《数学基础》PPT课件.ppt

第二讲 地图的数学基础,第二讲 地图的数学基础,1 地球体 2 地球坐标系与大地定位 3 地图投影 4 地图投影的应用 5 地图分幅与编号 6 地图方向,1 地球体,1.1 地球的自然表面 为了了解地球的形状，让我们由远及近地观察一下地球的自然表面。,浩瀚宇宙之中 : 地球是一个表面光滑、蓝色美丽的正球体。,机舱窗口俯视大地 : 地表是一个有些微起伏、极其复杂的表面。, 珠穆朗玛峰与太平洋的马里亚纳海沟之间高差近20km。,事实是：,地球不是一个正球体，而是一个极半径略短、赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近于梨形的椭球体。,1.2 地球的物理表面 当海洋静止时，自由水面与该面上各点的重力方向（铅垂线）成正交，这个面叫水准面。 在众多的水准面中，有一个与静止的平均海水面相重合，并假想其穿过大陆、岛屿形成一个闭合曲面，这就是大地水准面。它实际是一个起伏不平的重力等位面地球物理表面。它所包围的形体称为大地体。,大地水准面的意义 1. 地球形体的一级逼近： 对地球形状的很好近似，其面上高出与面下缺少的相当。 2. 起伏波动在制图学中可忽略： 对大地测量和地球物理学有研究价值，但在制图业务中，均把地球当作正球体。 3. 重力等位面： 可使用仪器测得海拔高程（某点到大地水准面的高度）。,1.2 地球的数学表面 在测量和制图中就用旋转椭球体来代替大地球体，这个旋转椭球体通常称为 地球椭球体，简称 椭球体。,它是一个规则的数学表面，所以人们视其为 地球体的数学表面，也是对地球形体的二级逼近，用于测量计算的基准面。,椭球体 三要素: 长轴 a（赤道半径）、短轴 b（极半径）和椭球的扁率 f,WGS world geodetic system 84 ellipsoid: a = 6 378 137m b = 6 356 752.3m equatorial diameter = 12 756.3km polar diameter = 12 713.5km equatorial circumference = 40 075.1km surface area = 510 064 500km2,a - b 6378137 - 6356752.3 f = = a 6378137,1 = 298.257 f,对 a，b，f 的具体测定就是近代大地测量的一项重要工作。,对地球形状 a，b，f 测定后，还必须确定大地水准面与椭球体面的相对关系。即确定与局部地区大地水准面符合最好的一个地球椭球体 参考椭球体，这项工作就是参考椭球体定位。 通过数学方法将地球 椭球体摆到与大地水准面 最贴近的位置上，并求出 两者各点间的偏差，从数 学上给出对地球形状的三 级逼近。,由于国际上在推求年代、方法及测定的地区不同，故地球椭球体的元素值有很多种。,中国1952年前采用海福特（Hayford）椭球体 ； 19531980年采用克拉索夫斯基椭球体（坐标原点是前苏联玻尔可夫天文台） ； 自1980年开始采用 GRS 1975（国际大地测量与地球物理学联合会 IUGG 1975 推荐）新参考椭球体系，并确定陕西泾阳县永乐镇北洪流村为“1980西安坐标系”大地坐标的起算点。,陕西省泾阳县永乐镇北洪流村为 “1980西安坐标系” 大地坐标的起算点大地原点。,地球表面上的定位问题，是与人类的生产活动、科学研究及军事国防等密切相关的重大问题。具体而言，就是球面坐标系统的建立。,2 地球坐标系与大地定位,2.1 地理坐标 用经纬度表示地面点位的球面坐标。, 天文经纬度 大地经纬度 地心经纬度, 天文经纬度：表示地面点在大地水准面上的位置，用天文经度和天文纬度表示。,2.1 地理坐标,天文经度：观测点天顶子午面与格林尼治天顶子午面间的两面角。 在地球上定义为本初子午面与观测点之间的两面角。,天文纬度： 在地球上定义为铅垂线与赤道平面间的夹角。, 大地经纬度：表示地面点在参考椭球面上的位置，用大地经度l 、大地纬度 和大地高 h 表示。,2.1 地理坐标,大地经度l ：指参考椭球面上某点的大地子午面与本初子午面间的两面角。东经为正，西经为负。,大地纬度 ：指参考椭球面上某点的垂直线（法线）与赤道平面的夹角。北纬为正，南纬为负。, 地心经纬度：即以地球椭球体质量中心为基点，地心经度同大地经度l ，地心纬度是指参考椭球面上某点和椭球中心连线与赤道面之间的夹角y 。,2.1 地理坐标,在大地测量学中，常以天文经纬度定义地理坐标。 在地图学中，以大地经纬度定义地理坐标。 在地理学研究及地图学的小比例尺制图中，通常将椭球体当成正球体看，采用地心经纬度。,2.2 中国的大地坐标系统,1.中国的大地坐标系 1980年以前： 1980年选用1975年国际大地测量协会推荐的参考 椭球：,ICA-75椭球参数 a = 6 378 140m b = 6 356 755m f = 1/298.257,2.