不确定非线性系统的直接自适应神经网络控制

1 2 4 2 0 0 8 ， 4 4 ( 6 ) C o m p u t e r E n g i n e e r i n g a n d A p p l i c a t i o n s 计算机工程与应用 不确定非线性系统的直接 自适应神经网络控制 李春华， 李 欣 ， 罗 琦 L I C h u F l - h u a ， L I X i n ， L U O Q i 南京信启 工程大学 信息与控制学院， 南京 2 1 0 0 4 4 C o l l e g e o f n o r m a t i o r t a n d C o n t r o 1 N a n j i n g U n i v e r s i t y o f l n f o r m a t i ( ) n S t y i e n e e a n d T e c h n o l o g y ， N a n j i n g 2 1 0 0 4 4 C h i n a E ma i l ： l i e h s u n n y 1 6 3 t ： o l n L I C h u n - h u a L I X i n ， L U O Qi D i r e c t a d a p t i v e n e u r a l n e t w o r k c o n t r o l f o r u n c e r t a i n n o n l i n e a r s y s t e m wi t h d i s t u r b a n c e Co mp u t e r En g i n e e r i n g a n d Ap p l i c a t i o n s 2 0 0 8 4 4 ( 6) ： 1 2 4 1 2 6 Ab s t r a c t ： I n t h i s p a p e r a d i r e c t a d a p t i v e n e t l r a n e t wo r k c o n t r o l l e r i s p r o p o s e d a md n g a t t h e u n k n o wn fl me t i o n s a n d u n e e r l a i n d l s t u r b a n ( - e o f a c l a s s o f mml i n e a s y s t e ms Th e R a d i a l B a s i s F u n c t i o n ( RI F)n e u r a l n e t w o r k i s i l s e d a s a p p r o x i ma t i o n mo d e l f b r t h e u n k n o wn f u n e t i ms d u e t o t h e i r n i e e r a p p r o x i ma t i o n c a p a b i l i t i e s ， a n d n o n l i n e a r d a mp i n g t e r ms i s u s e d t o e o u n t e r a e | t h e d i s t u l h a n c e s T h e p r o p o s e ( 1 me t 1 ( ) d s a d v a n t a g e s a r e s i mp l e s t me t m。e b r i e f a l g o r i t h m h i ( ：e r s t a b i l i t y a mt e o n v e r g e n ( e wi t h c o n d i t i o n s 。 S i m u l a t i o n r e s u l t s a r e p r e s e n t e d t o v e ff t h e e f t c t i v e n e s s o f t h e a p p r o a c h 。 Ke y wo r d s ：a d a p t i v e n e u r a l n e t w o r k； d i s t u r b a n c e c o u n t e r a c t i o n； u n c e r t a i n n o n l i n e ms y s t e m 摘要 ： 为解决一类带干扰 的不确 定非线性 系统 中存在 的两类未知项 未知 函数和外界 干扰 ， 采用了直接 自适应神 经网络控制 方法设 计控 制器 控 制器设计 中利用径向基函数神 经网络 良好的逼近性 来近似 未知函数 ， 利用非线性 衰减 项来抑制干扰 所 用方 法结构简单、 算法 简洁 ， 在一定条件 下稳 定性和收敛性能定性地得到保证 。