基于B3样条曲线的数控加工刀位轨迹计算的研究

第 2 3卷第 2 期 2 0 o 9 0 6 沈阳化工学院学报 J 0URNAL OF S HENYANG UNI 、 r E RSr r Y OF CHE M I CAL TE CHNOLOGY V0 1 2 3 No 2 J u n 2 o o 9 文章编号： 1 0 0 4 4 6 3 9 ( 2 0 0 9 ) 0 2 0 1 4 7 0 3 基于 B 3样条 曲线的数控 j n - r 刀位轨迹计算 的研究 赵艳春 ， 张金萍 ， 王 ( 1 沈阳化工学院 机械工程学院， 辽宁 沈阳 1 1 0 1 4 2 ； 丹 ， 倪洪启 ， 董林福 2 沈阳工业大学 机械工程学院， 辽宁 沈阳 1 1 0 1 7 8 ) 摘要 ： 为解决 自由曲线( 面) 数控k r - 刀具轨迹规划问题， 采用 B 3样条进行轨迹规划 为了解 决刀尖与刀心的误差补偿问题 ， 采用等距曲线 ， 推导等距 B 3样条插值算法 运用该方法加工出来 的凸轮精度高， 光滑性好 实例说明 B 3样条曲线同样能达到 自由曲线( 面) 数控加工中要求的精度 及光滑性， 且计算量小 关键词： B 3样条曲线； 数控加工； 插值 中图分类号 ： T P 2 0 5 文献标识码 ： A 在机械零件设计制造 中经常遇到由 自由曲 线弧和曲面表示的轮廓 这些轮廓在设计时由参 数明确给出， 在制造时由制造精度保证 这些曲 线曲面多采用 B样条表示 数控加工这些 自由 曲面时通常给定一些离散点( 列表曲线) ， 对其 进行插值处理， 计算一系列刀位点， 然后按圆弧 或直线插补， 生成 G代码或送数据到插补缓冲 区进行直接加工 进行插值处理时 ， 为了保证其 精度及光滑性 ， 通常采用 N UR B S( n o n u n i f o r m r a t io n a l B s p l i n e ) 样条曲线( 面) 1 9 9 1 年国际标 准化组织颁布了 S T E P标准 ， 规定 自由曲线 曲面 的唯一表示方法为 N U R B S j - z 许多商业化 CA D C A M系 统 ，如P R O E、U G、I D E AS 、 C I MA T R O N等具有 N U R B S功能 且 目前对 NU R B S曲线曲面的构造 、 偏移 、 修改及权因子的 调整等问题的研究趋 向成熟 但 N UR BS的数控 加工涉及很复杂 的计算 过程 三次均 匀有理 B 样 条 曲线作 为工 业产 品几何 的定义 国际标 准 N U R B S理论的基础 ， 它具有逼近程度高 、 适应性 强 、 计算简便 、 计算 量小 、 便 于控制等 一系列优 点， 对于数控加工自由曲线曲面轮廓非常实用 而B 3 样条的构造 同B样条同样简单， 其计算 量也与 B样条相差无几 ， 而比 NU B R S样条曲线 却小得多， 它由超越函数构成， 这类函数进行拟 合时具有很好的光滑和保形性 这对于具有精度 要求的凸轮反求， 精密模具的反求尤为重要 本 文主要讨论在给定一系列型值点的条件下构造 B 3 样条曲线， 并给出计算数控加工刀位数据的 方法 1 B 3样条的构造 1 1 样 条 凹线 构 适 及 几 伺 特 性 设 n+1个控制顶点 ( i = 0， 1 ， ， t ) ， 节点 矢量为( t o ， t 一 ， t ) ， 则第 i 段 B 3样条曲线 的定义为 ： P ) ( ) - ( 1 ) 式 中 ， 0 ， 詈 ， ( ， ) 为 调 配 函 数 ， + 为 控 制顶点 ， 其中 ： X o ( f ) = ( 3 4 s in t - c o s 2 f ) ： ( 1 _ s i n 矿 xl ( f )= ( 3+ 4 c o s t +c o s 2 f )= ( I+ c 。 ( f ) = ( 3 + 4 s in t - c o s 2 f ) ： 吉 ( 1 + s in f ) x 3 ( f ) = ( 3 4 c o s t + c o s 2 f ) ： 吉 ( 1 一 c 。 s 收稿日期 ： 2 0 0 8 0 91 2 作者简 介： 赵艳春 ( 1 9 7 2一) ， 女 ， 辽宁沈阳人 ， 副教授 ， 硕士 ， 主要从事机电一 体化的教学 与研究 1 4 8 沈阳化工学院学报 2 0 0 9正 将式( 1 ) 写成矩阵形式为： P l ( f )= 1 S i n t , c o s t , c o s 2 小 3 3 4 0 0 4 一 l 1 3 3 4 O 0 4 一 l 1 一 。 + 。 + ( 2 ) 分别对上式中 t 求 1 次 、 2次 、 3次导数并化 简得 P ( t ) 的 1 、 2 、 3阶导数为 ： 户 f ( f ) = 1 C O S t ,S i n f ， s i n 2 小 厂一 2 0 2 0 - I I I l 0 2 0 2 l l I L 1 1 1 1 J 一 1 v t + 。 +2 ( f ) = 丁 1 s i n t ,c o s t , c o s 2 小 厂 1 0 1 I 1 0 1 0 【- 11 1 ( f )= 1 c 。 s f ， F 1 0 - 1 l l 0 1 0 l L 2 2 2 一 +： 1 2 1 3 3样条曲线插值算法 B 3 样条曲线插值实质上是根据给定的测量 所得的数据采样点 P ( f ： 0， 1 ， 2 ， ， n ) 计算 控制多边形的顶点 ( J= 0 ， 1 ， 2 ， ， m) ， 使其定 义的 B 3样条曲线通过测量点并 以测量点 P 为 曲线段的起始点， 通过求得的控制顶点对原有的 曲线做初步逼近， 而后根据精度要求调整控制顶 点 ， 从而得到所需 的结果 由式( 6 ) 可知第 i 段曲线的首点、 末点为： 嚣 1 7 (3) lP 一t=P 一-(詈 )=吉 ( +4 +-+ +z) ( 4 ) ( 5 ) 将t = 0 、 t = 要分别代入( 2 ) ( 5 ) 式中， 可 得 曲线两端处的 03阶导数为 ： P ( 0 ) 言 ( t + 4 + + - ) 尸 ( 詈 ) = P ( 0 ) = 1 ( + 4 V i+ ， + + z ) 户 f ( 0 ) = 户 ( 等 ) = ( + 。 一 V i一 。 ) ( 6 ) 户 f ( 0 ) = 户 ( 号 ) = 1 ( 一 一 2 v , + + 。 ) 卑 ( 0 ) = 一 - ( 詈 ) = ( + - ) 从上述各式可以看出， 整段 B 3样条是 C 连续的， 故它比 B样条及其它多项式样条有更 好 的平滑 性 更 强 的逼 近能 力 式( 7 ) 中未知的顶点 为 ， z + 2 个， 而方程 数仅为， l ， 需加上 2个边界条件， 方可得出唯一 解 在实际应用 中主要有以下 3种方式给 出边 界条件 J ： ( 1 )给定两端切矢 m 、 m ， m 为第 ， l l 段 曲线的末端切矢 由式( 4 ) 、 ( 6 ) 得 ， 3 一V 。 = 2 m 。 ， + 一 一 ， = 2 m ， 联合式( 7 ) 共有 ， l + 2个方程组、 ， z + 2个 未知控制顶点， 则可唯一解出方程组， 得出控制 顶点 ( 2 )给定两端二 阶导数矢量 m。 、 m ， m 为 第 ， l l 段曲线的末端二阶导数 由式 ( 5 ) 、 ( 6 ) 得出 一2 v ： + ， 3 ： m。 ， 一 2 v + 。 + + = m ， 同理联合式( 7 ) 即反求出控 制顶点 ( 3 )周期边界条件 ( 闭曲线 ) 此时有 V i = + 。 ， = + ， 联合式( 7 ) 可反求控制顶点 2 刀位数据计算 计算三次 均匀 有理 B样 条 曲线 控制 顶点 后 ， 即可在定义域 内各型值点 和 P 之 间插 入任意多个点 目前大多数数控机床都具有刀补 功能， 故可以直接用这些点的数值进行编程 但 有些零件( 如待加工面为 自由曲面的零件) 直接 用刀补功能将产生较大的误差， 此时需计算刀心 轨迹 S ( f ) E 2 , s 刀具加工示意图如图 1 所示 j 1， 1 2 l l + + f 一 + 。 L “ m P 1 J ，1 J 0 l 1 0 1 2 一 一 第 2期 赵艳春， 等 ： 基于 B 3样条曲线的数控加工刀位轨迹计算的研究 1 4 9 图 1 刀位数据计算不 意图 F i g 1 S c h e ma t i c d i a g r a m o f t h e c a l c u l a t i o n o f c u t t e r l o c a t i o n d a t a 图1中P( t ) 为 B 3样条曲线( 被加工轮廓 线) ， 刀心轨迹 S ( t ) 是 P( t ) 的等距线， P 、 S 分 别为P ( t ) 和 ( t ) 上同法线的两个点， P 点坐标 为( ( t ) ， Y ( t ) ) ， T为 P 点切矢 ， r为刀具半径 则 ( t ) 为 ： ( ， )=P ( ， )+， ( f ) ( 8 ) 式( 8 ) 中( f ) 为曲线 P( ， ) 在点 P 处的单位法 矢量， 由微分几何知识 ( ， ) 可用曲线 P ( ， ) 的单 位切向量绕切点逆时针或顺时针旋转得到， 即： v ( f )= ( f ) I P( f ) I ( 9 ) 式( 9 ) 中 为旋转矩阵， 对于平面曲线逆时针旋 转 为： = 一 s i n ( a t 2 ) ) s i n ( c o s ( , t r 2】 【 2 ) ) J 即 ： 一 对于平 面曲线 V ( t ) 为： = ， ) ( 1 0 ) 故 ( f ) 的参数表达式 ( ( t ) ， ( t ) 分别为 S ( t ) 的 x , y向坐标 ) 为 ： I ( 、) = x t 、) 一 r Y I ( 1 x ( t 、) + y n ( | 、) 【 ( t ) = y ( f ) 一 ， ( t ) ( t ) + y ( t ) ( 1 1 ) 若直接利用式 ( 1 ) 、 ( 2 ) 计算 ( ， ) 曲线 ， 则 因其所含三角函数而导致算法生成比较复杂， 若 将其转化为一般函数 则直观易懂， 且生成算 法 同三次均匀 B样条 相似 ， 其转化如下 ： 2t g下 - 1一 t g 因s i n t = ， c o s t = ， 用t 代替 1 + t g 1 + t g t g - 4 - ， 则基函数化为 ： x 0 ( t ) ， X ， ( t ) ， x 2 ( t ) ， ( t ) ： ( 1 一 r ) ， 4 ， ( 1 + f ) ， 4 f 4 这里 t 0 ， 1 ， 即有： P f ( ) ( 1_ t ) 4 , 4 ， ( 1 +f ) ， 4 f 4 一 。 ， ， + ， ， + ： f 0 ， 1 ( 1 2 ) 从式( 1 2 ) 可以看出， 计算曲线 P 上一点的 一 个坐标需进行 1 7次乘除法运算， 而同样对 B 样条进行计算需进行 1 6次乘法运算 将式( 1 2 ) 分别取 x 、 Y向分量， 并代入式 ( 1 1 ) ， 即可得刀具 的轨迹线参数方程 3 实验验证及结论 在某一数控系统采用三次均匀 B样条曲线 对如图2所示凸轮轮廓曲线加工， 加工后进行测 量， 其轮廓精度达到0 0 1 0 m m； 用本文算法对如 图2所示凸轮轮廓曲线加工， 加工后进行测量， 其轮廓精度可达到0 0 0 8 ra in 图 2 待加工 凸轮轮廓图 F i g 2 Ou t l i n e d r a wi n g o f wa i t i n g p r o c e s s c a i n 因 B 3 样条插值严格过所给定的型值点， 故 加工时在型值点是没有误差的， 即 B 3样条曲线 为凸轮的理想轮廓线 另采用 B 3 样条曲线插值 数控加工零件轮廓的方法直观， 算法简单， 重构 精度高， 易于实现 加工结果表明应用 B 3样条 曲线计算刀具的轨迹线方程满足加工要求 参考文献 ： 1 廖效果 数控技术 M 武汉： 湖北科学技术出版 社 ， 2 0 0 0 ： 1 1 71 2 7 ( 下转第 1 6 9页) 第 2期 葛崇员 ， 等： 三维立方晶体声子谱的严格解析解 1 6 9 St r i c t An a ly t i c a l So l u t i o n o f Ph o n o n Sp e c t r u m i n Th r e e - d i me n s i o n a l Cu b i c Cr y s t a l G E C h o n g y u a n ， C H E N X i ， C H E N G T a i - la i n ， F A N G Q i n g h o n g ( S h e n y a n g Un i v e r s i t y o f C h e mi c a l T e c h n o l o g y ， S h e n y a n g 1 1 0 1 4 2， C h i n a ) Ab s t r a c t ： On l y c o n s i d e ri n g t h e s i t u a t i o n o f i n f e ri o r c l o s e n e i g h b o r i n t e r a c t i o n， we h a v e o b t a i n e d t h e s t r i c t a n a l y ti c a l s o l u t i o n o f p h o n o n s p e c t r u m an d i t s c o r r e s p o n d i n g p o l a ri z a t i o n v e c t o r i n t h r e e d i me n s i o n al c ub i c c r y s t a