中国的大地控制网,平面控制网 : 按统一规范，由精确测定地理坐标的地面点组成，由三角测量或导线测量完成，依精度不同，分为四等。,2.2 中国的大地坐标系统,由平面控制网和高程控制网组成，控制点遍布全国各地。,高程控制网 : 按统一规范，由精确测定高程的地面点组成，以水准测量或三角高程测量完成。依精度不同，分为四等。,中国高程起算面是 黄海平均海水面。 1956年在青岛观象山设立了水准原点，其他各控制点的绝对高程均是据此推 算，称为1956年黄海高程系。 1987年国家测绘局公布： 启用1985国家高程基准 取代黄海平均海水面 其比黄海平均海水面 上升 29毫米。,青岛观象山水准原点,2.2 中国的大地坐标系统,绝对高程 相对高程,国家水准原点,国家测绘局,平面控制网,国家测绘局,高程控制网,国家测绘局,水准面示意图,国家测绘局,GPS控制网,国家测绘局,2.3 全球定位系统 - GPS 授时与测距导航系统/全球定位系统 (Navigation Satellite Timing and Ranging/Global Positioning System-GPS)：是以人造卫星为基础的无线电导航系统，可提供高精度、全天候、实时动态定位、定时及导航服务。,1. GPS系统由三个独立的部分组成,空间部分：21颗工作卫星，3颗备用卫星（白色）。它们在高度20 200km的近圆形轨道上运行，分布在六个轨道面上，轨道倾角55，两个轨道面之间在经度上相隔60，每个轨道面上布放四颗卫星。卫星在空间的这种配置，保障了在地球上任意地点，任意时刻，至少同时可见到四颗卫星。,地面支撑系统：1个主控站，3个注入站，5个监测站。它向GPS导航卫星提供一系列描述卫星运动及其轨道的参数；监控卫星沿着预定轨道运行；保持各颗卫星处于GPS时间系统及监控卫星上各种设备是否正常工作等。,用户设备部分：GPS接收机接收卫星信号，经数据处理得到接收机所在点位的导航和定位信息。通常会显示出用户的位置、速度和时间。还可显示一些附加数据，如到航路点的距离和航向或提供图示。,2. GPS系统定位原理,数据，组成3个方程式，就可以解出观测点的位置（X,Y,Z）。考虑到卫星的时钟与接收机时钟之间的误差，实际上有4个未知数，X、Y、Z和钟差，因而需要引入第4颗卫星，形成4个方程式以求解，从而得到观测点经纬度和高程。,通过测量卫星信号到达接收机的时间延迟，即可算出用户到卫星的距离。再根据三维坐标中的距离公式，利用3颗卫星的,3.常用GPS测量模式,常规静态测量：采用两台(或两台以上)GPS接收机，分别安置在一条或数条基线的两端，同步观测4颗以上卫星，每时段根据基线长度和测量等级观测45分钟以上的时间。常用于建立全球性或国家级大地控制网、地壳运动监测网 。 快速静态测量：这种模式是在一个已知测站上安置一台GPS接收机作为基准站，连续跟踪所有可见卫星。移动站接收机依次到各待测测站，每测站观测数分钟。这种模式常用于控制网的建立及其加密、工程测量、地籍测量等。 这种方法要求在观测时段内确保有5颗以上卫星可供观测；流动点与基准点相距应不超过20km。,静态测量模式,准动态测量 在一已知测站上安置一台GPS接收机作为基准站，连续跟踪所有可见卫星。移动站接收机在进行初始化后依次到各待测测站，每测站观测几个历元数据。这种方法不同于快速静态，除观测时间不一样外，它要求移动站在搬站过程中不能失锁，并且需要先在已知点或用其它方式进行初始化（采用有OTF功能的软件处理时例外）。 这种模式可用于开阔地区的加密控制测量、工程定位及碎部测量、剖面测量及线路测量等。 要求在观测时段内确保有5颗以上卫星可供观测；流动点与基准点相距应不超过20km。,动态测量模式,实时动态测量：DGPS和RTK 在一个已知测站上架设GPS基准站接收机和数据链，连续跟踪所有可见卫星，并通过数据链向移动站发送数据。移动站接收机通过移动站数据链接收基准站发射来的数据，并在机进行处理，从而实时得到移动站的高精度位置。 DGPS通常叫做实时差分测量，精度为亚米级到米级，这种 方式是基准站将基准站上测量得到的RTCM数据通过数据链传输到移动站，移动站接收到RTCM数据后，自动进行解算，得到经差分改正以后的坐标。 RTK 则是以载波相位观测量为根据的实时差分GPS测量，它是GPS测量技术发展中的一个新突破。它的工作思路与DGPS相似，只不过是基准站将观测数据发送到移动站（而不是发射RTCM数据），移动站接收机再采用更先进的在机处理方法进行处理，从而得到精度比DGPS高得多的实时测量结果。这种方法的精度一般为2cm左右。,3 地 图 投 影,3.1 地图投影的意义 地球椭球体表面是不可展曲面，要将曲面上的客观事物表示在有限的平面图纸上，必须经过由曲面到平面的转换。 