多维随机变量的数字特征.ppt

1,第四章 随机变量的数字特征,分布函数能够完整地描述随机变量的统计特 性，但在一些实际问题中，只需知道随机变量的 某些特征，因而不需要求出它的分布函数.,评定某企业的经营能力时，只要知道该企业 人均赢利水平；,例如：,研究水稻品种优劣时，我们关心的是稻穗的 平均粒数及每粒的平均重量；,检验棉花的质量时，既要注意纤维的平均长 度，又要注意 纤维长度与平均长度的偏离程度， 平均长度越长、偏离程度越小，质量就越好;,2,考察一射手的水平，既要看他的平均环数 是否高，还要看他弹着点的范围是否小，即数 据的波动是否小.,由上面例子看到，与随机变量有关的某些 数值，虽不能完整地描述随机变量，但能清晰 地描述随机变量在某些方面的重要特征 , 这些 数字特征在理论和实践上都具有重要意义.,随机变量某一方面的概率特性 都可用数字来描写,3,4,5,定义 设离散型随机变量X 的分布列为,若无穷级数,绝对收敛，则称其和为随机变量 X 的数学期望 记为,1. 数学期望的定义,4.1 数学期望,6,设连续型随机变量X 的概率密度为,若积分,绝对收敛，则称此积分的值为随机变量 X 的 数学期望，记为,数学期望简称期望，又称均值,注意:数学期望反映了随机变量取值的平均值,它是一种加权平均,7,解,例1,8,例2,解,例3,解,9,例4,解,10,例5,解,11,例6,解,12,常见随机变量的数学期望,13,区间(a,b)上的 均匀分布,E(),N(, 2),14,2. 数学期望的性质,15,16,解,引入随机变量,则有,例7,17,故,（次）,18,例8,19,解,20,21,3. 随机变量函数的数学期望,22,23,例9,解,24,解,例10,25,例11,解,26,解,例12 设二维连续随机变量 的概率密度为,27,数学期望的性质,注意:,28,3. 数学期望的简单应用,市场上对某种产品每年的需求量为X 吨 ， X U 2000,4000 , 每出售一吨可赚3万元 , 售不出去，则每吨需仓库保管费1万元，问 应该生产这中商品多少吨, 才能使平均利润 最大？,例13,29,解,设每年生产 y 吨的利润为 Y,，2000 y 4000,30,故 y = 3500 时，EY 最大， EY = 8250万元,31,为普查某种疾病, n 个人需验血, 可采用两种 方法验血： 分别化验每个人的血, 共需化验 n 次； 将 k 个人的血混合在一起化验，若化验结 果为阴性, 则此 k 个人的血只需化验一次； 若为阳性, 则对 k 个人的血逐个化验，找 出有病者, 这时 k 个人的血需化验 k + 1 次. 设某地区化验呈阳性的概率为 p，且每个 人是否为阳性是相互独立的. 试说明选择哪一 种方法可以减少化验次数.,验血方案的选择,32,解 为简单计，设 n 是 k 的倍数， 设共分成 n / k 组,第 i 组需化验的次数为X i,33,若,则EX n,例如，,34,4.2,35,36,37,例1,解,例2,38,解,39,4.3 方差,引例 检验两批灯泡的质量,从中分别随机抽样5只,测得使用寿命(单位:小时)如下: A: 2000 1500 1000 500 1000 B: 1500 1500 1000 1000 1000 试比较这两批灯泡质量的好坏,计算得:平均寿命分别为:A:1200 B:1200,观察得:A中使用寿命偏离较大,B中使用寿命 偏离较小,所以,B产品质量较好,数学期望,方差,40,1. 方差的定义,(X - EX)2 随机变量X 的取值偏离平均值的 情况, 是X的函数, 也是随机变量,E(X - EX)2 随机变量X的取值偏离平均值的平均偏离程度 数,注:,方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度,41,若 X 为离散型随机变量，概率分布为,若 X 为连续型随机变量，概率密度为f (x),常用的计算方差的公式：,42,2. 方差的性质,43,例1 设 X P (), 求 DX,解,3. 方差的计算,44,例2 设 X B( n , p)，求 DX,解一 仿照上例求DX,解二 引入随机变量,相互独立，,故,45,解,例3 设 X U( a , b)，求 DX,46,例4 设 X N ( , 2), 求 DX,解,47,常见随机变量的方差,48,区间(a,b)上的 均匀分布,E(),N(, 2),49,f(x),x,0,若固定,改变,则越大,曲线越平坦, 越小,曲线越陡峭,大,方差的概念直观背景也可以通过正态分布中不同2的密度曲线反映出来:,50,解,例5,51,证,例6,52,例7 已知X ,Y 相互独立，且都服从 N (0,0.5), 求 E( | X Y | ),解,故,53,例8 设X 表示独立射击直到击中目标 n 次为止 所需射击的次数，已知每次射击中靶的概 率为 p ，求EX , DX,解 令 X i 表示击中目标 i - 1 次后到第 i 次击中 目标所需射击的次数，i = 1,2, n,相互独立 ,且,54,55,故,56,例9,求 EY , DY,解,57,58,标准化随机变量,为 X 的标准化随机变量. 显然，,59,仅知随机变量的期望与方差并不能确定其分布, 例如：,与,它们有相同 的期望,方差 但是分布 却不同,60,但若已知分布的类型及期望和方差，常能 确定分布,例10 已知 X 服从正态分布, EX = 1.7, DX = 3, Y = 1 2 X , 求 Y 的密度函数,解,61,例11 已知 X 的密度函数为,其中 A ,B 是常数，且 EX = 0.5,求 A ,B 设 Y = X 2, 求 EY ,DY,62,解 (1),63,(2),64, 4.4 协方差及相关系数,问题 对于二维随机变量(X ,Y ):,已知联合分布,边缘分布,这说明对于二维随机变量，除了每个 随机变量各自的概率特性以外，相互之间 可能还有某种联系. 问题是用一个什么样 的数去反映这种联系.,数,反映了随机变量X ,Y 之间的某种关系,65,定义 称,为X ,Y 的协方差 ，记为,1. 协方差和相关系数的定义,为X ,Y 的 相关系数,称,66,因此,方差是协方差的特例 协方差刻画两个随机变量之间的“某种”关系,可以证明 若(X,Y)服从二维正态分布, 即,则,67,若 ( X ,Y ) 为离散型，,若 ( X ,Y ) 为连续型，,68,计算协方差的常用公式,69,注:,70,注:,显然,相关,不相关,正相关,负相关,完全正相关,完全负相关,71,求 Cov (X ,Y ), XY,解,72,73,例2 设 ( X ,Y ) N ( 1, 12,2,22,), 求 X