(文理)动力学的基本定理复习和辅导.ppt

动力学的基本定理,江汉大学文理学院,复习和辅导,2,或,质点系或刚体的动量表达的定义式,运动刚体动量的计算,已知杆、圆盘均质, 质量为m.尺寸如图,3,(c),动量的方向与质心速度方向相同,将此T 形杆分成质量相等的两部分, 其中下部分的一半的质心与转轴重合, 速度为零; 上部分的一半质心的速度为a . 方向如图示.,4,动量定理和质心运动定理,在什么情况下用动量定理? (1)求刚体尤其刚体系统或质点系统的约束反力及线加速度问题. (2) 守恒条件下的速度 、位移和运动轨迹问题.,动量守恒和质心守恒问题,如果一质点系统的外力系的主矢等于零, (不可说外力系为零) 则系统的动量保持为一常矢量或为零. 或系统的质心的速度为一常矢或为零.,如果一质点系统的外力系的主矢在某一方向上的投影为零 , 则系统的动量在此方向上的投影保持为一常量或为零. 或系统的质心的速度在此方向上的投影不变或为零.,系统或刚体动量守恒量是否为零, 全在于其初始状态.,5,例1. 均质杆OA = 2l , 重P , 绕过O 端的水平轴在竖直面内转动. 设转动到 与水平成 角时其角速度与角加速度分别为 与 . 求: 此时OA 杆在O 端的约束反力.,解: 取杆分析其运动和受力.,由质心运动定理 法向投影:,由质心运动定理 切向投影:,典型简单例题,将O 点的未知力沿质心运动 的切向和法向分解.,6,解: 取系统分析, 运动与受力如图示.,例2. 质量为m1的平台放在水平面上,平台与水平面间的动摩擦系数为f , 质量为m2 的小车由绞车拖动, 其相对平台上的运动规律为 不计绞车的质量,求平台的加速度.,水平方向有:,垂直方向有:,7,( 2) 一均质的半圆板如图示放置在光滑的水平面上, 由静止释放. 则半圆板的质心C的运动轨迹是: .,a. 抛物线 ; b. 铅垂线 ; c. 椭圆曲线 ; d. 旋轮线 .,例3. ( 1 ) 一均质杆如图示放置在光滑的水平面上, 由静止释放. 则均质杆的质心C的运动轨迹是: .,a. 圆弧线 ; b. 铅垂线 ; c. 椭圆曲线 ; d. 斜直线 .,b,b,8,例4. 图示水平面 放一均匀三棱柱A, 其上放一小三棱柱B, 两个三棱柱质量分别为mA、mB , 且mA = 3mB . 尺寸如图, 设各处摩擦不计, 初始静止. 求当三棱柱B由顶端沿斜面下滑到底端, 三棱柱A移动的距离.,解: 系统在水平方向的质心坐标守恒.,设系统运动前的质心水平坐标为,设系统运动后的质心水平坐标为,建立坐标系如图示,此时三棱柱A向左移动了,9,例5. 均质杆AB = L , 直立于光滑的水平面上. 求它从铅直位置无 初速地倒下时 , 端点A的运动轨迹.,O,C,任意时刻, A点的坐标为:,10,质点系动量矩表达的定义式,凡动量矩, 必须指明对哪一点的动量矩,否则无意义.,定轴转动刚体对转轴( 如z轴)的动量矩,: 平动刚体的动量矩 刚体平动时, 可将全部质量集中于质心, 作为一个质点计算其对 某一点或某一轴的动量矩.,平面运动的刚体(一般应有质量对称面) 对质心C的动量矩,转动惯量的平行轴定理,刚体对于任意轴的转动惯量, 等于刚体对于通过质心且与该轴平行的轴的转动惯量, 加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积.,11,: (1) 笼统地说某刚体的转动惯量是没有意义的; 转动惯量只有对确定的轴才 具有力学意义. (2)所谓 确定的轴 并非仅指真实的转动轴, 只要具有空间的几何意义即可. (3) 同一刚体对于诸多的平行轴来讲, 以过其质心的轴之转动惯量最小. 例一. 均质矩形板质量为m , 尺寸如图. 已知板对z2 轴的转动惯量为J2 . 试求板对z1 轴的转动惯量.,12,定轴转动刚体对转轴动量矩的计算,已知杆、圆盘均质, 质量为m.尺寸如图,13,例9 (书上例11 9 ) 简化的钟摆如图所示. 已知均质细杆和均质圆盘的质量分别为m1 和m2 , 细杆长为l ,圆盘的直径为d . 求此摆对过悬挂点O的水平轴的转动惯量.,解:,对均质细杆,对圆盘,摆对O轴的转动惯量,14,对固定点的动量矩定理,绕固定轴转动刚体对转轴的动量矩定理,(定轴转动动力学方程),对运动的质心的动量矩定理,平面运动刚体对质心的动量矩定理,刚体平面运动动力学方程,15,例6. 