3-应力与应变

SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第三章第三章 应力与应变应力与应变 应力分析目的应力分析目的 明确一点应力状态相关概念；掌握从受力体内取单元体的方法。明确一点应力状态相关概念；掌握从受力体内取单元体的方法。明确一点应力状态相关概念；掌握从受力体内取单元体的方法。明确一点应力状态相关概念；掌握从受力体内取单元体的方法。 推导受力体内一点各方位面上应力间的关系（平面应力状态）。推导受力体内一点各方位面上应力间的关系（平面应力状态）。 即，建立一点不同坐标系下应力分量间的变换关系。即，建立一点不同坐标系下应力分量间的变换关系。 获得一点正应力和剪应力的最大值以及作用方位。获得一点正应力和剪应力的最大值以及作用方位。 静定应力问题的求解。静定应力问题的求解。 熟练掌握平面应力状态分析方法解析法与图解法（莫尔圆）。熟练掌握平面应力状态分析方法解析法与图解法（莫尔圆）。熟练掌握平面应力状态分析方法解析法与图解法（莫尔圆）。熟练掌握平面应力状态分析方法解析法与图解法（莫尔圆）。 熟练平面应力状态下一点面内主应力、主平面及方位的确定。熟练平面应力状态下一点面内主应力、主平面及方位的确定。熟练平面应力状态下一点面内主应力、主平面及方位的确定。熟练平面应力状态下一点面内主应力、主平面及方位的确定。 了解三向应力圆的作法；熟练一点最大切应力及方位的确定。了解三向应力圆的作法；熟练一点最大切应力及方位的确定。了解三向应力圆的作法；熟练一点最大切应力及方位的确定。了解三向应力圆的作法；熟练一点最大切应力及方位的确定。 基本要求基本要求 目的目的 应力分析应力分析 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第三章第三章 应力与应变应力与应变 一般应力状态一般应力状态 一般应力状态一般应力状态 1 1 xy=py xz=pz o p x=px x z y F1 Fi dy dx dz x z y F1 Fi SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第三章第三章 应力与应变应力与应变 一般应力状态一般应力状态 一般应力状态一般应力状态(General State of Stress)(General State of Stress) 单元体各边长度可无限小，通常认为：单元体各边长度可无限小，通常认为： 1 各面上应力均布；各面上应力均布； 对面上相同性质应力相等、方向相反。对面上相同性质应力相等、方向相反。2 过受力构件内一点过受力构件内一点，取平行于坐标面的，取平行于坐标面的 6 个微面组成正六面体个微面组成正六面体 ，称为该点的，称为该点的单元体单元体。 o zyxddd xx x xy 表示作用面表示作用面 表示作用方向表示作用方向 ? 1 1 zyxddd x z x y z xy xz yx yz zx zy y Fi F1 x y z o SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第三章第三章 应力与应变应力与应变 应力的符号，切应力互等应力的符号，切应力互等 如同内力正、负规定一样，规定正面上沿坐标正向、负面上沿坐标如同内力正、负规定一样，规定正面上沿坐标正向、负面上沿坐标 负向的应力为正的应力；反之为负的应力。图示均为正的应力。负向的应力为正的应力；反之为负的应力。图示均为正的应力。 应力正、负规定应力正、负规定(Sign Convention)(Sign Convention) x y z xy yx 切应力互等定理切应力互等定理 0d)dd(d)dd(, 0= yzxxzym yxxyz xyyx =, zyyz = xzzx = 同理同理 *其他应力分量对其他应力分量对z轴合力矩为零，图上未标出轴合力矩为零，图上未标出 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第三章第三章 应力与应变应力与应变 应力的符号，切应力互等应力的符号，切应力互等 如此，一点的应力状态由如此，一点的应力状态由6个独立分量个独立分量zxyzxyzyx , 描述。描述。 构件内不同点的应力不同；同一点不同方位面上的应力不同。构件内不同点的应力不同；同一点不同方位面上的应力不同。 ? x y z xy yx 相互垂直两微分面上的剪应力（相互垂直两微分面上的剪应力（与与）， 大小相等，且同时指向或背向两面的交线。大小相等，且同时指向或背向两面的交线。 称为称为切应力互等定理切应力互等定理。即。即。 ij ji jiij = SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第三章第三章 应力与应变应力与应变 平面应力状态平面应力状态 x o 单向应力状态单向应力状态 xy yx o 纯剪切应力状态纯剪切应力状态 平面应力状态平面应力状态（Plane StressPlane Stress） 许多工程构件，特别是杆件，受力状态许多工程构件，特别是杆件，受力状态 较为简单，其内任一点某面（如较为简单，其内任一点某面（如 z 面）面） 上的应力不存在或可忽略不计。