地图投影： 在地球椭球面和平面之间建立点与点之间函数关系的数学方法，称为地图投影。 地图投影的实质： 是将地球椭球面上的经纬线网按照一定的数学法则转移到平面上。,x = f1(j , l ) y = f2(j , l ),直接建立在球体上的地理坐标，用经度和纬度表达地理对象位置,建立在平面上的直角坐标系统，用（x，y）表达地理对象位置,投影,地图投影：投影实质,大地/地理坐标系统,投影/平面坐标系统,经纬网,方里网,3.2 地图的比例尺 1. 地图比例尺的含义,地图比例尺：地图上一直线段长度与地面相应直线水平投影长度之比。 可表达为（d为图上距离，D为实地距离） 根据地图投影变形情况，地图比例尺分为： 主比例尺 ： 在投影面上没有变形的点或线上的比例尺。 局部比例尺： 在投影面上有变形处的比例尺。,2. 地图比例尺的表示 数字式比例尺 如 1:10 000 文字式比例尺 如 百万分之一 图解式比例尺 直线比例尺 斜分比例尺 复式比例尺 特殊比例尺 变比例尺 无级别比例尺,斜分比例尺 也称微分比例尺，是依据相似三角形原理制成的图解比例尺。使量测精度达到三位数（10-3）。,3.3 地图投影变形,1. 投影变形的概念 把地图上和地球仪上的经纬线网进行比较，可以发,现变形表现在长度、面积和角度三个方面。,2.变形椭圆 取地面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面的影响，把它当作平面看待），它投影到平面上通常会变为椭圆，通过对这个椭圆的研究，分析地图投影的变形状况。这种图解方法就叫变形椭圆。,为经线长度比；,为纬线长度比,微小圆变形椭圆,该方程证明: 地球面上的微小圆，投影后通常会变为椭圆，即： 以O为原点，以相交成q角的两共轭直径为坐标轴的椭圆方程式。,代入： X2 + Y2 = 1，得,特别方向： 变形椭圆上相互垂直的两个方向及经向和纬向,长轴方向（极大值）a 短轴方向（极小值）b 经线方向 m ；纬线方向 n,统称 主方向,据阿波隆尼定理，有 m2 + n2 = a2 + b2 mnsinq = ab,3.投影变形的性质和大小 长度比和长度变形： 投影面上一微小线段（变形椭圆半径）和球面上相应微小线段（球面上微小圆半径，已按规定的比例缩小）之比。 m表示长度比，Vm表示长度变形 长度比是变量，随位置和方向的变化而变化。,= 0 不变 0 变大 0 变小,面积比和面积变形： 投影平面上微小面积（变形椭圆面积）dF与球面上相应的微小面积（微小圆面积）dF之比。 P 表示面积比 Vp 表示面积变形 P = ab = m n (q = 90) P = m n sinq (q 90) 面积比是变量，随位置的不同而变 化。,= 0 不变 0 变大 0 变小,角度变形： 投影面上任意两方向线所夹之角与球面上相应的两方向线夹角之差，称为角度变形。以表示角度最大变形。 设A点的坐标为（x、y），A 点的坐标为(x 、y )，则,将上式两边各减和加 tana 即：,将两式相除，得：,显然当（a +a ）= 90时，右端取最大值，则最大方向变形：,以w表示角度最大变形：,若已知 m, n, q ，则：,3.4 地图投影方法,1. 几何投影法,地图投影最初建立在透视的几何原理上，它是把椭球面直接透视到平面上，或透视到可展开的曲面上，如平面、圆柱面和圆锥面。,2. 数学解析法, 以正轴圆锥投影为例 经线 投影为放射直线， 经差l 与投影面上d成 正比：d = cl （c为圆锥系数，0 c 1）。 纬线 投影为同心圆弧，其半径 r 是纬度 的函数， r = f（）。 圆锥投影的一般公式为：,等角投影条件：=0，m=n，构成,经移项、积分、整理得：,3.5 地图投影分类,1. 按地图投影的构成方法分类 （1）几何投影: 将椭球面上的经纬线网投影到几何面上，然后将几何面展为平面。 方位投影: 以平面作投影面，使平面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到平面上而成。 圆柱投影: 以圆柱面作投影面，使圆柱面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后将圆柱面展为平面而成。 圆锥投影: 以圆锥面作投影面，使圆锥面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥面展为平面而成。,（2）非几何投影： 根据某些条件，用数学解析法确定球面与平面之间点与点的函数关系。 伪方位投影：在方位投影的基础上，根据某些条件改变经线形状而成，除中央经线为直线外，其余均投影为对称中央经线的曲线。 伪圆柱投影：在圆柱投影基础上，根据某些条件改变经线形状而成，无等角投影。除中央经线为直线外，其余均投影为对称中央经线的曲线。 伪圆锥投影：在圆锥投影基础上，根据某些条件改变经线形状而成，无等角投影。