《条件概率与独立性》PPT课件.ppt

1,第三节,条件概率 与独立性,2,一、条件概率,在概率论里，不仅需要研究某事件B 发生的概率P(B),还需要研究在另一个事件A发生的条件下，事件B 发生的概率，称它为条件概率，记为P(B|A).,定义： 对于两个事件A与B，如果P(A)0,称,为在事件 A发生的条件下,事件 B 发生的条件概率.,3,古典概型中条件概率的计算,事件数为k个,则条件概率,设试验E的基本事件总数为n ,且所有基本事件,的概率都相等,即样本空间 由n个等可能的样本,点组成,事件A的基本事件数为m个,事件AB的基本,故条件概率P(B|A)是在缩减后的样本空间中讨论.,4,条件概率P(B|A)的计算方法:,(1)按照条件概率的定义计算:,(2)在缩减后的样本空间中按古典概率的定义 计算.,5,例1. 一批产品100件,有80件正品,20件次品,其中,甲生产的为60件,有50件正品,10件次品,余下的40,件均为乙生产.现从该产品中任取一件,记A=“正品”,B=“甲生产的产品”,写出概率,P(A), P(AB), P(B|A).,6,例2 设袋中有7个黑球,3个白球, 不放回摸取两次，如果已知第一次摸到白球，求第二次也摸到白球的概率. 若改为放回摸取，结果如何？,解 设A,B分别表示第一、二次摸到白球,则,不放回:,放回:,7,例3 人寿保险公司常常需要知道存活到某一个年龄 段的人在下一年仍然存活的概率根据统计资料可知，某城市的人由出生活到50岁的概率为0.90718，存活到51岁的概率为0.90135。问现在已经50岁的人，能够活到51岁的概率是多少？,解,记 A=活到50岁,显然,B=活到51岁,所以 P(A)=0.90718,P(B)=0.90135,从而,8,不难验证条件概率具有以下三个基本性质：,(1) 非负性,(2) 规范性,(3) 可列可加性,并由此推出条件概率的其他性质：,9,二、乘法公式,由条件概率的定义：,即若P(B) 0, 则 P(AB)=P(B) P(A|B),若已知P(B), P(A|B)时, 可以反过来求 P(AB).,若P(A) 0, 则 P(AB)=P(A) P(B|A),乘法公式,10,推广到三个事件：若P(AB)0, 则有,P (A1A2An ) =P(A1) P(A2|A1) P(An| A1A2An-1),一般,与次序无关.,注:乘法公式常用来计算交事件的概率!,11,例1,解,12,例2 某厂产品的废品率为4%,而合格品中有75%是一等品,求一等品率.,解,记 A：合格品；B：一等品，,即一等品率为72%.,13,例4 在空战中，甲机先向乙机开火，击落乙机的概率为0.2；若乙机未被击落，就进行还击，击落甲机的概率为0.3；若甲机未被击落，则再进行还击，击落乙机的概率为0.4求在这几个回合中，甲机和乙机被击落的概率分别为多少？,解,记A：第一次进攻中，甲击落乙； B：第二次进攻中，乙击落甲； C：第三次进攻中，甲击落乙,由题意知,则甲机被击落的概率为,14,例4 在空战中，甲机先向乙机开火，击落乙机的概率为0.2；若乙机未被击落，就进行还击，击落甲机的概率为0.3；若甲机未被击落，则再进行还击，击落乙机的概率为0.4求在这几个回合中，甲机和乙机被击落的概率分别为多少？,解,乙机被击落的概率为,15,设有两个事件A,B, 一般来说, P(A|B)与P(A)是有差异的，但有时事件B的发生与否并不影响事件A发生的概率，即P(A|B)=P(A).,显然 P(A|B)=P(A),A=第二次掷出6点， B=第一次掷出6点，,例如, 将一颗均匀骰子连掷两次，,设,三、事件的独立性,由乘法公式知，有,P(AB)=P(B)P(A|B),P(AB)=P(A) P(B),16,若两事件A、B满足 P(AB)= P(A) P(B) 则称A、B独立，或称A、B相互独立.,定义,注: 相互独立与互不相容的关系,两事件相互独立,两事件互不相容,例：掷两次硬币,事件A=“第一次正面向上”,事件B=“第二次正面向上”,显然，A与B相互独立，但A与B不是互不相容的.,17,这就是说,事件B发生与否并不会影响事件A发生的概率.,推论1 设A与B为两个事件,P(B)0,则A与B,相互独立的充要条件是,18,则下列各对事,件也相互独立.,A、B独立,证明,由独立的对称性, 可得其余结论.,推论2,19,推论3 若事件A与B的概率都不等于0,则以下式子等价:,这就是说,事件A发生与否并不会影响事件B发生的概率,事件B发生与否并不会影响事件A发生的概率.,定义1.4 对于事件A与B,若其中一个事件发生的,概率不受另一个事件发生与否的影响,则称A与B是,相互独立的.,20,例 甲乙二人独立地对目标各射击一次，设甲射中目标的概率为0.5，乙射中目标的概率为0.6，求目标被击中的概率,解,设A, B分别表示甲,乙击中目标,显然A与 B,相互独立,A+B表示目标被击中.,21,推广到n个事件的独立性定义,可类似写出：,定义1.5,22,三个事件相互独立性的概念,定义 对三个事件A,B,C，如果下列四个等式同时成立，,则称A,B,C相互独立.,23,三事件两两独立的概念,注意,相互独立,两两独立,24,例 一个袋内装有4个球,其中全红、全黑、全白色的球各一个，另一个是涂有红、黑、白三色的彩球. 从中任取一个, 记事件A、B、C分别表示取到的球上涂有红色、黑色、白色. 试判断事件A、B、C两两独立但不相互独立.,25,需要说明的是， 我们一般不是根据定义来判断事件的独立性，而是从实际问题出发，如果事件之间无甚关联，则假定事件之间相互独立.,任何一个事件发生的概率都不受其余事件发生与否,的影响,则称事件,26,四个推论,1。,事件,3。,则,2。,则,其中任意k个事件也相互独立.,27,推论4 利用事件的独立性计算概率,28,例 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？,将三人编号为1，2，3，,所求概率为,记 Ai=第i个人破译出密码 i=1,2,3,解,“三个臭皮匠，顶个诸葛亮.”,29,例 (保险赔付)设有n个人向保险公司购买人身意外保险(保险期为1年)，假定投保人在一年内发生意外的概率为0.01 （1）求保险公司赔付的概率； （2）当n为多大