点承受上的应力不存在或可忽略不计。点承受 平面应力状态，由平面应力状态，由描述。描述。 xyyx , 2 2 x z x y z xy xz yx yz zx zy y x xy y yx o 一般平面应力状态一般平面应力状态 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第三章第三章 应力与应变应力与应变 平面应力状态平面应力状态 矢量是一阶张量矢量是一阶张量（TensorTensor） 2 2 cossinXXY =+ cossinYYX = y x y A o X Y x X Y 矢量矢量A，在在xy坐标系里可坐标系里可 以用坐标（以用坐标（X，Y）表示，在）表示，在 xy坐标系里可以用坐标坐标系里可以用坐标 （X，Y）表表示示。它在新、。它在新、 老老坐坐标标系里的分量有如下的系里的分量有如下的 转换关系：转换关系： 事实上，事实上，矢量是一阶张量矢量是一阶张量 = cossin sincos XX YY SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 平面应力状态分析平面应力状态分析 x y x y y x o x 正正 目的是建立目的是建立与与之间的转之间的转 换关系。换关系。 xyx y , xyxy , 若过该点取沿任意方位若过该点取沿任意方位的单元体，其上的单元体，其上 应力则由应力则由描描述。述。 x , y xyx y , 3 3 第三章第三章 应力与应变应力与应变 平面应力状态分析平面应力状态分析 x xy y y x o 物体上物体上o点处于平面应力状态。沿点处于平面应力状态。沿方向取方向取 单元体，其上应力由单元体，其上应力由描述。描述。, xyxy yx, SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 解析法转换方程解析法转换方程 3.1 3.1 应用应用方向力的平衡条件，分别获得方向力的平衡条件，分别获得；yx , , xx y 1 2 3 截面法取出分离体，其上力为应力乘以相应面积；截面法取出分离体，其上力为应力乘以相应面积； 用用替替代代，由上步获得的由上步获得的方程得到方程得到。 2 + + x y 第三章第三章 应力与应变应力与应变 解析法解析法 x xy y x y x x y x x xy x y x y x 面积面积 dA y SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学Mechanics of Materials A x d A yx d y x sindA y sindA xy cosdA x cosdA xy 解析法楔形分离体的平衡转换方程解析法楔形分离体的平衡转换方程 0 0 = = x xxyy xyx F: dA (d Asin )cos(d Asin )sin (d Acos)sin(d Acos)cos 0 0 y xyxyy xyx F: dA (dAsin )sin(dAsin )cos (dAcos )cos(dAcos )sin = + += 22 2 =+ xxyxy cossinsincos 22 =+ xyyxxy ()sin cos(cossin) 第三章第三章 应力与应变应力与应变 解析法解析法 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学Mechanics of Materials 上面两方程可简化为上面两方程可简化为 22 22 + =+ xyxy xxy cossin 22 2 =+ xy x yxy sincos 2 22 22 / cossin xyxy yxy + + = 用用替替代上面两式中的代上面两式中的，得，得 2 + 应力应力不变量不变量：两相互：两相互 垂直微分面上的正应垂直微分面上的正应 力之和为常量。力之和为常量。 xyxy constant +=+= 单元体的面上的三单元体的面上的三 个应力分量完全决定了个应力分量完全决定了 一点的应力状态。一点的应力状态。 ? ? 第三章第三章 应力与应变应力与应变 解析法解析法 y 面事实上是转角为面事实上是转角为的的 x 面。面。 2 + 解析法楔形分离体的平衡转换方程解析法楔形分离体的平衡转换方程 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学Mechanics of Materials 第三章第三章 应力与应变应力与应变 解析法解析法 xx yy x yxy T = = lmml Tmlml mlmllm = 22 22 22 2 2 lm o cos , cos(90)sin= = = = SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学Mechanics of Materials 第三章第三章 应力与应变应力与应变 解析法解析法 x xy y x y x x y x y x y x x y x y y x SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学Mechanics of Materials 第三章第三章 应力与应变应力与应变 主应力、主平面主应力、主平面 的的方程表明，给定方程表明，给定，任意斜截面上的，任意斜截面上的 应力由其方位角决定。