大学数学概率论及试验统计第三版1-2.ppt

1.2 随机 事件的概率,研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是事件的概率.,一.事件的概率,概率是随机事件 发生可能性大小 的度量,事件发生的可能性 越大，概率就 越大！,用一个数来度量可能性的大小，这个数应该是事件 本身所固有的，可以在相同的条件下通过大量的重复试 验予以识别和检验；这个数还应该符合一般常情，可能 性大的事件用较大的数来度量，可能性小的事件用较小 的数来度量，可能性相等的事件用相同的数来度量。,?,事件发生的可能性 最大是百分之百，此时 概率为1.,0P(A)1,我们用P(A)表示事件A发生的概率，则,事件发生的可能性 最小是零，此时 概率为0.,（一）频率的定义,二、频率与概率 概率的统计定义,事件A在n次重复试验中出现nA次， nA称为事件A 的频数，比值nA/n称为事件A的频率，记为fn(A).,设 A 是随机试验 E 的任一事件, 则,（二）性质,n,实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各做 7 遍, 观察正面出现的次数及频率.,波动最小,随n的增大, 频率 f 呈现出稳定性,我们再来看一个验证频率稳定性的著名实验,高尔顿(Galton)板试验.,试验模型如下所示:,自上端放入一小球,任其自 由下落,在下落过程中当小球碰 到钉子时,从左边落下与从右边 落下的机会相等.碰到下一排钉 子时又是如此.最后落入底板中 的某一格子.因此,任意放入一球, 则此球落入哪一个格子,预先难以确定.但是如果放入大量小球,则其最后所呈现的曲线,几乎总是一样的.,重要结论,频率当 n 较小时波动幅度比较大，当 n 逐渐增 大时 ， 频率趋于区间0，1上的某一个稳定值，这个稳定值从本质上反映了事件在试验中出现可能性的大小它就是事件的概率，也叫做经验概率,医生在检查完病人的时候摇摇头：“你的病很重，在十个得这种病的人中只有一个能救活.” 当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说：“但你是幸运的因为你找到了我，我已经看过九个病人了，他们都死于此病.”,医生的说法对吗?,请同学们思考.,我们重点介绍的计算概率的数学模型，是在概率论的发展过程中最早出现的研究对象，通常称为,古典概型,三、古典概型 概率的古典定义,常常把这样的试验结果称为“等可能的”.,试验结果,2,3,4,7,9,10,8,6,1,5,例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球. 将球编号为110 .把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球.,我们用 i 表示取到 i号球， i =1,2,10 .,称这样一类随机试验为古典概型.,2,且每个样本点(或者说基本事件)出现的可能性相同 .,S=1,2,10 ,则该试验的样本空间,如i =2,2,3,4,7,9,10,8,6,1,5,称这种试验为 有穷等可能随机试验 或古典概型.,定义1 若随机试验满足下述两个条件： (1) 它的样本空间只有有限多个样本点； (2) 每个样本点出现的可能性相同.,对于古典概型，其样本空间S()由n个样本点组成，事件A包含k个样本点，则定义事件A的概率为：,此即为概率的古典定义。,这一直观的本质是 静态的“比例”转化为动态的“概率”,自然地，排列与组合是计算古典概率的重要工具 ：,下面这个结论对吗？,抛掷两枚均匀硬币,观察正、反面出现的情况。,数学家达郎贝尔说共有三种情况: 正、正， 反、反 ，一正、一反； 从而： P一正、一反=1/3.,这是历史上关于古典概型的应满足的条 件的一个很著名争论。,解,典型例题,在 N 件产品中抽取n件,其中恰有k 件次品的取法 共有,于是所求的概率为,解,在N件产品中抽取n件的所有可能取法共有,古典概型的基本模型:摸球模型,(1) 无放回地摸球,问题1 设袋中有4 只白球和 2只黑球, 现从袋中无 放回地依次摸出2只球,求这2只球都是白球的概率.,解,基本事件总数为,A 所包含基本事件的个数为,(2) 有放回地摸球,问题2 设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋中有放 回地摸球3次,求前2次摸到黑球、第3次摸到红球 的概率.,解,第1次摸球,基本事件总数为,A 所包含基本事件的个数为,6种,第1次摸到黑球,4种,第3次摸到红球,课堂练习,1o 电话号码问题 在7位数的电话号码中,第一位不能为0，求数字0出现3次的概率.,2o 骰子问题 掷3颗均匀骰子,求点数之和为4的 概率.,在实际中，产品的检验、疾病的抽查、农作物的选种等问题均可化为随机抽球问题。我们选择抽球模型的目的在于使问题的数学意义更加突出，而不必过多的交代实际背景。,古典概型的基本模型:球放入杯子模型,(1)杯子容量无限,问题1 把 4 个球放到 3个杯子中去,求第1、2个 杯子中各有两个球的概率, 其中假设每个杯子可 放任意多个球.,4个球放到3个杯子的所有放法,因此第1、2个杯子中各有两个球的概率为,(2) 每个杯子只能放一个球,问题2 把4个球放到10个杯子中去,每个杯子只能 放一个球, 求第1 至第4个杯子各放一个球的概率.,解,第1至第4个杯子各放一个球的概率为,2o 生日问题 某班有20个学生都 是同一年出生的,求有10个学生生 日是1月1日,另外10个学生生日是 12月31日的概率.,课堂练习,1o 分房问题 将张三、李四、王五3人等可能地 分配到3 间房中去,试求每个房间恰有1人的概率.,四、 几何概型 概率的几何定义,例 甲、乙二人在0到T时间内相约于指定地点，先 到者等候另一人t(tT)时刻后离去。如果两人在任一时刻到达是等可能的。求二人能会面的概率？,(1)它的样本空间具有无限个样本点. (2)每个样本点出现的可能性相同.,称具有此特点的无限等可能试验为几何概型.,对于几何概型，则只能以等可能性为基础，借助于几何度量（长度、面积和体积等）来合理的规定概率。具体如下：,事件A的样本点构成区域g，样本空间构成区域 G，这里的区域可以是一维、二维、三维等等，则A发生的概率定义为：,此即为概率的几何定义。,这一直观的本质是 静态的几何度量“比例”转化为动态的“概率”,例1 某公共汽车站每隔5min有一辆车通过，乘客到达车站的时刻是随机的，可以取区间0，5）内的任意实数。,将区间0，5）看作是G，将区间4，5）看作是g，事件A=乘客候车时间不超过1min，则G的测度是5，g的测度是1，根据几何概率， P(A)=1/5.,例2：求引例的概率。,解：,以x、y分别表示甲、乙二人到达的时刻。则,从而，所求概率为,例3：将长为m的线段任意折成三折，求所得三段 能构成三角形的概率。,解：,设所折三段长为x、y、m-x-y,则,0xm, 0ym, 0m-x-ym. 构成区域OAB.,构成区域CDE.从而,蒲丰投针试验,例4 1777年,法国科学家蒲丰(Buffon)提 出了投针试验问题.平面上画有等距离为 a(a0)的一些平行直线,现向此平面任意 投掷一根长为b( ba )的针,试求针与某一平行直线 相交的概率.,解,由投掷的任意性可知, 这是一个几何概型问题.,蒲丰投针试验的应用及意义,历史上一些学者的计算结果(直线距离a=1),利用蒙特卡罗(Monte Carlo)法进行计算机模拟.,单击图形播放/暂停 ESC键退出,1933年 ，苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论的公理化结构 ，给出了概率的严格定义 ，使概率论有了迅速的发展.,五、概率公理 概率的数学定义,(1) 0 p(A)1,(2) p(s) = 1 p()=0,(3) 若事