高炉运送矿石的卷扬机如图示. 已知鼓轮的半径为R, 质量为m1 , 鼓轮绕O 轴转动. 小车和矿石的总质量为m2 . 作用在鼓轮上的力偶矩为M , 鼓轮对转轴的转动惯量为J0 , 轨道的倾角为 . 不计摩擦及绳子的质量. 求: 小车的加速度.,: 平动物体对任何一点的动量矩都很容易求得. 将若干个平动物体与一个转动物体作为一个系统运用动量矩定理可以避免某一些未知力的出现 , 从而可简化解题的步骤.,解: 取整个系统为研究对象, 受力及运动分析如图,16,例7 . 电动绞车提升一质量为m 的物体 , 在其主动轴上作用有一个力偶其矩为M . 已知主动轴齿轮和从动轴齿轮各自对其转轴的转动惯量分别为 J1 和 J2 . 传动比 z2 : z1 = i ; 从动轮上的鼓轮半径为R . 不计绳索的质量和各处摩擦. 求: 重物的加速度.,取主动轮分析:,取从动轮及物块系统分析:,将上面二式代入前面的(1) 、(2) 式后解得:,由对A点的动量矩定理,由对B点的动量矩定理,17,取圆轮分析其运动和受力如下图:,由质心运动定理:,由对质心的动量矩定理:,即是,由 (1) 、(2) 、(3) 联立求解可得,由纯滚动条件可知:,例11.(书上例11 -11) 均质圆轮半径为r, 质量为m , 沿水平面作纯滚动. 设圆轮对质心的惯性半径为 , 作用于圆轮的力偶为M. 求轮心的加速度. 如果圆轮与地面间的静 摩擦系 数是fs . 问M 应该满足什么条件才不致使圆轮滑动?,18,例11.(书上例11 -11) 均质圆轮半径为r, 质量为m , 沿水平面作纯滚动. 设圆轮对质心的惯性半径为 , 作用于圆轮的力偶为M. 求轮心的加速度. 如果圆轮与地面间的静 摩擦系 数是fs . 问M 应该满足什么条件才不致使圆轮滑动?,由纯滚动的力学条件可知, 对于所受静滑动摩擦力F,于是可得满足纯滚动的力偶M的大小为,由平衡条件可得:,19,例8. 均质圆轮的半径为R , 质量为m ,在粗糙的水平面上作纯滚动. 在轮上作用一水平力 其大小为F. 试求出轮心C的加速度和水平接触面处的摩擦力.,解: 取圆轮分析受力及运动,由对质心的动量矩定理,由纯滚动的运动学关系,联立( 1 )、( 2 )、( 3 )求解:,由质心运动定理,20,例9. 均质圆轮的半径为R , 质量为m ,在粗糙的水平面上作纯滚动. 在轮上作用力 偶其拒大小为M=FR. 试求出轮心C的加速度和水平接触面处的摩擦力.,解: 取圆轮分析受力及运动,由对质心的动量矩定理,由纯滚动的运动学关系,联立( 1 )、( 2 )、( 3 )求解:,由质心运动定理,21,习 11 14,解: 圆柱体平面运动, 与绳子相切的D 点为其 速度瞬心.,三式联立可得:,A 点的运动为匀加速直线运动, 初速度为零.,BD段内各点的速度为零!,22,解:,初瞬时问题, 无速度、角速度和法向加速度,直接是力(力矩)与加速度(角加速度)的关系.,由对O点的动量矩定理,例10. 均质杆长l ,质量为m ,O端铰接,现当杆与水平成300角时静止释放. 求释放瞬时杆的角加速度及O端的约束力.,23,由质心运动定理,24,习11 19 一刚性均质杆重为200N. A处为光滑面约束, B处为光滑铰链支座,如图所示. 当杆位于水平位置时,C处的弹簧拉伸了76mm, 弹簧刚度系数为8750N/m. 求当约束A突然移去时,支座B处的约束力.,解:,初瞬时问题,取AC杆分析受力及运动,由对B点的动量矩定理:,由已知条件可得:,由质心运动定理:,(方向如图示),25,例11. 一质量为m , 长为l的均质杆用细绳吊在水平位置. 若突然剪断 细绳, 则此瞬时, 该杆的角速度和角加速度应是 .,由静止开始转入运动的瞬时,有角加速度;由于没有时间积累,故角速度为零.,由对O点的动量矩定理:,b,26,动能定理这一章 , 是从能量的观点来描述一个力学过程. 与前几章不同的是 , 不再把力分成内力和外力, 而是分成主动力和约束反力 . 在解题的思路上这一章与前几章也有明显的不同. 对于刚体系统和质点系统来讲, 动能定理的运用大都以整个系统为研究对象. 