最后 ， 仿真结果证 明了该方 法是正确的 火键词： 自适应神 经网络； 干扰抑制 ； 不确定非线性 系统 文章编 号： 1 0 0 2 8 3 3 l ( 2 0 0 8 ) 0 6 0 l 2 4 0 3 文献标识码： A 中I 冬 分类 号： T P 1 8 3 1 引 自适应控制的基本思 想是利用系统 的测量信号来 在线估 测不确定系统的参数， 此 自适应控制系统可以看作是在线参 数估 汁系统 。 在过去 一段 时间内 ， 非线性 系统 的自适应控制 已 成为研究的热点并且取得了很多 著的成果 i。然而 ， 自适应 控制方法的缺点是只能处理参数不确定的系统 ， 并且现有的自 适应控制方法都要求系统具有线性参数化的控制律。 为克服这 些缺点 ， 近年来 有 人试图用 自适 应神经网络控制 的方法来研 究。 大量研究结果表明， 对于复杂的不确定非线性系统 ， 自适应 神经刚络控制是一种很有效的方法17 - 1 0 。但是， 在实际的系统 中， 外界干扰是不可避免的一类不确定因素 ， 而且不能用神经 M络来逼近， 所以这就又增加了系统控制的难度。有学者提出 用鲁棒控制方法解决这类玎 J 题in , 1 2 1， 由于要用到大量的不等式 ， 所以鲁棒控 制存在 许多理想的假设 ， 则在实际控制过程 中就很 难取得理想的效果。 本文针对非线性系统中存在的两类不确定项未知函 数和外界干扰 ， 设汁了一种直接 自适应神经网络控制器 控制 器设汁中利用神经 络良好的逼近性来近似未知函数 ， 利用非 线性衰减项来抑制干扰 控制器结构简单， 规则少， 仿真结果验 征了所设汁的自适应神经网络控制器的有效性。 本文结构安排如下： 第 2章提出 题 ， 第 3章设汁直接自 适应神经网络控制器并进行稳定性分析， 第4荜给出仿真结果。 2 问题描述 考虑下面的非线性系统： 产 I+ 】 ， i ：1， - - ， n一1 X n= a x) + 6 ( ) H + d ( ) ( 1 ) _y= 其中， = ， X ， r R ， “ R ， Y R分别是系统状夺变量、 系统输入变量和输出变量。n ( ) 和 b ( ) 是未知函数 d ( t ) 是有 界干扰 ， 其上边界 d不必知道 ， 而在常规的鲁棒控制 中， 欧儿里 得范数对其变量是不可微分的 ， 所以处理干扰项 ( t ) 比较困 难。 为解决这些问题， 本文提出了直接自适应神经 络控制思想。 控制目标是设计自适应神经网络控制器使得系统( 1 ) 的所 有信号保持有界和其输出Y能跟踪期望的轨迹 Y 。 为描述方便， 在整篇文章中统一用如下 己 号 ： l l lf 代表 2 一 范数 ； 肚金项【 J ： 困家自 然科学基金( t h e N a t i o n a l N a t i r a l S c i e n e e F o u n d a t i o n o f C h i n a u n d e r G r a n t N o 6 0 5 7 4 0 4 2 ) ； 南京信息T程大学基金( N o Q ) 5 6 ) 。 作者简介： 李春华( 1 9 8 I 一 ) ， 女， 在渎硕士， 主要研究方向网络控制； 李欣( 1 9 8 3 一 ) ， 男， 在渎硕士， 主要研究方r n J 为智能控制与汁算智能； 罗琦 ( 1 9 5 8 一) ， 男 ， 教授 ， 博士生导师 ， 主要研究方 向为动 力系统 的稳定性 、 时滞控制 系统 的镇定性 、 偏泛函微分方程 的振 动性 态以及随机动 力系统 的形 态分析 。 收稿 日期 ： 2 0 0 7 0 6 2 5 修 In I | l 期 ： 2 ( m7 1 O l 9 维普资讯 李春华， 李 欣， 罗 琦： 不确定非线性系统的直接 自适应神经网络控制 2 0 0 8 4 4 ( 6 ) 1 2 5 l l 表示欧几里得范数； 1AI I = I 1 ， A= I ， a 2 ， ， I 针对所研究的不确定非线性系统( 1 ) ， 先做如下假设： 假设 1 b ( ) 的符号已知， 存在 6 。 b ， 0 ， 使得 b 。 I b ( ) I b ， ， V QCR 其中紧集 Q包含原点。 假设 1 表明光滑函数 b ( ) 是严格正定或严格负定的， 不 失一般性 ， 假设 0 O 。 引理 1设系统( 1 ) 满足假设 1 一 假设 3 ， 则存在期望的反馈 控制 一 一 ( 5 ) ( 常数 e 0 ) ， 使得 l i ra ff = 0 。 由于 d ( t ) 不能用神经网络近似， 在控制器设汁中， 用非线 性衰减项- p 2 e ( 常数p O ) 来抑制干扰。 证明 把期望反馈控制 u = u 带入式( 4 ) 得到 江 ) 一 q O 2 e s + d ( f ) ( 6 ) 选择一个正定函数 = e 2 b ( ) ， 对其求导得 裔一 e 2 ( - 2 b o 嚣一 其中7 ， = 2 b d w， = d 4 6 。 因此 ， 可以得出 是合适的李雅普诺夫函数 ， 根据李雅普 诺夫定理得 l i ra 一 l e l l = 0 ， 则可以得到 l i ra 一 l = 0成立。 已知6 ( ) 只跟状态变量 一 ， 有关， 因此期望反馈控 制 “ 可以表示成 、 和 的函数， 即 M术 =M 。