除中央经线为直线外，其余均投影为对称中央经线的曲线。 多圆锥投影：设想有更多的圆锥面与球面相切，投影后沿一母线剪开展平。纬线投影为同轴圆弧，其圆心都在中央经线的延长线上。中央经线为直线，其余经线投影为对称于中央经线的曲线。,2. 按地图投影的变形性质分类 等角投影: 投影面上某点的任意两方向线夹角与椭球面上相应两线段夹角相等，即角度变形为零 =0（或 a=b，m=n）。 等积投影: 投影面与椭球面上相应区域的面积相等，即面积变形为零 Vp=0（或 P=1，a=1/b）。 任意投影: 投影图上，长度、面积和角度都有变形，它既不等角又不等积。其中，等距投影是在特定方向上没有长度变形的任意投影（m=1）。,变形分类： 等角投影：投影前后角度不变 等面积投影：投影前后面积不变； 任意投影：角度、面积、长度均变形 投影面： 横圆柱投影：投影面为横圆柱 圆锥投影：投影面为圆锥 方位投影：投影面为平面 投影面位置： 正轴投影：投影面中心轴与地轴相互重合 斜轴投影：投影面中心轴与地轴斜向相交 横轴投影：投影面中心轴与地轴相互垂直 相切投影：投影面与椭球体相切 相割投影：投影面与椭球体相割,地图投影的分类,3.6 地图投影变换,1. 传统地图的投影变换 格网转绘法 蓝图嵌贴法,2. 数字地图的投影变换 投影变换的一般公式,X = f1(x,y) Y = f2(x,y),x = f1(, l ) X = 1(, l ) y = f2(, l ) Y = 2(, l ), = (x,y) l =l(x,y),X = 1(x,y), l(x,y) Y = 2(x,y), l(x,y) ,定域内单值、连续,A投影 B投影,反解,代入 B,如不知地图的投影系统，可通过多项式实施变换：,X = a00 + a10x + a20x2 + a01y + a11xy + a02y2 + a30x3 + a21x2y + a12xy2 + a03y3 + Y = b00 + b10x + b20x2 + b01y + b11xy + b02y2 + b30x3 + b21x2y + b12xy2 + b03y3 + ,系数 aij， bij 可用多个已知坐标点求出。,根据投影方程进行变换的实例 等角圆柱投影 等角圆锥投影,r = K / U2 X = r s - r cos d = a l Y = r sin d,K 为积分常数， a为圆锥系数,根据投影方程进行变换的实例 等距圆柱投影 等距圆锥投影,x = s , y = rkl,y l= rk,y X = r s - (C - s )cos(a ) rk y Y = (C - s ) sin(a ) rk,4 地图投影的应用,4.1 地图投影的选择依据 1.制图区域的范围、形状和地理位置 2.制图比例尺 3.地图的内容 4.出版方式,1.制图区域的范围、形状和地理位置,4.1 地图投影的选择依据,制图区域的地理位置决定 投影种类,制图区域的形状直接制约 投影选择,制图区域的范围大小影响 投影选择,2.制图比例尺,不同比例尺地图对精度要求不同，投影亦不同。,大比例尺地形图，对精度要求高，宜采用变形小的投影，如分带投影。 中、小比例尺地图范围大，概括程度高，定位精度低，可有等角、等积、任意投影的多种选择。,4.1 地图投影的选择依据,3. 地图的内容,主题和内容不同，对投影的要求也不同。,要求方向正确，应选择等角投影,要求面积对比正确，应选择等积投影,教学或一般参考图，要求各方面变形都不大，则应选择任意投影,4.1 地图投影的选择依据,4.出版方式,单幅图 系列图 地图集,4.1 地图投影的选择依据,4.2 地形图投影 1. 高斯-克吕格投影（等角横切椭圆柱投影） 以椭圆柱为投影面，使地球椭球体的某一经线与椭圆柱相切，然后按等角条件，将中央经线两侧各一定范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将其展成平面而得。 由德国数学家、天文学家高斯（C.F. Gauss，17771855）及大地测量学,家克吕格（J. Krger，18571923）共同创建。,此投影无角度变形，中央经线无长度变形。为保证精度，采用分带投影方法： 经差 6或 3分带，长度变形 0.14%,中国国家基本比例尺地形图采用高斯-克吕格6分带投影： 11万（3分带） 12.5万、15万、110万、125万、150万。,高斯投影带,为了保证地图的精度，采用分带投影方法，即将投影范围的东西界加以限制，使其变形不超过一定的限度，这样把许多带结合起来，可成为整个区域的投影。,分带规定,我国规定1：1万、1：2.5万、1：5万、1：10万、1：25万、1：50万比例尺地形图，均采用高斯克吕格投影(Gauss-Kruger) ； 1：2.5至1：50万比例尺地形图采用经差6度分带，1：1万比例尺地形图采用经差3度分带。