而动量定理和动量矩定理的运用在许多场合下需要将原系统拆成单体或简单系统 . 运用动能定理求运动量特别是对单自由度力学系统下求线速度和角速度是非常方便的. 动能定理不能求未知的约束反力, 所以, 用三个动力学遍定理联合求解动力学问题,总是先用动能定理求速度、加速度, 再用动量定理(质心运动定理)和动量矩定理求力.,动能定理,27,刚体动能的计算,已知杆、圆盘均质, 质量为m.尺寸如图,28,( 1 ) 设物块A 与三角块B, 三角块B与地面之间皆为光滑接触. 物块A质量为mA, 三角块B质量为mB . 初始系统静止. 释放A块后系统开始运动. 若A块沿斜面下滑的相对速度为Vr, 三角块B向左运动 的速度为V0. 则系 统 动量的水平分量为 铅垂方向的分量为 .,( 2 ) 图示行星齿轮机构中, 行星齿轮由均质杆OA带动绕固定齿轮运动. 已 知 OA杆的质量为m长为L, 行星齿轮的质量亦为m,并视为均质圆盘, 半径 为r. 当OA杆角速度为时, 系统的动能是:,系统的动能为 .,0,mAVr sin,29,例11. 在图示系统中, 正方形的质量为 m = 2 kg , 边长 l = 0.25m . 用一不计大小的滑轮支撑在光滑的水平面上. 若从图示的位置静止释放, 受微小的干扰而倒下. 试求该正方块的A 点即将触及地面的时候 ( OA 边水平) , 正方块的角速度.,解: 当OA 边水平时, p 点为正方块的速度瞬心,由动能定理:,30,习题12 10 . 均质连杆AB,质量为m1 = 4kg, 长l = 600mm, 均质圆盘质量为m2 = 6 kg, 半径r = 100mm, 弹簧的刚度系数k = 2N/mm, 不计弹簧和套筒的质量. 如果连杆AB在图示的位置被无初速地释放后,A端沿铅垂滑下, 而圆盘作纯滚动.求: (1) 当AB杆运动到水平位置而刚接触到弹簧时, 圆盘和连杆的角速度; (2) 弹簧最大的压缩量.,解:(1),当AB杆运动到水平位置时,B点的速度为零,由此可知圆盘的质心速度及圆盘的角速度为零,此时,圆盘的动能为零.,由动能定理:,31,(2) 设弹簧最大压缩量为 ,此时,系统的动能为零,由动能定理:,(舍去),32,习12 12 周转齿轮传动机构放在水平面内,如图示. 已知动齿轮半径为r, 质量为m1 , 视为均质圆盘. 曲柄OA, 质量为m2 , 视为均质杆. 定齿轮半径为R.已知在曲柄OA上作用一恒力偶,其矩为M. 系统由静止开始运动, 求曲柄OA转过 角后的角速度和角加速度.,由动能定理:,由运动学关系:,代入上式:,33,将上左式两边对时间t求导:,34,例12 (习 11 25 ) (p286),解: 设 AB 杆由静止向下运动了 s 米.,由动能定理 T2 T1 = WA,两边同时对时间 t 求导,取圆盘, 受力及运动分析如图,由对质心的动量矩定理,由质心运动定理,35,例13 图示圆盘和滑块的质量均为 m , 圆盘的半径为 r , 且为均质. 杆 OA 平行于斜面, 质量不计. 斜面的倾角为 , 圆盘, 滑块与斜面间的摩擦系数均为 f . 圆盘在斜面上只滚不滑. 求: 滑块的加速度和OA 杆的内力.,解: 设 OA 杆沿斜面下行了s 距离.,O , A 点的速度, 加速度相等. 不妨设为 v , a .,由动能定理,取滑块A 分析,沿AO 方向投影:,36,例14 . 均质杆OA = l = 2m, 质量M = 10kg . 在铅垂面内绕O点转动. 已知在图示铅垂 位置0= 10rad/s, = 0 . 求: OA杆由铅垂位置运动到水平位置时杆的角速度、角加速度和O处的约束反力.,解: 由动能定理 T2 T1 = WA .,OA杆运动到水平时受力及运动分析如图,由对O点的动量矩定理,由质心运动定理,37,例15. (综 12 ),解: 设 轮心A 由静止下降了 s 米.,由系统的动能定理 T2 T1 = WA,将上式的两边对时间 t 求导,取B 轮和物块C 为 研究对象,由对O 点的动量矩定理,38,例17. 质量为m 的均质圆盘, 平放在光滑的水平面上, 其受力情况如图. 设开始 时圆盘静止, 图中 r = R/2 . 试说明圆盘将如何运动.,绕质心的转动,平动,平面运动,39,例16. 图示离心浇注装置. 电动机通过传动轴