工程实际中，重要的是确定应力由其方位角决定。工程实际中，重要的是确定最最 大、最小正应力大、最小正应力和和最大剪应力最大剪应力以及它们以及它们作用平面的方作用平面的方 位位。 , xyxy xx y , 主应力、主平面主应力、主平面(Principal Stresses and Principal Planes)(Principal Stresses and Principal Planes) 22 22 + =+ xyxy xxy cossin 22 2 =+ xy x yxy sincos SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学Mechanics of Materials 第三章第三章 应力与应变应力与应变 主应力、主平面主应力、主平面 为此，将为此，将的的表达式对表达式对微分并令其等于零微分并令其等于零 x 22220 2 d ( sin)cos d xy x xy = += 220 2 sincos xy xy += 上式左边即上式左边即，可见正应力取极值的方位面上的剪应力为零，可见正应力取极值的方位面上的剪应力为零 。设其方位角为。设其方位角为，上式成为，上式成为 0 0 2 2 = tg xy xy ()/ x y 22 22 + =+ xyxy xxy cossin 22 2 =+ xy x yxy sincos SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学Mechanics of Materials 第三章第三章 应力与应变应力与应变 主应力、主平面主应力、主平面 上式有两个根，记为上式有两个根，记为和和，对应的极值记为对应的极值记为和和。01 0201 2 =+ I II 22 2 + xy xy () xy 2 xy ()/ 01 2 02 2 2 xy ()/ xy 01 22 2 2 = + xy xy xy sin () 02 22 2 2 = + xy xy xy sin () 01 22 2 2 2 = + xy xy xy cos () 02 22 2 2 2 = + xy xy xy cos () 主应力、主平面主应力、主平面 0 2 2 = tg xy xy ()/ SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学Mechanics of Materials 第三章第三章 应力与应变应力与应变 主应力、主平面主应力、主平面 22 2 + xy xy () xy 2 xy ()/ 01 2 02 2 2 xy ()/ xy 主应力、主平面主应力、主平面 22 22 + =+ I II xyxy xy () 将以上三角关系代入将以上三角关系代入的表达式得面内的的表达式得面内的最大、最小正应力最大、最小正应力x 01 22 2 2 = + xy xy xy sin () 01 22 2 2 2 = + xy xy xy cos () 22 22 + =+ xyxy xxy cossin SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学Mechanics of Materials 第三章第三章 应力与应变应力与应变 主应力、主平面主应力、主平面 22 22 I II xyxy xy () + =+ 主应力、主平面主应力、主平面 x xy y y x o 0 I II SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学Mechanics of Materials 10.15 x y 25o -2.15 2.67 -2.67 1，求1，求 25 斜截面上的应力斜截面上的应力 例题1 例题1 已知某点应力：已知某点应力：10 x MPa =2 y MPa = 3 xy MPa = 10 2102 503501015 22 oo x cos() ()sin().MPa + =+ = 102 503502 67 2 oo xy sin()()cos().MPa + =+ = 102102 503502 15 22 oo y cos()()sin().MPa + = = -2 -3 10 y x 3 第三章第三章 应力与应变应力与应变 例题1例题1 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学Mechanics of Materials 第三章第三章 应力与应变应力与应变 例题1例题1 2，求主应力求主应力 2222 10711010 2 3 2222 xyxy I,II xy .2 ()()()MPa 2.71 + =+ = 13.3o -2.71 10.71 y x 00 0 23 2153 4 102 76 7 () tan, 226.6 , ., () 13.3 , . = + = 面内面内主应力主应力为为 I10.71 MPa， II2.71 MPa。 