,分带规定,6度带是从0度子午线起，自西向东每隔经差6为一投影带，全球分为60带，各带的带号用自然序数1，2，3，60表示。即以东经0-6为第1带，其中央经线为3E，东经6-12为第2带，其中央经线为9E，其余类推。 3度带，是从东经1度30分的经线开始，每隔3度为一带，全球划分为120个投影带。 在高斯克吕格投影上，规定以中央经线为X轴，赤道为Y轴，两轴的交点为坐标原点。 请计算1140052“E所在的分带区。,分带规定,X坐标值在赤道以北为正，以南为负；Y坐标值在中央经线以东为正，以西为负。我国在北半球，X坐标皆为正值。Y坐标在中央经线以西为负值，运用起来很不方便。为了避免Y坐标出现负值，将各带的坐标纵轴西移500公里，即将所有Y值都加500公里。 由于采用了分带方法，各带的投影完全相同，某一坐标值（x，y），在每一投影带中均有一个，在全球则有60个同样的坐标值，不能确切表示该点的位置。因此，在Y值前，需冠以带号，这样的坐标称为通用坐标。 高斯克吕格投影各带是按相同经差划分的，只要计算出一带各点的坐标，其余各带都是适用的。这个投影的坐标值由国家测绘部门根据地形图比例尺系列，事先计算制成坐标表，供作业单位使用。,坐标网的规定,高斯-克吕格直角坐标,yA = 245 863.7 m yB = - 168 474.8 m,yA通 = 20 745 863.7 m yB通 = 20 331 525.2 m,坐标网的规定,地图投影的标准线，指的是投影面与参考椭球的切线。对于圆柱和圆锥投影，相切时只有一条标准线，相割时则有两条标准线。 如果标准线沿纬线方向则称为标准纬线，沿经线方向则称为标准经线。 主比例尺或参考椭球比例尺，是指椭球体半径与地球半径（6378km）的比值。主比例尺仅适用于地图投影的标准线，即此线上没有投影变形，因此标准纬线也称为真比例尺纬线。 局部比例尺适用于投影的其他部分，会依投影变形的程度而发生变化。,坐标网的规定,局部比例尺与主比例尺的比值称为比例系数，即标准局部比例尺。标准线的比例系数为1，越是偏离标准线，比例系数绝对值离1越远。 切勿将标准线与中心线混淆：标准线指明投影变形分布的模式，而中心线（中央纬线和中央经线）定义地图投影的中心或原点。 在标准线上，地图比例系数为1，无投影变形；在中心线上，地图比例系数不一定为1，例如UTM投影。,坐标网的规定,2. 通用横轴墨卡托投影 UTM 投影 以横轴椭圆柱面割于地球椭球体的两条等高圈，按等角条件，将中央经线两侧各一定范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将其展成平面而得。又称 Universal Transverse Mercator UTM 投影。,此投影无角度变形，中央经线长度比（比例系数）为0.9996，距中央经线约180km处的两条割线上无变形。亦采用分带投影方法：经差6或3分带。长度变形 0.04%,UTM格网系统适用于全世界范围，将84N到80S的地球表面分为60或120个带，并从180W开始编为第一带，依序编号。每个带又分为南北两个半球，因此每个UTM分带名称都带有一个号码和一个字母。 UTM格网系统可以基于 NAD 27（1927年北美基准面，基于克拉克椭球），NAD 83（1983年北美基准面，基于GRS 80椭球）或 WGS 84（全球大地测量系统1984，椭球为GRS 80，有两套参数，是用于GPS读数的基准）。例如基于 NAD 83 的 UTM 10N分带完整表述为：NAD 1983 UTM 10N分带。 请计算1140052“E所在的分带区。,通用横轴墨卡托格网系统,3. 百万分一地形图投影,新编国际百万分一地图采用 双标准纬线等角圆锥投影，自赤道起按纬差4分带，北纬84以北和南纬80以南采用等角方位投影。,中国1100万地形图编绘规范规定采用边纬线与中纬线长度变形绝对值相等的双标准纬线等角割圆锥投影,按纬差4分带 长度变形最大值: 0.03% 面积变形最大值: 0.06%,4.3 区域图投影,1. 方位投影 正轴方位投影 正轴等角方位投影 正轴等距方位投影 横轴和斜轴方位投影,4.3 区域图投影,2. 圆锥投影 以圆锥面作投影面，使圆锥面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥面展为平面而成。, 正轴圆锥投影 经线: 投影为放射直线，经差 l 与投影面上 d 成正比：d = Cl （C为常数）。 纬线: 投影为同心圆弧，其半径 r 是纬度 的函数，r = f（） 圆锥投影的各种变形均是纬度的函数，与经度 l 无关。