关键的变化是3,5两个人。这时，5这个人的买饭时间为1+5，3这个人的买饭时间变为1+5+3，此时两个人的总买饭时间中，5被累加了2次，而原方案中是3被累加了2次，其他一样。由此，两者相比较，可知有序的序列能得到最优的方案。对于其他位置的改变可以采用同样的方法证明。用反证法证明时，关键是证明反例不成立，由此推出原方案是最优的。,问题推广：排队打水问题,有n个人排队到r个水龙头去打水，他们装满水桶的时间t1、t2.tn为整数且各不相等，应如何安排他们的打水顺序才能使他们总共花费的时间最少？,【例题3】打包,某工厂生产出的产品都要被打包放入正四棱柱的盒子内，所有盒子的高度为h，但地面尺寸不同，可以为 1x1、2x2、3x3、4x4、5x5、6x6。如下图所示。,这些盒子将被放入高度为h，地面尺寸为6x6的箱子中。为了降低运送成本，工厂希望尽量减少箱子的数量。如果有一个好算法，能使箱子的数量降到最低，这将给工厂节省不少的资金。请你编写一个程序。,分析,分析,贪心的经典应用,（一）、三个区间上的问题 1、选择不相交区间问题 2、区间选点问题 3、