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学Mechanics of Materials 第三章第三章 应力与应变应力与应变 例题1例题1 有两个解，如何判断那一个角度对应于最大正应力，那一个角度对有两个解，如何判断那一个角度对应于最大正应力，那一个角度对 应的是最小正应力。应的是最小正应力。 o x xyxy 2 2 d 2cos2 ()4sin2 d = = 22 2 2 4 xy o xyxy sin () = + Q 22 2 4 xy o xyxy cos () = + o xy x oxy xy 2 2 2 4 d 2cos2() d = = = = + + 13.3o 10.71 -2.71 y x 如果如果上式的值小于零。所以，相应的主应力取极大值。上式的值小于零。所以，相应的主应力取极大值。 因为因为时，或者时，或者时时 xy, 2 22 o 0 20cos 44 o 22220 2 d ( sin)cos d xy x xy = += SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学Mechanics of Materials 第三章第三章 应力与应变应力与应变 面内最大剪应力面内最大剪应力 面内最大切应力面内最大切应力(Maximum In(Maximum In- -Plane Shear Stress) Plane Shear Stress) 及作用面及作用面 记两个根为记两个根为和和，对应的切应力极值为，对应的切应力极值为 1s 21 2 =+ ss 22 2 I xy xy II () = + 2 2 = xy s xy ()/ tan 将将的表达式对的表达式对微分并令其等于零得微分并令其等于零得 xy 22 2 =+ xy x yxy sincos 2 s xy avg + = 将将代入正应力公式，面内最大、最小切应力作用面上的正代入正应力公式，面内最大、最小切应力作用面上的正 应力为应力为 s SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学Mechanics of Materials 第三章第三章 应力与应变应力与应变 应力状态应力状态 应力状态的表示应力状态的表示 主平面与最大切应力所在平面的关系表示如下主平面与最大切应力所在平面的关系表示如下 ? 表明面内最大切应力作用面与主平面成表明面内最大切应力作用面与主平面成夹角。夹角。 4 0 22 2 S = 0 4 S = 由由和和的表达式知（的表达式知（与与的的正切成负倒数关系正切成负倒数关系） 0 S 0 2 2 S 0 y x o x I II 主平面主平面 x“ o x S s I II 0 x 最大切应力所在平面最大切应力所在平面 x xy y y x o 4 0 x x“ 0 4 S = SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学Mechanics of Materials 第三章第三章 应力与应变应力与应变 例题1例题1 3，求最大切应力，求最大切应力 2222 102 36 71 22 xy I,II xy ()()().MPa = += + = 最小、最大切应力处于与主应力成最小、最大切应力处于与主应力成 4545 的截面上。的截面上。 从应力圆分析可知，最大从应力圆分析可知，最大 主应力旋转45主应力旋转45 的截面上，的截面上， 也就是与也就是与 x 方向成58.3方向成58.3 的的 截面上,切应力为正。截面上,切应力为正。 6.71 4.0 4.0 -6.71 31.7o x 13.3o 45o 45o SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学Mechanics of Materials 第三章第三章 应力与应变应力与应变 例题例题 60MPa 20MPa 90MPa 解：解： x20MPa， y90MPa， xy 60MPa。 2 20902 0 917 60 S ()/ ()/ tg2. xy xy = 42 5222 521 33 oooo SS 2., . ., 111.= 2222 2090 6081 4 22 xy maxxy in plane ()(). MPa =+=+= 受力物体某点的平面应力状态由左图的受力物体某点的平面应力状态由左图的 单元体表示。试求最大切应力和相应的平均单元体表示。试求最大切应力和相应的平均 正应力。正应力。 