,适于制作中纬度沿东西方向延伸地区的地图,4.3 区域图投影,等角割圆锥投影 条件：w = 0 ; m = n ; n1 = n2 = 1 相割纬线： 1 = 25 ； 2 = 45,4.3 区域图投影,等积割圆锥投影 条件：P = mn = 1 ; n1 = n2 = 1 多用于要求面积对比正确的图种，如分布图、类型图、区划图如 1:800万，1:600万，1:400万中华人民共和国地图采用了(1 = 25 ； 2 = 47)的该投影。 等距割圆锥投影 条件：m = 1 ; n1 = n2 = 1 原苏联出版的苏联全图，采用(1 = 47 ； 2 = 62 )的该投影。,4.3 区域图投影,3. 伪圆锥投影 由法国彭纳（R. Bonne）在圆锥投影的基础上，根据某些条件改变经线形状设计而成，故又称彭纳投影。,纬线长度比 n = 1，同心圆弧 中央经线 m0 = 1 其他经线为对称m0的曲线 常用于编制中纬度地区小比例区域图,4.3 区域图投影,4.4 世界地图投影,主要类型：多圆锥投影、圆柱投影和伪圆柱投影 具体方案： 等差分纬线多圆锥投影 正切差分纬线多圆锥投影 墨卡托（Mercator）投影 摩尔威特（Mollweide）投影 古德（Goode）投影,4.4 世界地图投影,1. 多圆锥投影 设想更多的圆锥面与球面相切，投影后沿一母线剪开展平。纬线投影为同轴圆弧，其圆心都在中央经线的延长线上。中央经线为直线，其余经线投影为对称中央经线的曲线。,普通多圆锥投影（1820年美国 Hasslar 所创）,m0 = 1 n = 1 m 1 任意投影 适于南北方向延伸地区地图,普通多圆锥分带投影图,将整个地球按一定经差分为若干带，每带中央经线投影为直线，各带在赤道相接。用于制作地球仪。,等差分纬线多圆锥投影,中国地图出版社1963年设计，其经线间隔随距中央经线距离的增大而呈等差递减，属任意投影。,正切差分纬线多圆锥投影,中国地图出版社1976年设计，其经线间隔按与中央经线经差的正切函数递减。属任意投影。,世界图,2. 圆柱投影 设想以圆柱面为投影面，使圆柱面与地球表面相切或相割，将地球表面上的经纬线投影到圆柱面上，再把圆柱面沿一条母线剪开展为平面而成。,4.4 世界地图投影,2. 圆柱投影 正轴等角圆柱投影 由荷兰地图学家墨卡托（Mercator Gerardus，15121594）于1569年所创设，故又名墨卡托投影。,特点: 不仅保持了方向和相对位置的正确，而且使等角航线在图上表现为直线。这一特性对航海具有重要的实用价值。,4.4 世界地图投影,墨卡托投影,等角航线：是地球表面上与经线相交成相同角度的曲线。在地球表面上除经线和纬线以外的等角航线，都是以极点为渐近点的螺旋曲线。 等角航线在图上表现为直线。这一特性对航海具有很重要的意义。,大圆航线：地球面上两点间最短距离是通过两点间的大圆弧，也称为大圆航线。,4.4 世界地图投影,墨卡托投影,等角航线 在图上表现为直线。这一特性对航海具有很重要的意义。 地球面上两点间最短距离是通过两点间的大圆弧，也 称为大圆航线,4.4 世界地图投影,3. 伪圆柱投影 是在圆柱投影的基础上，规定纬线仍然为平行直线，而经线则根据某些特定条件改变经线形状而设计成对称于中央经线的各类曲线的非几何投影，在具体应用中以等积性质居多，而无等角投影。, 桑逊（Sanson）投影 摩尔威特（Mollweide）投影 古德（Goode）投影,常用的投影方案：,4.4 世界地图投影, 桑逊（Sanson - Flam steed）投影 经线为正弦曲线的等积伪圆柱投影，纬线为间隔相等的平行直线，每条纬线上经线间隔相等。由法国桑逊于1650年设计。,投影特点： P = 1 无面积变形 n = 1 纬线长度比为1 m0 = 1 中央经线长度比=1 m 1 经线长度比 1,4.4 世界地图投影, 摩尔威特（Mollweide）投影 经线为正弦曲线的等积伪圆柱投影，纬线为间隔相等的平行直线，每条纬线上经线间隔相等。由德国摩尔威特于1805年设计。,投影特点： P = 1 无面积变形 S90 = Searth / 2 赤道长度= 中央经线 2 常用于编制世界地图 及东、西半球地图,4044 11.8 ,4.4 世界地图投影, 古德（Goode）投影 美地理学家古德（J.Paul Goode）于1923年提出在整个制图区域主要部分中央都设置一条中央经线，分别进行投影，则全图就分成几瓣，各瓣沿赤道连接在一起。,投影特点： 分瓣、组合投影， 变形减小且均匀 大陆完整，大洋割裂 大洋完整，大陆割裂 常用于编制世界地图,4.4 世界地图投影,摩尔威特 古德投影,4.4 世界地图投影,阿波隆尼定理(Apollonius): 椭圆内两共轭半径的平方和等于其长短半径的平方和；两个共轭半径与它们的交角正弦的乘积等于其长短半径的乘积。,有: m2 + n2 = a2 + b2 mnsinq = ab,椭圆内任一条直径d的平行弦中点在椭圆内的轨迹形成另一直径d ， 则d 称为d的共轭直径。