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第四章线性规划的对偶理论4.1对偶问题4.2对偶问题的基本性质4.3对偶问题的解4.4影子价格4.5对偶单纯形法4.1对偶问题(1)对偶问题的提出例1、生产组织与计划问题A,B各生产多少,可获最大利润?可用资源煤劳动力仓库AB123202单位利润4050306024MaxZ=40x1+50x2x1+2x2303x1+2x2602x224x1，x20s.t目标函数约束条件如果因为某种原因，不愿意自己生产，而希望通过将现有资源承接对外加工（或出售）来获得收益，那么应如何确定各资源的使用价格？MaxZ=40x1+50x2x1+2x2303x1+2x2602x224x1，x20s.t目标函数约束条件两个原则1.所得不得低于生产的获利2.要使对方能够接受设三种资源的使用单价分别为y1,y2,y3y1y2y3生产单位产品A的资源消耗所得不少于单位产品A的获利生产单位产品B的资源消耗所得不少于单位产品B的获利y1+3y2402y1+2y2+2y350通过使用所有资源对外加工所获得的收益W=30y1+60y2+24y3根据原则2，对方能够接受的价格显然是越低越好，因此此问题可归结为以下数学模型：MinW=30y1+60y2+24y3y1+3y2402y1+2y2+2y350y1,y2,y30s.t目标函数约束条件原线性规划问题称为原问题，此问题为对偶问题，y1,y2,y3称为影子价格(2)对偶问题的形式njxbxaxaxabxaxaxabxaxaxatsxcxcxcZMaxjmnmnmmnnnnnn,2,10.221122222121112121112211定义设原线性规划问题为则称下列线性规划问题miycyayayacyayayacyayayatsybybybWMininmmnnnmmmmmm,2,10.221122222112112211112211为其对偶问题，其中yi(i=1,2,m)称为对偶变量。上述对偶问题称为对称型对偶问题。原问题简记为(P)，对偶问题简记为(D)原始问题MaxZ=CXs.t.AXbX0bACMaxnm对偶问题MinW=Ybs.t.YATCY0MinCTATbTnm0,94723.6521212121xxxxxxtsxxZMax例2：求线性规划问题的对偶规划解：由原问题的结构可知为对称型对偶问题0,62543.9721212121yyyyyytsyyWMin0,94723.6521212121xxxxxxtsxxZMax例3：求线性规划问题的对偶规划解：由原问题的结构可知不是对称型对偶问题，可先化为对称型，再求其对偶规划。0,62543
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