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*范例10.10 带电粒子在非匀强磁场中的运动规律(动画),一非匀强磁场B沿着z方向，大小与z成正比：B = Kzk，K为比例系数。一质量为m，电量为q的带电粒子以初速度v0从坐标原点射入磁场，初速度方向在O-xz平面内，与z方向的夹角为，如图所示。粒子的运动轨迹是什么？,解析根据洛仑兹力和牛顿第二定律可得粒子运动矢量微分方程F = ma = qv B，,由于,粒子运动微分方程的3个分量为,对第3式积分，并利用初始条件可得vz = v0cos，,由于z(0) = 0，再积分可得z = v0tcos，,当 = 0时，vx = vy = 0，因此粒子沿z轴做匀速直线运动。,在x = 0的平面，B = 0，因此粒子沿x轴做匀速直线运动。,当 = /2时，,vx = v0，vz = vy = 0，,*范例10.10 带电粒子在非匀强磁场中的运动规律(动画),一非匀强磁场B沿着z方向，大小与z成正比：B = Kzk ，K为比例系数。一质量为m，电量为q的带电粒子以初速度v0从原点射入磁场，初速度方向在O-xz平面，与z方向的夹角为，如图所示。粒子的运动轨迹是什么？,在一般情况下，需要求粒子在x方向和y方向的运动方程，才能说明粒子的运动轨迹。,将前两个微分方程相除，可得微分方程vxdvx + vydvy = 0，,依初始条件vx = v0sin，vy = 0，积分上式得vx2 + vy2 = v02sin2，,z = v0tcos,设vx = v0sincos，vy = v0sinsin，,将两式和z = v0tcos代入第1个微分方程可得新的微分方程,是角度变量。,*范例10.10 带电粒子在非匀强磁场中的运动规律(动画),当t = 0时， = 0，,代入第1个微分方程可得,积分,设,这个积分称为菲涅耳余弦积分，只有数值解。,可得积分,积分得,同量可得,这个积分称为菲涅耳正弦积分。,当积分上限趋于无穷大时，两个菲涅耳积分都趋于,因此粒子的极限坐标为,当带电粒子的入射角为60时，其坐标x和y随时间均做周期性变化；时间越长，幅度越小。,带电粒子的z坐标随时间直线增加。,带电粒子的运动轨迹是螺旋上升的，时间越长，粒子运动得越高，半径也越小。,由于粒子在z方向做匀速直线运动，因此，粒子不会返回来，这是因为场强只有z分量。,极限横坐标为1.085R，极限纵坐标为-1.085R。,在场强只有z分量的情况下，不管磁感应强度与z的多少次方成正比，粒子都不会返回来。,当入射角为-60时，带电粒子的运动规律。,当入射角为-60
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