数字信号处理王震宇张培珍编第二章.ppt

,第二章 离散时间信号与离散时间系统 Discrete-Time Signals and Systems,课程名称：数字信号处理,任课教师：张培珍,授课班级：信计1081-1082,2.1 离散时间信号,1,2,4,5,3,2.5 综合实例,2.4 离散时间系统分析差分方程,2.3 离散时间系统,2.2 离散时间信号的运算,离散时间信号与离散时间系统,2,引言,有关离散时间信号和离散时间系统的基本理论和基本概念是全书的基础。 时域连续信号如果信号的自变量和函数值都是连续的，称为时域连续信号. 离散时间信号如果信号的函数值连续，自变量为离散值，称为离散时间信号，又称为序列。,离散时间信号与离散时间系统,2,2.1 离散时间信号,离散时间信号的数学表示 离散时间信号往往来源于对时域连续信号的采样，假设采样周期为T，采样对象是时域连续信号x(t)，则可知采样信号为,简化为序列来表示，即,x(n)只在n为自然数时才有意义。 x(n)代表第n个序列值，在数值上等于信号的采样值。 实际信号处理中，这些数字序列值按顺序存放于存贮器中。,注意,离散时间信号与离散时间系统,2,离散时间信号也可以用集合来表示，如,离散时间信号还可以使用图形表示，如,离散时间信号与离散时间系统,2,x k=1, 1, 2, -1, 1;k=-1,0,1,2,3,例：离散信号(序列)的表示,x k=1, 1, 2, -1, 1;k=-1,0,1,2,3,离散时间信号与离散时间系统,2,2.1.2 典型的离散时间信号序列,单位阶跃序列 Unit step sequence 单位阶跃序列是单边序列，如图2.2所示，数学表达式为,图2.2 单位阶跃序列的图形表示,与u(t)相比较,离散时间信号与离散时间系统,2,单位脉冲序列 Unit sample (impulse)sequence 单位脉冲序列(n)只有n=0时存在值，其他时刻均为0，,离散时间信号与离散时间系统,2,u(n)和(n) 关系,由于(n)具有的采样性，因此其他离散时间信号也可以用(n)及其移位信号加权和表示，即,离散时间信号与离散时间系统,2,矩形序列 矩形序列是类似于连续窗函数概念的离散时间函数，共有N个幅度为1的函数值。,三种序列之间的关系,图2.5 矩形序列RN(n),离散时间信号与离散时间系统,2,斜变序列 斜变序列与连续函数中的斜坡函数类似。但是却没有连续时间信号中斜坡函数同阶跃函数之间的微分关系。,图2.6 斜变序列x(n) 的图形表示,离散时间信号与离散时间系统,2,实指数序列 Real-valued exponential sequence 实指数序列的数学表达式为,其中a为实数。 当 时，序列是发散的。 当 时，序列是收敛的。 当 时，序列在一个象限。 当 时，序列在两个象限。,x1(n)=1.25n (b) x2(n)=0.75n (c) x3(n)=(-1.25)n (d) x4(n)=(-0.75)n,离散时间信号与离散时间系统,2,复指数序列 Complex-valued exponential sequence 复指数序列的数学表达式为,x(n)的实部 (b) x(n)的虚部 (c) x(n)的模 (d) x(n)的相位,离散时间信号与离散时间系统,2,正弦型序列 Sinusoidal sequence,其中，0为数字域角频率。单位是弧度。 数字角频率和模拟角频率的关系,如图：0=/8 T=16,离散时间信号与离散时间系统,2,离散时间信号与离散时间系统,2,思 考,判断 、 、 是否为周期函数？,离散时间信号与离散时间系统,2,离散时间信号与离散时间系统,2,2.2 离散时间信号的运算,加法 乘法 移位 翻转 尺度变化 x(an)为波形压缩 x(n/a)为波形扩展,右移 左移,离散时间信号与离散时间系统,2,离散时间信号与离散时间系统,2,相加 Sum of sequence,相乘 Product of sequence,离散时间信号与离散时间系统,2,翻褶 Turnover of squence,移位Shift of squence,序列的相加和相乘： x1=0 1 2 3 4 3 2 1 0;ns1=-2; x2=2 2 0 0 0 -2 -2;ns2=2; nf1=ns1+length(x1)-1; nf2=ns2+length(x2)-1; ny=min(ns1,ns2):max(nf1,nf2); xa1=zeros(1,length(ny); xa2=xa1; xa1(find(ny=ns1)ylabel(x1(n)*x2(n),离散时间信号与离散时间系统,2,例2.1 已知有序列x(n)和y(n)，如图2.10所示， 计算序列x(n)和y(n)间的运算：(1) 和序列z(n)；(2) 积序列R(n)；(3) 当m为2时，x(n)的右移序列w(n)；(4) x(n)的翻转序列t(n)；(5) 当a为2时，x(n)的波形压缩x(an)。