例题例题 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学Mechanics of Materials 第三章第三章 应力与应变应力与应变 例题例题 81.4MPa 35MPa 35MPa 21.3o 81.4MPa y x x x x 111.3o 将将 S S21.321.3 代入切应力公式代入切应力公式 22 2 -20-90 =-()sin2(21.3 )+60cos2(21.3 )=81.4MPa 2 xy x ySxyS sincos = + 可以确定可以确定 S21.3 截面上为最大切应力。截面上为最大切应力。 S111.3 截面上的切应力为截面上的切应力为81.4MPa。 两个截面上的正应力等于平均正应力：两个截面上的正应力等于平均正应力： 2090 35 22 MPa xy avg + + = 注：这里的切应力在两个互相垂直的面上相差一个注：这里的切应力在两个互相垂直的面上相差一个 负号，因为这是相应于负号，因为这是相应于x轴取向不同的两个坐标系轴取向不同的两个坐标系 里的切应力的符号。与切应力互等律不矛盾。里的切应力的符号。与切应力互等律不矛盾。 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学Mechanics of Materials 第三章第三章 应力与应变应力与应变 图解法莫尔应力圆图解法莫尔应力圆 22 22 cossin + =+ xyxy xxy 22 2 sincos = + xy x yxy 的表达式可重写成的表达式可重写成 , x x y 2 xy avg a + = 22 2 () =+ xy xy R 2 2 22 22 + +=+ xyxy xx yxy 其中其中 222 () xx y aR += 两边平方，相加消去两边平方，相加消去得得 图解法莫尔应力圆图解法莫尔应力圆(Mohr(Mohr s Circle)s Circle)3.2 3.2 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学Mechanics of Materials 第三章第三章 应力与应变应力与应变 图解法莫尔应力圆图解法莫尔应力圆 上式为一圆方程，上式为一圆方程，圆心圆心 为，为，半径半径为为R 。0( , )C a 取取轴轴向右为正, 向右为正, 向下为正。在向下为正。在 该坐标系中作圆，称为该坐标系中作圆，称为 莫尔应力圆莫尔应力圆。 () x () x y C 22 2 () xy xy R =+ 2 xy avg + = () x () x y xy 2 xy 22 2 () xy xy R =+ 2 xy avg a + = 图解法莫尔应力圆图解法莫尔应力圆(Mohr(Mohr s Circle)s Circle) SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学Mechanics of Materials 第三章第三章 应力与应变应力与应变 莫尔应力圆莫尔应力圆 作莫尔圆的步骤：作莫尔圆的步骤： 以以 为为圆心，圆心， 为半径作为半径作Mohr圆。圆。 确定正确定正 面对应的应力点面对应的应力点； 确定点确定点； 0(, ) avg C (,) xxy X x C CX 1 3 2 C 2 xy avg + = xy X x Y xy y 2 = 或或 以以 为为圆心，圆心，为半径作圆。为半径作圆。 连接连接和和，与与轴轴交点为交点为； 确定正确定正 面对应的应力点面对应的应力点 确定正确定正 面对应的应力点面对应的应力点 xxy X(,) yxy Y(,) XY x y C CCX 2 1 3 4 单元体上两面夹角为单元体上两面夹角为，圆上为，圆上为。 2 ? y x x 2 = y x (,) xxy X (,) yxy Y xy y 莫尔应力圆莫尔应力圆 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学Mechanics of Materials 第三章第三章 应力与应变应力与应变 莫尔应力圆莫尔应力圆 C 2 xy avg + = xy X x Y xy y X2 o D A x xy x y x x x y xxy X(,) xxy X(,) 证明：证明： 2 cos, sin xy xy RR = 斜截面上的应力斜截面上的应力 2 22 X DRsin() R(sincoscossin) = = 22 2 xy x yxy X Dsincos = + 22 22 cossin xyxy xxy oD + =+ 2 2 22 2 xy xy oDoCCDR cos() R(coscossinsin) + + =+=+= =+ + + + =+=+ + 所以所以 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学Mechanics of Materials 第三章第三章 应力与应变应力与应变 莫尔应力圆莫尔应力圆 C 2 xy avg + = xy X x Y xy y X2 o DA 莫尔应力圆莫尔应力圆 x xy x y x x x y xxy X(,) xxy X(,) 上述结果表明：上述结果表明： 1，应力圆上的点1，应力圆上的点X的的 坐标为（坐标为（ x， xy），）， 与单元体与单元体x 面的应力面的应力 相对应。