( z ) 一 1 e - p 2 e ， z ： ， e ， 】 T CR + 2 ( 8 ) u 一 】 + e ( 9 ) 且紧集 = 恤， e ， v lv Q； c 。因为函数 n ( ) 和 b ( ) 是 未知函数， 所以非线性项 u 。 ( z ) 是不可用的。 又已知径向基函数 神经网络具有很好的函数逼近能力， 所以用下面的径向基函数 神经网络来近似替代未知函数 ” ( z ) 。 M ( z ) = 一 WrS( Z) ( 1 0) 其中输入向量 ZQ ， 权重向量 肚 ， 加 ， ， 加 f 1 R ， 神 经网络节点数 1 ， s ( z) = ， ( z) ( z) ， ( z) 其中s ( z) 通 常选用高斯函数 ， 其形式为 ( z) ： 。 p 塾 】 ， l ， r l ，z F ， 是接收域的中心点， r 是高斯函数的宽度。 已知径向基函数神经网络能以任意的精度逼近连续函数， 即在紧集 n CR q 中有如下的形式 ： u ， = 一 ( Z) 一 s， VZnz ( 1 1 ) 是理想常数权重， s是逼近误差。 假设 5在紧集 中，存在理想常数权重 使得 是有 界的 ， 且 I 占 1 占 ， 占 0 。 一 般情况下， 理想权重 是未知的 ， 在控制器设汁中必 须进行估算。令w是 的估计值 ， 权重误差则可以表示为 w 一 3 控制器设计和稳定性分析 针对非线性系统( 1 ) ， 由上面的分析 ， 提出如下的直接自适 应神经网络控制器 M ： 一 t ( z) 一 一 p 2 e ( 1 2) 下面来证明该控制器是可行的。 证明 把式 ( 1 2 ) 代入到式 ( 4 ) 得 P = ( ) + + 6 ( ) 一 w s ( z) 一 P 】 + d ( ) ( 1 3 ) 在式C l 3 ) 的右边加、 减 b ( ) U 得 _ 6 (枷 一 貉 + 6 (圳 一 fi ts ( Z )一 u 卜 b ( ) p + d( ) ( 1 4) 将式( 1 1 ) 代入上面的方程得 = _ l - fi T s ( Z ) + + ) 选择 u作为控制器可使系统( 1 ) 稳定 ， 下面用李雅普诺夫 定理来证明 。 l = 一 +_ l 衍 一 ( 1 6 ) 。 2 b ( ) 2 其中F = J 1 0是 自适应增益矩阵。 对 ， 求导得 ， = - - e 2 +衍一 I 一 - + 衍 ( Z) e s 卜 p ez + s ) 选择下面的 自适应律 W= F S ( Z) e 一 ( 1 8 ) o - 0 是一个非常小的常量。 假设 ： l _ - + ，其中 0 ， 0已知下面的不等 ( ， ( ， l 0 O )l I O ) 1 0 ( ， 1 l 式成立 维普资讯 1 2 6 2 0 0 8 4 4 ( 6 ) C o m p u t e r E n g i n e e r i n g a n d A p p l i c a t i o n s 计算机工程与应用 一 r 厂 W ， _ 一 o - W ( ) 一 r 厂ll w I l 2 + r 厂 l l w l l 一 ” e + b ) 2 2 ( ) d 2 巍 c 一9 ) 一 e +e 1 1 ” 一 - 将其代入式( 1 7 ) 得 一 一 i+ ( r I I W 2 Z I 3 ： P21 0 At ： + 8 叫 一 一= Z Z M 4 一 一 ( 2 0) l o 2 其恬 + b o p 1 一 。 假设 芝 ， r ， 一J 1 ， 则式( 2 0 ) 可化简为 一 一 2 b e 一 2 一 y J 2 一 b e + 2 = c I 一 ( ) 一 。 ( 21 ) 由此可以得出所设汁的控制器是有效的， 且系统内的 和 棘 终一致有界， 且控制 也是有界的， 即闭环系统内的所有 信号都是有 界的 。 下面对其进行稳定性分析。 不等式( 2 1 ) 也可以写为 。一 ( 2 2) 在不等式( 2 2 ) 的两边同乘以e ， 式( 2 2 ) 可以写作 d ( 。 e ) 6 e 。， 在l 0 ， 】 上对不等式积分得 一三 ， 一 三 ， ) ( 0 + 2 m !o 一 e ” 】 ( 0 ) 2 6 0tO lo 6 ( 2 3 ) 由式 ( 1 6 ) 可以得到 e = 2 6 ( ) ( t一 r ) 2 6 t( )【 ( 0 ) tO lo 6 一 一 = 2 6 l(训 + 等 ( e ( 。 ) (2 4 ) 0 O5 4 -5 一 j 0 5 1 0 1 5 2 0 25 3 0 0 5 l 0 I 5 2O 25 3 O Ti me s Ti me s 图 1 输m跟踪 幽 2 神经 网络权 蠹的 ， | 2范数 ( 实线， Y 一 虚线) 1 ) o n dn es s o f c o nt r o I 5 1 0 1 5 20 25 3 0 I i me s 3 控制 “的彳 界性 从图 1 得出输出Y达到了期望要求， 从图 2和图 3可以看 出系统的控制信号 和神经 网络权重有界 ， 从而得出本文设计的 直接自适应神经网络控制器是可行的。 