,图2.10 例2.1图,离散时间信号与离散时间系统,2,解： (1) 和序列z(n)= 3, 1, 6, 1, 1, 5，如图2.11(a)所示； (2) 积序列R(n) = 2, -2, 8, 0, 0, 6，如图2.11(b)所示； (3) 当m为2时，x(n)的右移序列w(n) = 2, -1, 2, 0, 1, 3，如图2.11(c)所示； (4) x(n)的翻转序列t(n) = 3, 1, 0, 2, -1, 2，如图2.11(d)所示； (5) 当a为2时， x(an)=2, 2, 1， x(n)的波形压缩x(an) 如图2.11(e)所示。,离散时间信号与离散时间系统,2,离散时间信号与离散时间系统,2,卷积 Convolution of sequences 设序列x(n)和h(n)，其卷积和y(n)定义为 卷积和计算分为四个步骤：即折迭(翻褶)、位移、相乘和相加。,离散时间信号与离散时间系统,2,离散时间信号与离散时间系统,2,结论：长度分别为N1，N2两个序列的线形卷积结果序列长度为N1+N2-1,离散时间信号与离散时间系统,2,f(0)=1,f(1)=2,f(2)=3,f(3)=4,f(4)=5,f(5)=3,f(6)=1,f(7)=-1,f(8)=-3,f(9)=-5,f(10)=-4,f(11)=-3,f(12)=-2,f(13)=-1,离散时间信号与离散时间系统,2,2.3 离散时间系统,设离散时间系统的输入序列为x(n)，系统输出序列用y(n)表示。设运算关系用T表示，输出与输入之间关系用下式表示y(n)=Tx(n)，其框图如图2.12所示。,图2.12 输出与输入之间的关系,离散时间信号与离散时间系统,2,离散时间系统的线性 线性系统满足叠加性和齐次性。,叠加性y1(n) + y2(n) = Tx1(n) + Tx2(n) = Tx1(n)+x2(n) 齐次性 ay1(n) = aTx1(n) = Tax1(n) ay2(n) = aTx2(n) = Tax2(n) 线性 y (n) = Tax1(n) + bx2(n) = ay1(n) + by2(n) （其中a和均为常数）,假设系统的输入序列为x1(n)和x2(n)，输出序列对应为y1(n)和y2(n)，则有y1 (n)=Tx1(n)和y2(n)=Tx2(n)成立。,离散时间信号与离散时间系统,2,例2.2 x(n)和y(n)分别表示系统的输入和输出，判断系统 y(n) = 2x(n) + 3是否是线性的。,解 令y1(n) = 2x1(n) + 3和y2(n) = 2x2(n) + 3。对于线性系统，根据叠加性，有 y(n) = Tx1(n) + x2(n) = 2Tx1(n) + x2(n) + 3 = 2x1(n) + 2x2(n) + 3 然而 y1(n) + y2(n) = 2x1(n) + 3 + 2x2(n) + 3 = 2x1(n) + 2x2(n) + 6 因此，y(n) y1(n) + y2(n)，故该系统不是线性的。,离散时间信号与离散时间系统,2,离散时间系统的时不变性 若输入为x(n)，输出为y(n)，则当输入为x(n-n0)时，输出为y(n-n0)。,即，若时不变系统有y(n)=T x(n)，则 y(n-n0) =Tx(n-n0) ， 其中n0为任意整数。,例2.3 x(n)和y(n)分别表示系统的输入和输出，系统y(n) = 2x(n) + 3是否是时不变的。,解 对于系统y(n) = 2x(n) + 3来说，由于 y(n-n0) = 2x(n-n0) + 3 = Tx(n-n0) 故该系统是时不变的。,离散时间信号与离散时间系统,2,例2.4 x(n)和y(n)分别表示系统的输入和输出，系统y(n) = x(n) cos(n+1)是不是时不变的。,解 对于系统y(n) = x(n) cos(n+1)来说，由于 y(n-n0) = x(n-n0) cos(n-n0)+1 然而 Tx(n-n0) = x(n-n0) cosn+1 因此，y(n-n0) Tx(n-n0)，故该系统不是时不变的。,离散时间信号与离散时间系统,2,离散时间系统的因果性和稳定性 因果系统，是指某时刻的输出只取决于此刻以及该时刻以前时刻的输入的系统。 即，n =n0的输出y(n0)取决于nn0的输入x(n)|n n0 例如 y(n) = x(-n)是非因果系统，因n0时的输入。 线性时不变系统是因果系统的充要条件为h(n)=0，n0。,所谓稳定系统，是指有界的输入产生有界的输出的系统。即，若 | x(n)| M ，则 | y(n)| P ,离散时间信号与离散时间系统,2,系统稳定性判断对分析系统具有十分重要意义。 线性时不变系统是稳定系统的充要条件是 即单位脉冲响应是绝对可和的。