全国版高考数学第二章函数导数及其应用2.4指数函数课件理.pptx

第四节 指数函数,【知识梳理】 1.根式 (1)根式的概念 若_,则x叫做a的n次方根,其中n1且nN*.式子 叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数.,xn=a,a的n次方根的表示: xn=ax=,(当n为奇数且nN*时), _(当n为偶数且nN*时).,(2)根式的性质 ( )n=a(nN*). ,a,a0, -a,a0,a,n为奇数, _=,n为偶数.,|a|,2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念: 正分数指数幂: =_(a0,m,nN*,且n1); 负分数指数幂: =_= (a0,m,nN*,且n1); 0的正分数指数幂等于_,0的负分数指数幂_.,0,无意义,(2)有理数指数幂的运算性质: aras=_(a0,r,sQ); (ar)s=_(a0,r,sQ); (ab)r=_(a0,b0,rQ).,ar+s,ars,arbr,3.指数函数的图象及性质,上方,(0,1),R,(0,+),减,增,y=1,y1,0y1,0y1,y1,【特别提醒】 1.指数函数图象画法的三个关键点 画指数函数y=ax(a0,且a1)的图象,应抓住三个关键 点:(1,a),(0,1),2.指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y=ax, (2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx的图象,底数 a,b,c,d与1之间的大小关系为cd1ab. 由此我们可得到以下规律:在y轴右(左)侧图象越高(低),其底数越大.,【小题快练】 链接教材 练一练 1.(必修1P56例6改编)若函数f(x)=ax(a0,且a1)的 图象经过点A( ),则f(-1)=_.,【解析】依题意可知a2= ,解得a= 所以f(x)=( )x,所以f(-1)=( )-1= 答案:,2.(必修1P60B组T1改编)若函数y=(a2-1)x在R上为增函数,则实数a的取值范围是_. 【解析】由y=(a2-1)x在(-,+)上为增函数,得a2-11,解得a 或a 或a-,感悟考题 试一试 3.(2016泉州模拟)函数f(x)=ax-1(a0,a1)的图象恒过点A,下列函数中图象不经过点A的是 ( ) A.y= B.y=|x-2| C.y=2x-1 D.y=log2(2x),【解析】选A.由f(x)=ax-1(a0,a1)的图象恒过点 (1,1),又0= ,知(1,1)不在y= 的图象上.,4.(2016唐山模拟)函数y=ax- (a0,且a1)的图象可能是 ( ),【解析】选D.方法一:当a1时,y=ax- 为增函数,且在 y轴上的截距为00,且a1)的图象必过点 (-1,0),所以选D.,5.(2016黄山模拟)计算: =_. 【解析】原式= =23=6. 答案:6,考向一 指数幂的化简与求值 【典例1】(1)化简: (x0,y0)=_. (2)计算: +0.002 -10( -2)-1+0.,【解题导引】(1)将根式化为分数指数幂,然后利用幂的运算性质进行计算. (2)将负分数指数幂化为正分数指数幂,然后利用幂的运算性质进行计算.,【规范解答】(1) 答案:-1,(2)原式=,【规律方法】指数幂的运算规律 (1)有括号的先算括号里的,无括号的先算指数运算. (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数. (3)底数是负数,先确定符号,底数是小数,先化成分数,底数是带分数的,先化成假分数.,(4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答. 易错提醒:运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数,形式力求统一.,【变式训练】 化简下列各式(其中各字母均为正数): (1) (2),【解析】(1)原式= (2)原式=,【加固训练】 1.若a=(2+ )-1,b=(2- )-1,则(a+1)-2+(b+1)-2的值是 ( ) A.1 B. C. D.,【解析】选D.a=(2+ )-1=2- ， b=(2- )-1=2+ ， 所以(a+1)-2+(b+1)-2 =(3- )-2+(3+ )-2,2.化简 的值为_. 【解析】由题意可知a0,故原式= 答案:,3.化简:,【解析】原式=,考向二 指数函数的图象及应用 【典例2】(1)(2016秦皇岛模拟)函数f(x)=21-x的大致图象为 ( ),(2)(2016汕头模拟)若直线y=2a与函数y=|ax-1| (a0,a1)的图象有两个公共点,则实数a的取值范围为_.,【解题导引】(1)将函数化为f(x)=2( )x的形式,根据函数的性质及过定点,并结合选项判断. (2)分01两种情况,分别在同一直角坐标系中作出两函数的图象,数形结合求解.,【规范解答】(1)选A.函数f(x)=21-x=2( )x,单调递减且过点(0,2),选项A中的图象符合要求.,【一题多解】解答本题,你知道几种解法? 解答本题,还有以下解法: 选A.(采用平移法)因为函数f(x)=21-x=2-(x-1),所以先画出函数y=2-x的图象,再将y=2-x图象的所有点的横坐标向右平移1个单位,只有选项A符合.,(2)分底数01两种情况,分别在同一直角坐标系中作出两函数的图象,如图:,从图中可以看出,只有当0a1,且02a1, 即0a 时,两函数才有两个交点. 所以实数a的取值范围为 答案:,【母题变式】 1.本例题(1)中的函数改为f(x)=a1-x+2,则此函数经过的定点是什么? 【解析】因为指数函数恒过(0,1),故1-x=0,即x=1,f(1)=3,故f(x)恒过定点(1,3).,2.本例题(1)中,若改为函数y=21-x+m的图象不经过第一象限,则m的取值范围如何? 