则 - (25 )5 蔫 粪 燃 的 一 个 主 流 施2。 世 年 即可得知跟踪误差 e 有界，通过选择合适的设计参数可以使 得其收敛于原点的一个邻域内。 显然 ， 由上面的i 正明可以得到下面的定理 ： 定理 由系统( 1 ) 控制器( 1 2 ) 和 自适应律( 1 8 ) 组成的闭环 系统，假设存在足够大的紧集 QCR q ，使得对所有 t 0 ， Z f ，则可以得出闭环系统内的所有信号有界，其输出误差有 界， 且通过选择合适的设计参数可以收敛于原点的个邻域内。 4 仿真结果 在本章中， 通过仿真来征明该方法的可行性。把本文提出 的自适应神经网络控制器应用于下面的系统中 代以来取得了突破性进展 ， 与控制理论的结合， 形成了自动控 制领域的前沿学科之一神经网络控制。 神经网络控制是智 能控制的一个分支 ， 具有学习能力与自适应性 ， 是解决复杂的 非线性、 不确定、 不确知系统的控制问题的一条途径。 径向基函 数( R B F) 神经网络是其中一种， 它是一种局部逼近网络， 已证 明能以任意精度逼近任一连续函数。在本文中， 利用它的这种 特性 ， 通过神经网络的学习能力， 来近似代替系统中的一些函 数未知项， 取得了一定的效果。 神经网络直接自适应控制以其结 构简单、 算法简洁、 工程上易于理解 ， 且在一定条件下稳定性和 收敛性能定性地得到保证而倍受人们的重视， 应用越来越广泛。 ( 下转 2 3 0页) 椰 姻 的统 唧 环 的 一 一 一 一 一 一 由 为 状 研 一 一 一 一 一 一 一 洲 一 一一 一 5 0 5 0 2 2 1 O O O O _I I 】暑鲁 3 2 0 2 3 一 一 一 - ( I e 5 O 5 O 5 O 5 O 5 O In0 图 2 2 0 加 维普资讯 2 3 0 2 0 0 8 ， 4 4 ( 6 ) C o m p u t e r E n g i n e e r i n g a n d A p p l i c a t i o n s 计算机工程与应用 实验 2增量 K P C A算法( I K P C A) 采用 O R L人脸数据库作为实验数据库，使用 4 0个人 ， 每 人 2 张人脸图像， 共计 8 0 个训练样本作为初始化数据集 ， 其后 每次每人新增一个样本 ， 即每次增加4 O个样本， 直至增加到每 人 5张人脸图像， 余下的图像作为测试样本， 实验中对增量算 法与批处理算法同取 3 0个 P C s ， 核函数采用径向积核函数， 实 验共进行 1 0次， 实验结果取平均值， 见图 2 。 N u mb e r o f S a mp l e 图 2 K P C A与 K P C A识别率的比较 从以上两个实验的实验结果可以看出， I P C A算法或者是 I K P C A算法， 都能给出与批量算法相近的结果， 说明本文提出 的P C A增量算法是有效的。 6 结论 本文针对批增量数据的学习问题 ， 提出了适用于该问题的 P C A增量算法， 通过在 O R L人脸数据库上实验 ， 证明了该方法 有效性，同时该方法也可以应用到其他特征提取算法中去， 例 如 L D A， 构成该算法的增量形式。 参考文献 ： 1 T u r k M A， P e n t l a n d A P F a c e r e c o g n i t i o n u s i n g e i g e n f a c e s C P r o c e e d i n g s o f t h e I EEE Co n f e r e nc e o n Co mp u t e r Vi s i o n a n d Pa t t e r n Re c o g n i t io n， Ma u i ， Ha wmi ， US A， 3- 6 J u n e 1 9 91 ： 5 8 6 5 91 2 B e l h u m e u r P N， H e s p a n h a J P， K r i e g m a n D J E i g e n f a c e s v s F i s h e r f a c e s ：r e c o gnit i o n u s i n g c l a s s s p e c i fi c l i n e a r p r o j e c t i o n【J I EEE Tr an s a c t i o n s o n P a t t e rn An a l y s i s a n d Ma c h i n e I n t e l l i g e n c e， 1 9 9 7 ， 1 9 ( 7 ) ： 7 1 1 7 2 0 3 We n g J ， Z h a n g Y， Hw a n g W S C a n d i d c o v a r i a n c e f r e e i n c r e m