,离散时间信号与离散时间系统,2,例2.5 某线性时不变系统，其单位脉冲响应为 ，试讨论其是否是因果的、稳定的系统。,解 (1) 因为 时， ，所以该系统是非因果系统。 (2) 因为 ， 所以当 时系统稳定， 当 时系统不稳定。,离散时间信号与离散时间系统,2,离散时间系统 一个系统的输入与输出信号都是离散的时间信号。,离散时间系统的描述 离散时间系统通常采用差分方程来描述。,一个线性的连续时间系统总可以用线性微分方程来表达。 其N阶线性常系数差分方程的一般形式：,离散时间信号与离散时间系统,2,常系数线性差分方程求解方法 迭代法、时域经典法(齐次解+特解)、离散卷积法、z变换法,例2.6 设差分方程 ，其中 ， 。利用迭代法求输出序列。,解 当n0时，y(n)=0 当n = 0时， 当n = 1时， 当n = 2时， 以此类推， 因此得到,离散时间信号与离散时间系统,2,例2.7 系统的差分方程 ，且 ， ，设激励 。求响应序列,方法一：时域经典解法 求齐次解 。由于特征方程为 ，故特征根为 ，则齐次解为 求特解。由题知激励是指数序列形式，可设特解为 将其代入差分方程得,离散时间信号与离散时间系统,2,(3) 求全解。根据齐次解和特解，其全解为 由于给定的条件是激励之前的系统初始状态 和 ，对 以后有影响，由此递推出初值y(0)和y(1)，并求出系数C1和C2。 由原差分方程得，当n = 0时， ； 当n = 1时， 。即初始值 ， 。代入全解有,离散时间信号与离散时间系统,2,解得 所以系统的全解为,离散时间信号与离散时间系统,2,方法二：离散卷积法 求解零输入响应。在零输入情况下，响应满足齐次方程，解的形式为 而齐次方程的特征根和， 则有 解得,离散时间信号与离散时间系统,2,（2）求解零状态响应。零状态响应 是满足非齐次方程，且初始状态全部为零的解，即 解得 所以,离散时间信号与离散时间系统,2,一个离散时间系统的差分方程为 y(n)+0.5y(n-1)-0.3y(n-2)+0.2y(n-3)= 0.75x(n)+x(n-1)-0.6x(n-2)-0.4x(n-3)， (1) 判断该系统是否是线性系统； (2) 判断该系统是否是时不变系统； (3) 求出该系统的单位脉冲响应并判断系统是否是稳定系统。,综合实例,2,解 ： (1) 设对于两个不同的输入信号x1(n)和x2(n)，系统的输出分别为y1(n)和y2(n)。对于x1(n)和x2(n)的线性叠加信号x(n)=4x1 (n)-3x2 (n)，系统的输出为y(n)。用Matlab仿真该系统，并计算输入x1(n)、x2(n)和x(n)的输出y1(n) 、y2(n) 和y(n)，判断y(n)和4y1 (n)-3y2 (n)是否相等。,综合实例,2,n=0:50; a=4; b=-3; x1=cos(2*pi*0.1*n); %设置x1(n) x2=cos(2*pi*0.4*n); %设置x2(n) x=a*x1+b*x2; %x(n) num=0.75 1 -0.6 -0.4; den=1 0.5 -0.3 0.2; y1=filter(num,den,x1); %计算输出y1(n) y2=filter(num,den,x2); %计算输出y2(n) y=filter(num,den,x); %计算输出y(n) yt=a*y1+b*y2;,subplot(2,1,1) stem(n,y); ylabel(振幅); title(y=Tax1(n)+bx2(n); subplot(2,1,2) stem(n,yt); ylabel(振幅) title(y=ay1(n)+by2(n) xlabel(时间序号n);,综合实例,2,由图可以看出Tax1(n) + bx2(n) = ay1(n) + by2(n)，故该系统是线性系统。,综合实例,2,解 ： (2)设对于两个输入信号x1 (n)和x2 (n)=x1 (n-10)，系统的输出分别为y1(n)和y2(n)。用Matlab仿真该系统，并计算输入x1 (n)、x2 (n)的输出y1(n) 和y2(n)，判断y1(n-10)和y2 (n)是否相等。,综合实例,2,n=0:50; D=10; x=4*cos(2*pi*0.1*n)-3*cos(2*pi*0.4*n); %设置x1(n) xd=zeros(1,D) x; %设置x2(n)=x1(n-10) num=0.75 1 -0.6 -0.4; den=1 0.5 -0.3 0.2; y1=filter(num,den,x); %计算输出y1(n) y2=filter(num,den,xd); %计算输出y2(n) d=zeros(1,D) y1-y2; %计算y1(n-10)和y2(n)的差值,综合实例,2,figure subplot(3,1,1) %画出输出 stem(n,y1); ylabel(振幅);