《数学竞赛》第五章几何.pptVIP

2019/8/5,1,第五章 几 何,5.2 几个重要定理,2019/8/5,2,5.2 几个重要定理,2019/8/5,3,5.2 几个重要定理,2019/8/5,4,5.2 几个重要定理,例1：证明：在三角形中， （1）三条中线交于一点（重心）； （2）三条角平分线交于一点（内心）； （3）三条边的中垂线交于一点（外心）； （4）三条高交于一点（垂心）,2019/8/5,5,5.2 几个重要定理,例2：在ABC中，设三边BC、CA、AB分别与三角形的内切圆相切于X、Y、Z，证明：AX、BY、CZ交于一点（葛尔刚（Gergonne）点).,2019/8/5,6,5.2 几个重要定理,例3：如图5.2.2，过ABC的三个顶点A，B，C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于P,Q，R，求证：P、Q、R三点共线（莱莫恩（Lemoine）线).,见课本P191.例1,2019/8/5,7,5.2 几个重要定理,例2：在ABC中，设三边BC、CA、AB分别与三角形的内切圆相切于X、Y、Z，证明：AX、BY、CZ交于一点（葛尔刚（Gergonne）点). 例3：如图5.2.2，过ABC的三个顶点A，B，C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于P,Q，R，求证：P、Q、R三点共线（莱莫恩（Lemoine）线).,笛沙格（Desargues）定理,2019/8/5,8,例4：设AD是ABC的高，P为AD上一点，BP、CP的延长线分别交AC、AB于E、F（图5.2.7）。 证明：AD平分EDF,5.2 几个重要定理,见课本P195.例5,N,M,证法1：利用Ceva定理,2019/8/5,9,例4：设AD是ABC的高，P为AD上一点，BP、CP的延长线分别交AC、AB于E、F（图5.2.7）。 证明：AD平分EDF,5.2 几个重要定理,见课本P195.例5,证法2：,Q,完全四边形的调和性,10,5.2 几个重要定理,2019/8/5,11,例5：等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的连线中，最长的等于其余两线的和. 即：证明 AP=BP+PC,5.2 几个重要定理,D,证法1：延长BP至D使PD=PC， 连CD. 然后证明AP=BD.,证明 ACPBCD.,2019/8/5,12,例5：等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的连线中，最长的等于其余两线的和. 即：证明 AP=BP+PC,5.2 几个重要定理,C,证明 ABCCBP.,证法2：在AP上取一点C，使PC=BP，连BC. 然后证明 AC=PC.,2019/8/5,13,例5：等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的连线中，最长的等于其余两线的和. 即：证明 AP=BP+PC,5.2 几个重要定理,证法3(托勒密定理)： BCAP=ACBP+ABPC， 所以 AP=BP+PC,2019/8/5,14,5.2 几个重要定理,2019/8/5,15,5.2 几个重要定理,五、 西姆松（Simson ）定理 三角形外接圆周上任意一点在三边（所在直线）上的射影共线.,1,2,证法一：只需证 1+ 2=180,证法二：应用Menelaus定理,2019/8/5,16,2019/8/5,17,Menelaus定理,2019/8/5,18,改述为： 如图，ABC中， E、F分别是AC、AB上的点，且EFBCBE与CF交于点O，AO交BC于D，求证：BD=DC.,2019/8/5,19,改述为： 如图，ABC中， E、F分别是AC、AB上的点，且EFBCBE与CF交于点O，AO交BC于D，求证：BD=DC.,P,(BC,D P)=-1,BD=DC,2019/8/5,20,5.3 几个典型的几何问题,一、共圆点问题,证明四点共圆，通常用下列方法： （1）证诸点到一定点的距离相等（圆的定义） （2）证明是圆内接四边形（或证对角互补，或证某两点视另两点连线段的视角相等，当然这两点要在这线段的同侧） （3）相交弦定理之逆：若=O，证明 （4）直径所对圆周角是直角：如果其中某两点的连线段为直径，可证明其余的点对这线段的视角均为直角,2019/8/5,21,5.3 几个典型的几何问题,一、共圆点问题,例通过圆内接四边形一顶点和邻接二边中点作圆，证明这四圆共点,设O是四边形的外心， 则OMAB， ONAD, 因此，A、M、O、N共圆。,2019/8/5,22,5.3 几个典型的几何问题,一、共圆点问题,例2密克（Miquel ）定理： 在三边，所在直线上分别取，三点，则，三个圆共点.,1,2,3,2019/8/5,23,例3,见课本P204.例1,24,2019/8/5,25,5.3 几个典型的几何问题,一、共圆点问题,例4：三角形三边中点，三垂足，垂心与三顶点连线段的中点，这九点共圆，称为这三角形的九点圆,如图：，设是三边 中点，是垂足，是垂心， ，是，的中点 则， 九点共圆,九点圆定理,2019/8/5,26,5.3 几个典型的几何问题,一、共圆点问题,九点圆定理,九点圆的性质,三角形的九点圆的半径是三角形外接圆半径的一半； 三角形的九点圆心、外心、重心、垂心四心共线（欧拉线）； 三角形的外心，重心，九点圆圆心，垂心分别为，则2 1 ,2019/8/5,27,5.3 几个典型的几何问题,一、共圆点问题,三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心分别为，则 2 1 ,2019/8/5,28,见课本P205.例3,2019/8/5,29,5.3 几个典型的几何问题,二、共线点问题,证明三点（，）共线的方法： 1.利用平角：证明XYZ=180（或0） 2.证明与平行于同一条直线；证明、同在一定直线上；证明和某定直线的交点就是 3.利用已知的共线点定理（如欧拉线、西姆松线等） 4.应用Menelaus定理 5.利用位似形的性质对应点连线过位似中心 6.利用射影几何有关定理：德萨格（ Desargues ）定理、帕普斯（ Pappus ）定理、 帕斯卡（Pascal）定理等,2019/8/5,30,见课本P207,2019/8/5,31,证法二：利用二次曲线的极与极线.,N,例6：在中以为直径的圆交，于，求证：圆在，的切线与高线共点,分析一：设过E点的切线交AD于M， 易证图中三个角相等， 则ME=MH=MA. 连FM，须证FM是圆的切线 作F点的半径FO， 只需证FOFM,O,1,2,3,结论为三线共点， 注意到E、F的切线就是 E、F的极线. AD又是谁的极线？如果找到AD的极，可利用“共线点的极线共点”证明之.,2019/8/5,32,N,H,F,D,E,A,B,C,P,Q,“共线点的极线共点”,“共点线的极共线”,P Q H,AP的极 AQ的极 AN的极,2019/8/5,33,N,P,Q,条件“BC为直径、H是垂心”有用么？,D,2019/8/5,34,圆也可以换.,2019/8/5,35,5.3 几个典型的几何问题,三、共点线问题,证明三线共点的方法： 1.转化为共线点的问题来证明 2.利用已知的共点线定理（如外心、内心、重心、垂心等） 3.应用Ceva定理 4.利用位似形的性质对应点连线过位似中心 5.利用射影几何有关定理：德萨格（ Desargues ）定理、布利安双（Brianchon）定理等 6.解析法,2019/8/5,36,例（牛顿定理）. 求证:圆外切四边形对边切点的连线与对角线四线交于一点.,2019/8/5,37,习题5.3 4.三圆两两相交，则三条公共弦所在直线平行或交于一点.,O1,O2,O3,P,F2,F1,2019/8/5,38,习题5.3 8. AB是半圆O的直径，过A、B引弦AC、BD，并过C、D引圆O的切线交于