e n t a l p ri n c i p a l c o m p o n e n t a n a l y s i s J J I E E E T r a n s P a t t e rn A n a l Ma c h I n t e l l ， 2 0 0 3 ， 2 5 ( 8 ) ： 1 0 3 4 1 0 4 0 4 S k o c a j D， L e o n a r d i s A We ig h t e d and r o b u s t i n c r e m e n t a l me t h o d f o r s u b s p a c e l e a rni n g C P roc 9 t h I E E E I n t C o n f C o m p u t e r V i s i o n ， Ni c e ， F r a n c e， 2 0 03， 2： l 49 4一l 5 0 0 f 5 】 J o l l i f f e I T P ri n c i p a l c o m p o n e n t a n a l y s i s M 2 n d e d N e w Y o r k ： S p r i n g e r Ve r l a g， 2 0 0 2 6 S h a w e T a y l o r J ， C ri s t i a n i n i N K e rne l m e t h o d s for p a t t e rn a n a l y s i s M S 1 ： C a mb ri d g e U n i v e r s i t y P r e s s ， 2 0 0 4 7 S c h l k o p f B， S m o l a A， Mu l l e r K N o n l i n e a r c o m p o n e n t a n a l y s i s a s a k e r n e l e i g e n v alu e p r o b l e mJ N e u r al C o m p u t ， 1 9 9 8 ， l O ( 5 ) ： 1 2 9 9 - 1 3 1 9 【 8 J8 L i S Z ， J a i n A K H a n d b o o k o f f a c e r e c o gni t i o n M I S 1 ： S p r i n g e r ， 2 o 0 5 9 G o l u b G H， V a n L o a n C F Ma t ri x c o mp u t a t i o n s M 3 r d e d I S 1 ： t J o h n s Ho p k i n s Un i v e r s i t y P r e s s ， 1 9 9 6 1 0 G o l u b G H L e c t u r e s o n ma t ri x c o mp u t a t i o n s E B OL 2 0 0 4 h t t p ： w ww ma t u n i r o ma 1 i t b e r t a c c i n i s e mi n a r s 1 1 S c h f l k o p f B ， S mo l a A L e a rni n g w i t h K e r n e l s M C a mb ri d g e ： M1 T P r e s s ， 2 0 0 2 1 2 A T & T L a b T h e O R L d a t a b a s e o f f a c e s E B O L h t t p： w w wu k r e s e a r c ha r t c o m f a c e d a t a b a s e 】 ( 上接 1 2 6 页 ) 参考文献 ： 1 S l o t i n e J J E， L i We i p i n g A p p l i e d n o n l i n e a r c o n t r o l M B e i j i n g Ch i n a Ma c h i n e P r e s s ， 2 0 0 4 2 Wa n g Z h o n g s h e n g ， L i a o X i a o x i n S y n c h ron i z a t i o n a n d p a r a m e t e r s i d e n t i fi c a t i o n o f c h a o t i c s y s t e ms v i a a d a p t i v e c o n t rol J J o u rna l o f E l e c t r o n i c S c i e n c e a n d T e c h n o l o g y o f C h in a ， 2 0 0 5 ， 3 ( 1 ) 3 L u J ， C a o J Ad a p t i v e c o m p l e t e