《直线和圆的方程》教材分析及教学建议.ppt

第七章 直线和圆的方程 教材分析及教学建议 丁 建 伟,如果代数与几何各自分开发展，那么它的进步将十分缓慢，而且应用范围也很有限。但若两者互相结合而共同发展，则就会相互加强，并以快速的步伐向着完美化的方向猛进。 拉格朗日,本章内容总述 本章是在学习了平面向量的基础上，以向量为主要工具之一，利用坐标法来研究直线和圆有关的几何问题。通过坐标系，把点和坐标、曲线和方程等联系起来，达到了形和数的结合，蕴含了对应思想、数形结合思想。本章在一定程度上综合地运用了一些三角知识、平面几何知识、平面向量知识等。直线和圆的方程是最基本的曲线方程，是后继学习圆锥曲线及其它曲线方程的基础，也是学习导数、微分、积分等知识的基础。直线方程的简单运用简单线性规划，通过学习，使学生能了解实际问题中线性规划的应用，能培养学生解决实际问题的能力。,一、地位与作用 1给出了一种崭新的研究几何问题的方法 坐标法. 2体现了一种重要的数学思想 数形结合，以形助数，以数识形. 3培养用联系、发展的观点看待问题的意识,强化“一分为二”看问题的哲学思想.,二、 教学要求与课时分配 本章的教学要求如下： 1理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线方程的点斜式、两点式和直线方程的一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。 2掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线的夹角和点到直线的距离公式；能够根据直线方程判断两条直线的位置关系。,3会用二元一次不等式表示平面区域。 4了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单的应用。 5通过线性规划的研究性课题与实习作业，培养解决实际问题的能力。,6了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题的方法。 7掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数 方程。 8结合教学内容，进行对立统一观点的教育。,本章的最主要内容是直线方程、圆的方程以及线性规划的初步知识。本章共需25课时，课时具体分配如下： 7.1直线的倾斜角和斜率 约2课时 7.2直线的方程 约3课时 7.3两条直线的位置关系 约5课时 7.4简单的线性规划 约3课时 7.5研究性课题和实习作业：线性规划的实际应用 约4课时 7.6曲线和方程 约3课时 7.7圆的方程 约3课时 小结与复习 约2课时,三、 新、旧教材的内容及其处理上的变化 3.1 内容安排的变化 新大纲的第七章将原大纲直线部分的有向线段、两点间距离公式、线段定比分点等内容移至第五章“平面向量”，将原大纲参数方程的部分内容及圆的参数方程由原来的选学内容移到本章改为必学内容，增加了二元一次不等式表示区域，简单线性规划问题及研究性课题、实习作业等新内容。,3.2内容处理的变化 （1） 斜率公式的推导不再采用单纯利用三角知识的推导，而是利用平面向量的坐标知识与三角知识相结合来推导； （2） 两直线平行的充要条件的表述有差别； （3） 两直线垂直的充要条件的导出利用了向量数量积； （4） 点到直线的距离公式采用直角三角形中的等积来推导，不再采用解直角三角形的知识来推导。,四、 内容分析: 7.1直线的倾斜角和斜率 重点：直线倾斜角和斜率概念。 难点：斜率概念的学习和过两点直线的斜率公式的建立。直线方程和方程的直线的概念；,直线斜率的几点说明： a.倾斜角是个几何概念，用它来刻画直线方向不符合解析思想。定义了斜率以后就可以从代数角度刻画直线相对于X轴正向的倾斜程度，斜率的绝对值越大，直线的倾斜程度就越大； b.注意倾斜角范围与斜率范围的关系； c.用斜率解题时要注意斜率不存在的情况。,7.2直线的方程 重点：直线方程的点斜式、两点式和一般式，由已知条件求直线方程。 难点：点斜式方程和一般式方程的推导。,7.3两条直线的位置关系 重点：两条直线相交（斜交和垂直相交）、平行、重合的条件，两直线夹角，点到直线距离。 难点：夹角公式、点到直线距离公式的推导、记忆和含有参数的二元一次方程表示的两条直线的位置关系和讨论都是难点。,a. 直线平行的条件 斜截式方程给出的直线平行的充要条件，可类比平面几何中两直线平行的条件，但不同于平几。这里的已知条件是直线方程，即研究怎样通过直线的方程来判断直线是否平行，运用的是解析的思想方法。 b. 直线垂直的两种情况 两条直线斜率都存在且不等于零； 两直线中，一条斜率不存在，同时另一条斜率等于零； 这样两直线垂直有结论：两条直线斜率都存在且斜率之积为-1 或一条斜率不存在同时另一条斜率为零； c.L1到L2的角，L1 与L2的夹角； d. 