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文档简介

- 1 -,第四节 高阶线性方程,二阶齐次线性方程的通解结构 二阶非齐次线性方程的通解结构 三 n阶线性方程的通解结构,一 二阶齐次线性方程的通解结构,证毕,是二阶齐次线性方程,的两个解,也是该方程的解.,证:,代入方程左边, 得,(叠加原理),定理1.,二阶齐次线性方程一般形式,- 3 -,说明:,不一定是所给二阶方程的通解.,例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解,并不是通解,但是,则,为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与,线性无关概念.,- 4 -,定义,是定义在区间 I 上的,n 个函数,使得,则称这 n个函数在 I 上线性相关,否则称为线性无关.,例如，,在( , )上都有,故它们在任何区间 I 上都线性相关;,又如，,若在某区间 I 上,则根据二次多项式至多只有两个零点 ,必需全为 0 ,可见,在任何区间 I 上都 线性无关.,若存在不全为 0 的常数,- 5 -,两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件:,线性相关,存在不全为 0 的,使,( 无妨设,线性无关,常数,函数,是线性无关的；,函数,是线性无关的；,函数,是线性无关的；,由此可知,- 6 -,思考:,中有一个恒为 0,必线性,相关,则,定理 2.,是二阶线性齐次方程的两个线,性无关特解, 则,数) 是该方程的通解.,例如, 方程,有特解,且,常数,故方程的通解为,(自证),- 7 -,二 二阶非齐次线性方程解的结构,二阶非齐次线性方程一般形式,是二阶非齐次方程,的一个特解,Y (x) 是相应齐次方程的通解,定理 3.,则,是非齐次方程的通解 .,证: 将,代入方程左端, 得,- 8 -,是非齐次方程的解,又Y 中含有,两个独立任意常数,例如, 方程,有特解,对应齐次方程,有通解,因此该方程的通解为,证毕,因而 也是通解 .,- 9 -,定理 4.,分别是方程,的特解,是方程,的特解. (非齐次方程之解的叠加原理),为常数，,证,- 10 -,特别取,有,设,为方程,的两个解，,则,为方程,的解。,- 11 -,常数, 则该方程的通解是 ( ).,设线性无关函数,都是二阶非齐次线,性方程,的解,是任意,例1,提示:,都是对应齐次方程的解,二者线性无关 . (反证法可证),- 12 -,例2,已知微分方程,个解,求此方程满足初始条件,的特解 .,解:,是对应齐次方程的解,且,常数,因而线性无关,故原方程通解为,代入初始条件,故所求特解为,有三,- 13 -,三 n阶线性方程的通解结构,定理 5,是n阶齐次线性方程的,n个线性无关特解,是该方程的通解.,则,n 阶线性微分方程的一般形式为,时, 称为非齐次方程 ;,时, 称为齐次方程.,- 14 -,定理 6,是对应齐次方程的 n 个线性,无关特解,给定 n 阶非齐次线性方程,是非齐次方程的特解,则非齐次方程,的通解
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