,返回,一、地图的分幅,二、地图的编号方法,三、基本比例尺地图的分幅与编号,5 地图的分幅与编号,一、地图的分幅,（一）、地图分幅的目的： 当一个制图区域的内容不能在有限的纸张上完整地表达时，就需要进行地图分幅。 有两种情况：a. 受印刷纸张规模的限制（如挂图等） b. 人为设计（如地图集、地图册等） 标准纸张的全开大小为： 787mm1092mm 其它开本概念：对开、四开、八开、16开、32开、,地图的分幅方式有两种： 1. 矩形分幅： a. 拼接的矩形分幅：相邻图幅有共同的图廓线（可完整地观看整个制图区域）。 b. 不拼接的矩形分幅：相邻图幅 之间有一定的重叠带（要求各个 子区域的完整）。 2. 经纬线分幅：图廓由经纬线构成。,拼接的矩形分幅,不拼接的矩形分幅,（二）、分幅方式：,拼接分幅：,适用：挂图和大于1：2000的地形图,矩形分幅,不拼接分幅：,适用： 地图集、专题 地图等,图1-5,拼接分幅图,(三)、两种分幅方式的优缺点：,1、矩形分幅 优点：a.图廓为直线，便于拼接； b.分幅线位置的选择有较大自由度，可灵活 避开重要地物； c.各图幅面积相对平衡，可充分利用纸张。 缺点：a. 每幅图的地理位置（图廓坐标）不易确定; b. 制图区域只能一次投影，变形可能较大。 注：挂图、图集中的许多图幅以及我国大于1：2000的地形图一般采用矩形分幅。,优点：a. 每幅图的地理位置（图廓坐标）非常明确； b. 可分开多次投影，保持较小变形。 缺点：a. 分幅线位置的选择无法避开重要地物； b. 图廓多为曲线，不便于拼接使用； c. 高纬度地区图幅面积缩小，不易充分利用纸张。 注：我国基本比例尺系列地图、部分普通地理图、专题图采用经纬线分幅。,2、经纬线分幅,二、地图的编号方法,（一）、常见的编号方式： 1、自然序数编号法 矩形分幅地图多用此方法。 2、行列式编号法 如：国际百万分之一地图： J49 L50 3、行列自然序数编号法 我国基本比例尺系列地图采用此方法，如：J50B001002,1,2,3,4,5,6,7,8,9,自然序数编号法,1.自然序数编号法,将区域分为行和列，分别用字母或数字表示行号和列号，一个行号和一个列号标定一个唯一的图幅。,2.行列式编号法,3.行列-自然序数编号法,要求：系统性、逻辑性、不重复性,北半球1：100万地图的分幅与编号,例：J50,行号 由赤道往北极方向，每4分幅，共22行：A， B，V. 6076: 双幅合并，经差12纬差4； 76 88: 四合一，经差24纬差4； 88以上，单独一幅。 列号 从180经线算起，自西向东每6分幅， 将全球分为60列： 1，2，60。,（二）、国际百万分之一地图的分幅与编号：,标准编号：N行号列号 例：NJ50 J50,标准分幅：经差 6纬差4,三、基本比例尺地图的分幅与编号,新旧两套编号系统： 1991年以前的分幅编号系统 1991年以后新的分幅编号系统 （一）新分幅编号系统： 1.我国基本比例尺地图分幅均以国际1：100万地图为基础，逐次加密划分而成。 2.图号由五个元素10位码组成： 1：100万行号 比例尺代码 图幅列号 1：100万列号 图幅行号 例： J50B001001,11400,11700,12000,3600,3800,4000,001,002,001,002,J50,1幅1：100万,22幅 1：50万 （32）,J50B001001 J50B001002 J50B002001 J50B002002,1:50万图号：,3.比例尺代码： 1：50万 1：25万 1：10万 1：5万 1：2.5万 1：1万 1：5千 B C D E F G H 4.分幅结构： 1：50万分幅结构：,11400,11700,12000,3600,3800,4000,001,004,001,003,J50,1幅1：100万,44幅 1：25万 （1301）,J50C001001 J50C001002 J50C001003 J50C001004 J50C003002 ,1:25万图号：,002,003,002,004,1：25万分幅结构,1幅1：100万,22幅 1：50万 3 2 44幅 1：25万 130 1 1212幅 1：10万 30 20 2424幅 1：5万 15 10 4848幅 1：2.5万 7 30 5 9696幅 1：1万 3 45 2 30 192192幅 1：5千 1 52.5 1 15, ,分幅结构：,（二）旧分幅编号系统：,1：10万地形图图号：J-50-144,1：5万地形图图号：J-50-144B,1：100万： J-50 1：50万： J-50-A A、D 1：25万： J-50-1 1 、16 1：10万： J-50-144 1、144 1：5万： J-50-144-A A、D 1：2.5万： J-50-144-A-1 1、4 1：1万： J-50-144-（1） （1）、（64） 1：5千： J-50-144-(1)-a a、b、c、d,（三）图号计算,1.