两条直线的交点； e. 点到直线的距离。,7.4简单的线性规划 重点：理解二元一次不等式表示平面区域。 难点：如何把实际问题转化到线性规划问题，并给出解答。 线性规划问题就是求目标函数在线性约束条件下的最值。所谓目标函数就是表示所求问题的解析式，满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。解决实际线性规划问题，需从题意中建立起目标函数和相应的约束条件，即建立数学模型。,7.5研究性课题与实习作业：线性规划的实际应用 重点：培养学生解决实际问题的能力。 难点：是实际问题抽象转化成线性规划问题，建立相应的数学模型。 7.6曲线和方程 重点、难点：曲线的方程、方程的曲线和求曲线方程的一般步骤是本小节的重点也是难点，理解概念是关键。 a. 教学中有必要通过一些反面例子让学生体验到某条曲线C与某个二元方程f(x,y)=0之间不一定同时具备纯粹性及完备性，以便于学生真正理解曲线方程的概念； b. 解析几何的实质及其基本问题； c. 两曲线的交点问题。,7.7圆的方程 重点：圆的标准方程和一般方程，圆的参数方程。 难点：圆的一般式方程的理解以及圆的方程知识的应用。 a. 圆的方程的求解常用待定系数法； b. 圆的参数方程及普通方程。,五、 教学建议 （1） 解析几何是用代数方程研究几何性质的数学分支，它以坐标系为工具，坐标法为方法，所以教学中要始终贯彻解析思想，将几何问题代数化。 （2） 解析几何开创了形与数的对应结合的研究方法，要在教学中渗透数形结合思想，要让学生重视数形互助，培养代数结果与几何意义互相转化的能力，让学生体会如何借助于坐标系用代数方法研究几何问题以及如何从几何的角度观察代数问题，体会这种方法所体现的数形结合思想。,（3） 重视分类思想在教学中的渗透。例如：直线倾斜角的定义、直线斜率的定义、如何用直线的点斜式和斜截式设直线方程、过圆外一点求圆的切线方程时要注意什么、设直线的截距式方程时又要注意什么等。 问题四：已知直线过点（2，3）且在两坐标上的截距相等，求直线的方程. 问题五：过圆（x-1）2+y2=1外一点（2，4）作圆的切线，求所作切线的方程.,（4）在进行线性规划内容的教学时，要注意数形结合思想方法的渗透，通过对目标函数的几何意义的提炼，找到合理、简捷的解题方法。,（5）在讲解“曲线和方程”的概念时，要让学生深刻认识和理解定义： 曲线上的点的坐标都是这个方程的解： 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 关系保证了曲线上所有的点的坐标都满足方程而毫无例外（轨迹的纯粹性）；关系则保证了适合方程的所有点都在曲线上而毫无遗留（轨迹的完备性）.,（6）求轨迹方程是解析几何中的基本问题和重要问题，在讲解求轨迹方程问题时，要注意以下几点： 1. 注意建立适当的坐标系； 2. 注意平面几何的结论在建立等量关系中的运用； 3. 注意排除不合条件的点； 4. 注意等式变形的一致性； 5. 注意对参数的分类讨论.,（7）直线与圆这一章是解析几何的基础，在强调代数方法研究时，还要注意与平面几何、平面向量及三角等知识的联系，比如：直线的斜率公式、两直线垂直条件、圆的参数方程的推导，都用到了向量的有关知识。点到直线距离公式在教参上给出一种用直线的法向量（阅读材料）结合数量积来推导的方法。重视这些方面知识的联系有利于学生着眼知识网络的构建，提高综合运用知识的能力。,（8） 直线对称问题是解析几何中的一类重要问题，一般包括点关于点、直线关于点、点关于直线、直线关于直线的对称等.除掌握普通解法外，还要记忆一些常用结论，这对提高解题的正确性和速度是有好处的. （1）点P(x1,y1)关于点M(x0,y0)对称的点的坐标为(2x0-x1,2y0-y1). （2）点P(x1,y1)关于X轴对称的点P1的坐标为(x1,-y1)； 点P(x1,y1)关于Y轴对称的点P2的坐标为(-x1,y1)； 点P(x1,y1)关于直线y=x+b的对称点P3的坐标为(y1-b,x1+b)； 点P(x1,y1)关于直线y=-x+b的对称点P4的坐标为(-y1+b,-x1+b).,(9)根据学生具体情况也可对直线系方程作些介绍，以拓展学生视野，提高解题效率。常见直线系方程有 1.过定点直线系 过定点（x0,y0)的直线系方程为,（10） 历年高考中，本部分内容也是常考的热点问题之一，多以选择题、填空题形式出现，但求轨迹问题或与圆锥曲线或代数有关知识结合在一起命题为解答题时，则往往是试卷中的中等题或难题，故要切实教好、教透、教活！,2005年全国各省、市高考数学试题集粹 1.（北京）从原点向圆 x2y212y27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间