相对应。 2，x2，x面与x面的夹角为面与x面的夹角为 。应力圆上。应力圆上X的坐标的坐标 为（为（ x， xy），与单），与单 元体的元体的x面上的应力相面上的应力相 对应。对应。 3，应力圆上CX3，应力圆上CX与CX的夹角为与CX的夹角为 2 2 ，是x，是x轴与x轴之夹角的2轴与x轴之夹角的2 倍。倍。 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学Mechanics of Materials 第三章第三章 应力与应变应力与应变 应力圆例题应力圆例题 Example 例：某点应力例：某点应力=40MPa，= -20MPa ，30MPa 试用解析法和图解法求主应力和最大切应力。试用解析法和图解法求主应力和最大切应力。 x y xy 1，解析法，解析法 0 2 1145 , 135 arctan()arctan(1.0)22.5 , 67.5 222 = oo xy oo xy 2 222 4020 3030 242 43 22 max ()MPa.MPa xy xy + =+=+= 2222 40204020 30 2222 52 43 32 43 I xyxy xy II aR()() . 1030 2MPa . + + =+=+ = 10 2 MPa xy avg + = 例题例题 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学Mechanics of Materials 第三章第三章 应力与应变应力与应变 应力圆例题应力圆例题 Y(-20,- 30) X(52.43,0) X(40,30) C(a,0) 45 X(10,-42.4) Y(10, 42.4) o 45 Y(-32.43,0) x 22.5 3 1 y xy x x x” x”y” x” 45 2，图解法图解法 10 2 MPa xy avg a + = 2 222 4020 3030 242 43 22 ()MPa.MPa xy xy R + =+=+= =40MPa，= -20MPa ，30MPa x y xy SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学Mechanics of Materials 第三章第三章 应力与应变应力与应变 静定应力问题静定应力问题 静定应力问题静定应力问题4 4 如何求解截面上应力分布和大小如何求解截面上应力分布和大小 具体受力构件具体受力构件 一般分布规律未知，仅一般分布规律未知，仅 静力分析得不到结果静力分析得不到结果 超静定应力超静定应力问题问题 由于由于静定应力静定应力问题的求解过程中不涉及材料性质，因而无论问题的求解过程中不涉及材料性质，因而无论 材料是在弹性范围还是在塑性范围内，其结果均适用。材料是在弹性范围还是在塑性范围内，其结果均适用。 ? 分布规律已知，或分布规律已知，或 可以推测，那么仅可以推测，那么仅 静力分析可得结果静力分析可得结果 静定应力问题静定应力问题 由构件由构件实验现象实验现象 几何特征几何特征 受载形式受载形式 可对其应力分布可对其应力分布 作出合理的判断作出合理的判断 静力平衡静力平衡 应力大小应力大小 静定静定 应力应力 问题问题 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学Mechanics of Materials 第三章第三章 应力与应变应力与应变 静定应力问题静定应力问题 由于求解过程中不涉及材料性质，因而无论材料是在弹性范围还是由于求解过程中不涉及材料性质，因而无论材料是在弹性范围还是 在塑性范围，其结果均适用。在塑性范围，其结果均适用。 均匀拉、压等截面杆,例题均匀拉、压等截面杆,例题 一个以角速度一个以角速度 旋转的圆环，密度为旋转的圆环，密度为 ，截面的，截面的 厚度为厚度为t t，宽度，宽度h h，截面尺寸与环的半径，截面尺寸与环的半径r r相比很相比很 小，求截面上的应力。小，求截面上的应力。 解：解：因为截面尺寸与半径相比很小，根据因为截面尺寸与半径相比很小，根据对对称称 性假定截面上没有切应力，正应力性假定截面上没有切应力，正应力 均匀分均匀分 布，并忽略径向正应力布，并忽略径向正应力 r r。设圆环单元体的惯。