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专题11 直角三角形探究,1在RtABC中,A90,有一个锐角为60,BC6. 若点P在直线AC上(不与点A,C重合),且ABP30,求CP的长 【解析】根据题意画出图形,分4种情况进行讨论,利用直角三角形的性质解答,解:如图1,当C60时,ABC30,与ABP30矛盾; 如图2,当C60时,ABC30,ABP30, CBP60,PBC是等边三角形,CPBC6;,2如图,在RtABC中,A90,ABAC,BC1,点M,N分别是边BC,AB上的动点,沿MN所在的直线折叠B,使点B的对应点B始终落在边AC上若MBC为直角三角形,求BM的长 解:在RtABC中,A90,ABAC,可得BC45, 由折叠可知,BMMB,若使MBC为直角三角形,分两种情况:,3如图1,等边ABC的边长为4 cm,边AB在射线OM上,且OA6 cm,点D从O点出发,沿OM的方向以1 cm/s的速度运动,当D不与点A重合时,将ACD绕点C逆时针方向旋转60得到BCE,连结DE. (1)求证:CDE是等边三角形; (2)如图2,当点D在射线OM上运动时,是否存在以D,E,B为顶点的三角形是直角三角形?若存在,求出此时t的值;若不存在,请说明理由,【解析】当DEB为直角三角形时,哪个内角是直角?有几种情况?,解:(1)将ACD绕点C逆时针方向旋转60得到BCE, DCE60,DCEC,CDE是等边三角形 (2)存在,当点D与点B重合时,D,B,E不能构成三角形, 当点D与点B重合时,不符合题意,当0t6 s时,由旋转可知,ABE60,BDE60, BED90,由(1)可知,CDE是等边三角形,DEB60, CEB30,CEBCDA,CDA30, CAB60,ACDADC30,DACA4, ODOADA642,t212 s;,当6t10 s时,由DBE12090,此时不存在; 当t10 s时,由旋转的性质可知,DBE60, 又由(1)知CDE60,BDECDEBDC60BDC, 而BDC0,BDE60,只能BDE90, 从而BCD30,BDBC4,OD14 cm, t14114 s,所以,当t2 s或14 s时, 以D,E,B为顶点的三角形是直角三角形,4以菱形ABCD的对角线交点O为坐标原点,AC所在的直线为x轴, 已知A(4,0),B(0,2),M(0,4),点P为菱形边上一点 (1)求BC边所在直线的解析式; (2)当OPM为直角三角形时,求点P的坐标,【解析】点在菱形边上有几种情况?当OPM为直角三角形时,哪个角是直角顶点?,(2)设点P的纵坐标为a.当点P在边AB或BC上时,POM90, 当点P在点C或点A时,OPM为直角三角形;当点P在边CD上时, 即:0a2时,P(42a,a),M(0,4),OP2(42a)2a25a216a16,PM2(42a)2(a4)25a224a32,OM216,POM是直角三角形,当POM90时,OP2OM2PM2,5a216a16165a224a32,a0,P(4,0),当MPO90时,OP2PM25a216a165a224a3210a240a48OM216,,5(2018预测)如图,抛物线L:yax2bxc与x轴交于A,B(3,0)两点(A在B的左侧),与y轴交于点C(0,3),已知对称轴x1. (1)求抛物线L的解析式; (2)设点P是抛物线L上任意一点,点Q在直线l:x3上,PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若能,求出符合条件的点P的坐标;若不能,请说明理由,【解析】当P点在x轴上方和下方时,注意等腰直角三角形的图形特点,利用全等得出线段的等量关系,利用勾股定理转化为方程,(2)设P(m,m22m3),Q(3,n),当P点在x轴上方时, 过P点作PM垂直于直线l,交直线l于M点,过B点作BN垂直于MP的延长线于N点,如图所示:B(3,0),PBQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形,BPQ90,BPPQ,则PMQBNP90,MPQNBP,,在PQM和BPN中,PMQBNP,MPQNBP,PQBP,PQMBPN(AAS),PMBN,PMBNm22m3, 根据B点坐标可得PN3m,且PMPN6, m22m33m6,解得m1或m0,P(1,4)或P(0,3);,6在平面直角坐标系中,抛物线yax2bx2过点A(2,0),B(2,2),与y轴交于点C. (1)求抛物线yax2bx2的函数解析式; (2)在抛物线yax2bx2的对称轴上是否存在点P,使ACP是直角三角形?若存在求点P的坐标,若不存在,请说明理由 【解析】ACP是直角三角形有几种情况?哪个角是直角?,7在平面直角坐标系中,四边形OABC的顶点分别为O(0,0),A(5,0),B(m,2),C(m5,2)是否存在这样的m,使得在边BC上总存在点P,使OPA90?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由 【解析】由题意得到BC5,且与x轴平行,使OPA90,即求点P在OA为直径的圆周上,8如图,AB是O的直径,弦BC2 cm,ABC60. (1)求O的直径; (2)若D是AB延长线上一点,连结CD,当BD长为多少时,CD与O相切; (3)若动点E以2 cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动,同时动点F以1 cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动,设运动时间为t,连结EF,当t为何值时,BEF为直角三角形,解:(1)O的直径为4 cm (2)当BD长为2 cm时,CD与O相切,(3)根据题意得BE42t,BFt.如图,当EFBC时,BEFBAC,BEBABFBC,即(42t)4t2,解得t1;如图,当EFBA时,BEFBCA,BEBCBFBA,即(42t)2t4,解得t1.6,当t1 s或t1.6 s时,BEF为直角三角形,10(2018预测)如图,对称轴为直线x1的抛物线yx2bxc与x轴相交于A,B两点,与y轴交于C点,其中A点的坐标为(3,0) (1)求抛物线的解析式; (2)若将此抛物线向右平移m个单位,A,B,C三点在坐标轴上的位置也相应的发生移动,在移动过程中,BOC能否成为等腰直角三角形?若能,求出m的值;若不能,请说明理由,解:(1)yx22x3 (2)向右平移后B(m1,0),C(m,m22m3), m22m3(m1),解得m2,m1(舍去); m
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