s y n c h r o n i z a t i o n o f t w o i d e n t i c al o r d i ff e r e n t c h a o t i c ( h y p e r c h a o t i c )s y s t e ms w i t h f u l l y u n k n o w n p a r a m e t e r s ， Ch a o s ， 2 0 05 4 D i n g Z h e n g t a o A d a p t i v e c o n t r o l o f t ri a n g u l a r s y s t e m s w i t h n o n l i n e ar p a r a m e t e r i z a t i o n J J I E E E T r ansac t i o n s o n A u t o m a t i c C o n t rol ， 2 0 01 ， 4 6 ( 1 2 ) ： 1 9 6 3 1 9 6 7 5 Wang C ， Ge S S Ad a p t i v e b a c k s t e p p i n g c o n t r o l o f u n c e r t a i n l o r e n z s y s t e m J I n t e rna t i o n a l J o u rna l o f B i f u r c a t i o n a n d C h a o s ， 2 0 0 1 ， 1 1 ( 4 ) ： 1 1 1 5 1 1 1 9 6 Z h a n g T， G e S S ， Ha n g C CS t a b l e a d a p t i v e c o n t r o l f o r a c l a s s o f n o n l i n e a r s y s t e ms u s i n g a mo d i fi e d L y a p u n o v f u n c t i o n【J J I E E E T r a n sac t i o n s o n A u t o m a t i c C o n t r o l ， 2 0 0 0， 4 5 ( 1 ) ： 1 2 9 1 3 2 7 Z h o u Gu o p e n g ， S u We i z h o u ， Wa n g C o n g D i s t u r b a n c e r e j e c t i o n v i a a d a p t i v e n e u r a l d e s i g n for a c l a s s o f n o nmi n i mu m p h a s e n o n l i n e a r s y s t e ms C P roc e e d i n g s o f 2 0 0 5 I n t e rna t i o n al C o n f e r e n c e o n Ma c h i n e Le a r n i n g a n d C y b e rn e t i c s 2 0 0 5 2 0 0 5： 51 2 51 9 8 G e S S ， Wa n g C A d a p t i v e n e u r a l c o n t r o l o f u n c e rt i a n MI MO n o n l i n e a r s y s t e m s J I E E E T r ans a c t i o n s o n A u t o ma t i c C o n t r o l ， 2 0 0 4 ， 1 5： 6 7 4 6 9 2 9 Lew i s F L ， J a g a n n a t h a n S N e u r a l n e t w o r k c o n t r o l o f r o bot ma n i p u l a t o r s a n d n o n l i n e a r s y s t e m s f M Lon d o n ， UK： T a y l o r F r a n c i s ， l 9 9 9： 1 0 P o l y c a r p o u M M S t a b l e a d a p t i v e n e u r a l s c h e me for n o n l i n e a r s y s t e ms f J J I E E E T r a n s a c t i o n s o n A u t o m a t i c C o n t r o l ， l 9 9 6 ， 4 1 ： 4 4 7 4 51 1 1 I s i d o r i AGl o b al a l m o s t d i s t u r b a n c e d e c o u p l i n g w i t h s t a b i l i t y for n o n - mi n i