l b y u s i n g l a t t i c e d y na mi c s， a n d d i s c u s s e d t he p h o no n s p e c t r u m c h a r a c t e ris t i c s i n t h e fir s t Br i l l o u i n z o n e I t i s p o i n t e d o ut t ha t t h e p h on o n s pe c t r u m e n e r g y h a s the p h e n ome n o n o f d e ge n e r a tio n o nl y o n the ma i n s ymme t r i c po i nt ， l i n e a n d p l a n e i n the fir s t Br i l l o u i n z o n e Ac c o r d i n g t o i t s p o l a r i z a t i o n v e c t o r， t h e c h ara c t e ri s ti c s o f the l o n g i t u d i n al p h o n o n a n d t r ans v e r s e p h o n o n are j u d g e d T h e s t r i c t a n a l y ti c s o l u t i o n o f p h on o n s pe c t r u m e ne r g y a n d i t s c o r r e s p o n d i n g p ol a riz a t i o n v e c t o r are g i v e n i n t h e s i t ua t i o n o f no n - de - g e n e r a t i on K e y wo r d s： l a t t i c e d y n a mi c s ； fi r s t Br i l l o u i n z o n e； p h o n o n s p e c t r u m e n e r g y；p o l a r i z a t i o n v e c t o r ； s t r i c t a n aly t i c al s o l ut i on ( 上接第 1 4 9页 ) 2 王乾适 ， 林贵生， 刘全坤 三次 NU R B S曲线轮廓 数控加工刀位数据计算 J 组合机床与自动化加 工技术， 2 0 0 3 ( 6 ) ： 1 92 1 3 施法中 计算机辅助几何设计与非均匀有理 B样 条 M 北京 ： 高等教育出版社， 2 0 0 1 ： 2 5 4 0 4 张金萍 ， 罗鹏， 李允公 ， 等 基于 B 3样条曲线的高 精度凸轮反求设计 J 机械与电子 ， 2 0 0 4 ( 1 2 ) ： l 3 5 6 一 l 5 陈蔚芳， 王宏涛 机床数控技术及应用 M 北京： 科学出版社， 2 0 0 5 ： 5 9 6 7 张金萍， 罗鹏， 张利国， 等 基于等距三次均匀有理 B样条曲线反求设计方法的研究 J 沈阳化工学 院学 报 ， 2 0 0 5 ， 1 9 ( 3 ) ： 2 1 6 2 1 9 NC Ma c h i n g To o l Po s i t i o n Tr a c k g e n e r a t i n g Ba s e d o n B 3 一 Sp l i n e Cu r v e ZHAO Ya n c h u n ， ， Z HANG J i n p i n g ， WANG d a n ， NI Ho n g q i ， DONG L i n f u ( 1 S h e n y a n g U n i v e r s i t y o f C h e mi c a l T e c h n o l o g y ，S h e n y a n g 1 1 0 1 4 2 ，C h i n a ； 2 S h e n y a n g Un i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y ， S h e n g y a n g 1 1 0 1 7 8 ， C h i n a ) Ab s t r a c t ： I t i s an i n t e g r a n t p r o b l e m t o s e t t l e wh a t g e n e r a t e s NC ma c h i n g