【解析】y= ,函数y= 的图象如图所示, 则要使其图象不经过第一象限,则m-2.,【规律方法】指数函数图象的画法及应用 (1)与指数函数有关的函数图象的研究,往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称、翻折变换得到其图象. (2)一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解.,【变式训练】1.若函数y=ax+b的图象如图所示,则函数y= +b+1的图象为 ( ),【解析】选C.由图可知0a1,-2b-1. 又函数y= +b+1的图象是由y= 向左平移a个单位,向下平移|b+1|个单位而得到的.结合四个选项可知C正确.,2.方程2x=2-x解的个数是_个. 【解析】方程的解可看作函数y=2x和 y=2-x的图象交点的横坐标,分别作出 这两个函数图象(如图). 由图象得只有一个交点,因此该方程只有一个解. 答案:1,【加固训练】 1.函数f(x)=ax-b的图象如图,其中a,b为常数,则下列结论正确的是 ( ) A.a1,b1,b0 C.00 D.0a1,b0,【解析】选D.由f(x)=ax-b的图象可以观察出,函数f(x)=ax-b在定义域上单调递减,所以0a1.函数f(x)=ax-b的图象是在f(x)=ax的基础上向左平移得到的,所以b0.,2.已知实数a,b满足等式2014a=2015b,下列五个关系式:0ba;ab0;0ab;ba0;a=b.其中不可能成立的关系式有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,【解析】选B.设2014a=2015b=t,如图所示, 由函数图象,可得(1)若t1,则有ab0. (2)若t=1,则有a=b=0. (3)若0t1,则有ab0. 故可能成立,而不可能成立.,3.(2016福建五校联考)定义运算ab= 则函数f(x)=12x的图象是( ),【解析】选A.因为当x0时,2x1; 当x0时,2x1. 则f(x)=12x= 可知A正确.,4.若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围为_.,【解析】画出曲线|y|=2x+1与直线y=b的图象如图所示. 由图象可得|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b应满足的条件是b-1,1. 答案:-1,1,考向三 指数函数的性质及应用 【考情快递】,【考题例析】 命题方向1:比较指数幂的大小 【典例3】(2016福州模拟)下列各式比较大小正确的是 ( ) A.1.72.51.73 B.0.6-10.62 C.0.8-0.11.250.2 D.1.70.30.93.1,【解题导引】根据选项,构造指数函数,利用指数函数的性质进行判断.,【规范解答】选B.A中,因为函数y=1.7x在R上是增函数,2.50.62. C中,因为0.8-1=1.25, 所以问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小.,因为y=1.25x在R上是增函数,0.11,00.93.1.,命题方向2:指数函数性质的综合应用 【典例4】(2016石家庄模拟)已知函数f(x)= (a0且a1). (1)求f(x)的定义域和值域. (2)讨论f(x)的奇偶性. (3)讨论f(x)的单调性.,【解题导引】(1)将ax用y表示,利用ax0求值域. (2)根据函数的奇偶性的定义判断. (3)分01两种情况,对函数f(x)的单调性进行讨论.,【规范解答】(1)f(x)的定义域是R, 令y= ,得ax= 因为ax0,所以- 0,解得-1y1, 所以f(x)的值域为y|-1y1.,(2)因为f(-x)= =-f(x),且定义域关于原点对称, 所以f(x)是奇函数. (3)f(x)= 设x1,x2是R上任意两个实数,且x1x2, 则f(x1)-f(x2)=,因为x11时, 0, 从而 +10, +10, - 0, 从而 +10, +10, - 0, 所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),f(x)为R上的减函数.,【技法感悟】 指数函数的性质及应用问题解题策略 (1)比较大小问题.常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法. (2)指数函数的综合问题.要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合,同时要特别注意底数不确定时,对底数的分类讨论.,【题组通关】 1.(2015山东高考)设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是 ( ) A.abc B.acb C.bac D.bca,【解析】选C.函数y=0.6x单调递减,所以b=0.61.5 1,所以bac.,2.(2016宁化模拟)函数y=|2x-1|在区间(k-1,k+1)上不单调,则k的取值范围是 ( ) A.(-1,+) B.(-,1) C.(-1,1) D.(0,2),【解析】选C.由于函数y=|2x-1|在(-,0)上递减,在(0,+)上递增,而函数在区间(k-1,k+1)上不单调,所以有0(k-1,k+1),则k-10k+1,解得-1k1.,3.(2016成都模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=1-2-x,则不等式f(x)- 的解集是 ( ) A.(-,-1) B.(-,-1 C.(1,+) D.1,+),【解析】选A.当x0时,f(x)=1-2-x0, 又f(x)是R上的奇函数, 所以f(x) (x0)的解集关于原点对称,由1-2-x 得2-x1,则f(x)- 的解集是(-,-1).,4.(2016太原模拟)已知函数f(x)= 设ab0,若f(a)=f(b),则bf(a)的取值范围是_.,【解析】画出函数图象如图所示,由图象可知要使 ab0,f(a)=f(b)同时成立,则 b1. bf(a)=bf(b)=b(b+1)=b2+b= 所以 bf(a)2. 答案:,【加固训练】 1.(2016郑州模拟)设函数f(x)= 若 f(a)1,则实数a的取值范围是( ) A.(-,-3) B.(1,+) C.(-3,