设圆环单元体的惯 性力为性力为dFdF，那么，根据径向力的平衡：，那么，根据径向力的平衡： 所以所以 2 ()2sin() 2 d dFt h rdrt h = = 22 r = h t r o o d dF r SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学Mechanics of Materials 第三章第三章 应力与应变应力与应变 静定应力问题静定应力问题 薄壁圆筒压力容器薄壁圆筒压力容器 m m p x x m m p p nn x方向长度为1x方向长度为1 o z x x x Dn np SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学Mechanics of Materials 第三章第三章 应力与应变应力与应变 静定应力问题静定应力问题 薄壁圆筒压力容器薄壁圆筒压力容器 所以所以 因为筒体壁很薄，假设筒壁截面上正应力沿厚度均匀分布。因为筒体壁很薄，假设筒壁截面上正应力沿厚度均匀分布。 根据垂直方向的平衡条件根据垂直方向的平衡条件 121pDt = 2 pD t = p nn x方向长度为1x方向长度为1 2 4 x D pDt = m-m面截取左半部筒体连同内部的气体为分离体，根据轴向平衡面截取左半部筒体连同内部的气体为分离体，根据轴向平衡 条件条件 4 x pD t = 所以所以 p x x m m SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学Mechanics of Materials 第三章第三章 应力与应变应力与应变 静定应力问题静定应力问题 所以所以 薄壁圆管受扭薄壁圆管受扭 因为筒体壁很薄，假设管壁截面上切应力沿厚度均匀分布。因为筒体壁很薄，假设管壁截面上切应力沿厚度均匀分布。 试求横截面上的应力。试求横截面上的应力。 根据力矩的平衡可知根据力矩的平衡可知 2 0 2 22 (d)Trtr r trr t = = 2 2 T r t = T T t r T d T SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学Mechanics of Materials 第三章第三章 应力与应变应力与应变 单向拉伸应力状态单向拉伸应力状态 x 45 x x y /2 /2 y X( ,0) X( /2, - /2) Y(0,0) Y( /2, /2) 三种经常遇到的应力状态三种经常遇到的应力状态 (1)单向拉伸应力状态，已知(1)单向拉伸应力状态，已知 x= ， y= xy=0, 主应力主应力 1= x= ， 2= 3=0。 FF SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学Mechanics of Materials 第三章第三章 应力与应变应力与应变 纯剪切纯剪切 Example Mohrs circle for centric axial loading: 2 dede P A = 0,= xyyx A P Mohrs circle for torsional loading: 2 0 2 xyxy T R t = = 2 0 2 , abxyab T R t = x y T T TT b a X Y AB xy xy SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学Mechanics of Materials 第三章第三章 应力与应变应力与应变 纯剪切应力状态纯剪切应力状态 X(0, ) X( , 0) x 45 x 1 3- 三种经常遇到的应力状态三种经常遇到的应力状态 (2)纯剪切应力状态，已知(2)纯剪切应力状态，已知 x x= = y y=0。=0。 xy xy= = , , 主应力主应力 1 1= = 2 2= 0，= 0， 3 3=-=- 。 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学Mechanics of Materials 第三章第三章 应力与应变应力与应变 拉剪应力状态拉剪应力状态 Example 拉剪应力状态拉剪应力状态Combined tensiletorsional loading: 2 0 22 xyxy FT , , RtR t = x y T T xy F F x SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学Mechanics of Materials 第三章第三章 应力与应变应力与应变 拉剪应力状态拉剪应力状态 o x x 1 3 Y( 3, 0) X( , ) X( 1, 0) 2 o 三种经常遇到的应力状态三种经常遇到的应力状态 已知已知 x x= = ， y y=0，=0， xy xy= = , 主应力： , 主应力： 122 3 22 () =+ (3) (3) 拉拉（压）（压）剪剪（切）复合（切）复合应力状态应力状态： SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学Mechanics of Materials 第三章第三章 应力与应变应力与应变 拉剪应力状态，例题拉剪应力状态，例题 6MPa 12MPa 受轴向压力和扭矩作用的圆柱体，表面上受轴向压力和扭矩作用的圆柱体，表面上 一点的应力状态如单元体图所示。试求主一点的应力状态如单元体图所示。试求主 应力的大小和方向。应力的大小和方向。