已知某点的经纬度，求该点在不同比例尺的图幅编号； 2.已知图号，求图幅四个角点的经、纬度坐标； 3.不同比例尺编号的行列关系换算。,图号计算的方法有：,图解法,计算法,求解目标：,计算法,1、计算1：100万图幅编号公式：, 分数值取整数 1:100万行号编码 1:100万列号编码,点的纬度 点的经度,1.已知某点的经纬度，求该点在不同比例尺的图幅编号,2、计算某点在其它比例尺地形图的编号：,（ ） 商取余数 分数值取整数 所求比例尺自身的行号 所求比例尺自身的列号,所求比例尺纬差 所求比例尺经差,例：已知某点的经度为东经1162130，纬度为北纬3729，计算该点所在的1：50万地形图编号。,首先，计算该点所在的1：100万图幅编号：,所求点的1：100万地图编号为：J50,计算该点所在的1：50万图幅编号：,所求点的1：50万地形图编号为：J50B002001,图解法,以前面的例题为例：,3600,3800,4000,所求点为：东经1162130，北纬3729,11400,11700,12000,001,002,001,002,所求点的1：50万地形图编号为：J50B002001,练习,已知某点位于北纬3254，东经11248求该点所在1：25万和1：5万图幅上的编号。 1：25万：I49C004004 1:5万： I49E019020,西南图廓点的经纬度坐标： a：1：100万图幅所在纬度带的字符的数字码 b：1：100万图幅所在经度带的数字码 c：该比例尺地形图在1：100万地形图编号后的行号 d：该比例尺地形图在1：100万地形图编号后的列号,2.已知图号，求图幅四个角点的经、纬度坐标,东图廓经度=西图廓经度+经差 北图廓纬度=南图廓纬度+纬差,举例： 1、已知图幅图号J49B001002，计算图幅四个角点经纬度 2、已知图幅图号J49D003004，计算图幅四个角点经纬度,1、西图廓经度 111 南图廓纬度 38 东图廓经度 114 北图廓纬度 40 2、西图廓经度 10930 南图廓纬度 39 东图廓经度 110 北图廓纬度 3920,（1）较小比例尺地形图的行列代码转换成较大比例尺地形图的行列代码 西北：,3.不同比例尺编号的行列关系换算,东南：,东南：,举例：1：10万地形图编号中的行列代码为004001，求其所包含的1：2.5万地形图编号的行列代码。 C（小）=004 ， d（小）=001， 纬差（小）= 20 纬差（大）=5,带入上述公式： 西北：C(大）=013 d(大）=001 东南：C(大）=016 d(大）=004,2） 较大比例尺地形图的行列代码转换成较 小比例尺地形图的行列代码,举例：1：2.5万地形图编号中的行列代码为016004 和 013003，求包含该图的1：10万地形图图号中的行列代码。 将数据带入上述公式中求得：,举例：已知制图区域的经纬度范围如下，编制该地区的地图时，需收集1：10万地形图作为编图资料，请算出所需1：10万图号及并将相邻图幅编号填入下表：,1. 利用公式（1） 求出各图廓点 在1：100万图中的 图幅号； 利用公式（1） 2.利用公式（2）求出 在1：10万中各点的 图幅编号 利用公式（2）,k49D012012,k50D012001,J49D001011,J49D002011,J49D003012,J50D003001,J50D002002,J50D001002,5 地图的方向,确定地图上图形的地理方向称为地图定向。 地形图的定向 小比例尺地图的定向 定向地图,6 地图的方向,地形图的定向 按照规定，凡大于1：10万的各种比例尺地形图上，都要绘出三北方向（真北、坐标北、磁北）和三个偏角的图形，便于确定图形在地图上的方位，以及在实地使用罗盘标定地图的方位。 地图上在南图廓外附有偏角图，图形表示三北方向的位置关系，其角度的实际值通过注记表明，图形的张角并非按角度的真值绘出。,三北方向,真北方向：过地面上任意一点，指向北极的方向，叫真北，其方向线成为真北方向线或真子午线。 地形图上的东西内图廓线即为真子午线，其北方向代表真北。 对一幅图而言，通常把图幅的中央经线的北方方向作为该图幅的真北方向。,1.2 地图的构成要素,1.图形要素 2.数学要素 3.辅助要素 4.补充说明, 地图投影 坐标系统 比例尺 控制点,中国国家普通地图集电子版,三北方向,坐标北方向：图上方里网的纵线叫坐标纵线，纵坐标值递增的方向叫坐标北方向。 方里网是由距离高斯投影带纵横坐标轴均为整千米数的两组平行直线所构成。因为同时又是平行于直角坐标轴的坐标网线，故又称直角坐标网。 大多数地形图投影的坐标北和真北方向是不完全一致的。,方里网的概念,1.2 地图的构成要素,1.图形要素 2.数学要素 3.辅助要素 4