课件：本科经济计量学第章自学第版.ppt

第3章 概率分布的特征,3.1 期望值：集中趋势的度量,3.2 方差：离散程度的度量,3.3 协方差,3.4 相关系数,3.5 条件期望值,3.6 偏度和峰度,3.7 从总体到样本,3.8 总结,3.1 期望值：集中趋势的度量,期望值（expected value ）：集中趋势的度量,离散型随机变量的期望值用符号E（X）表示。 定义为：,例3-1 掷一个骰子若干次。随机变量X表示正面朝上的数字，求X的期望值。 （下表）,表3-1 随机变量（正面朝上数字）的期望值,正面朝上的数字 概率 数字*概率 X f(x) xf(x),1 1/6 1/6 2 1/6 2/6 3 1/6 3/6 4 1/6 4/6 5 1/6 5/6 6 1/6 6/6 E(X) = 21/6 =3.5,概率密度,1/6,图3-1 离散型随机变量(例3-1)的期望值,E(X),f(x),X,？ 在上例中，打印机销售量的期望值是多少？ 我们仍可从 表2-4中得到。,例3-2 在例2-17中，电脑销售量的期望值是多少？ 我们可从 中得到。把变量X的各可能值与其相对 应的概率之积累加即得电脑销售量的期望值。 0(0.08)+1(0.12)+2(0.24) +3(0.24)+4(0.32)=2.6 因此，电脑每天的平均销售量为2.6台。,表2-4,0(0.11)+1(0.16)+2(0.23) +3(0.27)+4(0.23)=2.35 即每天打印机的平均销售量为2.35台。,0 0.08 0 0.11 1 0.12 1 0.16 2 0.24 2 0.23 3 0.24 3 0.27 4 0.32 4 0.23 总计 1.00 总计 1.00,X f(X) Y f(Y),表2-4 个人电脑售出数量X和打印机售出数量Y的边缘分布,1.若b为常数，则有： E（b）= b,2.给定随机变量X和Y，有 E（X+Y）=E（X）+E（Y）,3.,4.,5.若a为常数，则有：,6.若a、b为常数，那么：,3.1.1 期望的性质,除非两R.V相互独立。,3.2 方差(variance)：离散程度的度量,方差定义为： 表明了随机变量X的各取值与其期望值的偏离程度。 如图3-2。,若X为离散型随机变量，通常用下列公式计算方差,标准差(standard deviation, s.d)：方差的正的方根。,3-2,例3-4： 接例3-1，求随机变量X（表示正面朝上的数字）的方差。,正面朝上的数字 概率 X f(x) (x-(EX)2*f(x),1 1/6 (1-3.5)2(1/6) 2 1/6 (2-3.5)2(1/6) 3 1/6 (3-3.5)2(1/6) 4 1/6 (4-3.5)2(1/6) 5 1/6 (5-3.5)2(1/6) 6 1/6 (6-3.5)2(1/6) 总计2.9167 VAR(X) = 2.9167,1. 常数的方差为零。 2. 若X与Y 是两个相互独立的随机变量，那么： var(X+Y)=var(X)+var(Y) var(X-Y)=var(X)+var(Y) 3. 若b是常数，则 var(X+b)=var(X),4. 如果a是常数，则,5. 如果a,b是常数，则,6. 如果X与Y相互独立，a,b是常数，则,3.2.1 方差的性质：,3.2.2 切比雪夫不等式,如果随机变量X的均值和方差分别为 ，那么对任意给的正数c，有：,例3-5：一个油炸圈饼店每天上午8点到9点平均卖出油炸圈饼100个，方差为25。那么，某天在8到9点间卖出90110个油炸圈饼的概率至少是多少？,3.2.3 变异系数,变异系数(coefficient of variation,V)度量相对变动，定义为：,例3-6：某讲师讲授两个班的初级经济计量学课程，每班各15名学生。在期中考试中，A班平均83分，标准差为10，B班平均88分，标准差为16。哪个班的成绩更好？,由于A班的相对变动小，所以说A班成绩的总体情况好于B班。,3.3 协方差(covariance) 令随机变量X和Y的期望分别为 其协方差为：,假定X和Y是离散型随机变量，协方差用下式计算,对于连续型随机变量可用积分符号代替求和符号。,2019/8/22,16,可编辑,1.若随机变量X，Y独立，协方差为零。 2. 其中，a,b,c,d为常数。,3. cov(X,X)=var(X),协方差的性质,例3-7：再次回到个人电脑/打印机销售一例，现利用协方差的计算公式计算电脑销售量X和打印机销售量Y的协方差。,已知：,相关系数定义如下,3.4.1 相关系数的性质,3.4 相关系数 (correlation),1. 相关系数与协方差同号 2. 相关系数度量了两变量间的线性关系 3. 相关系数是一个纯数值，且满足：,4. 如果两变量独立，则协方差、相关系数都为0，但如果两变量的相关系数为0，并不意味着这两个变量相互独立。 5. 相关并不一定意味着存在因果关系。,3-3,例3-8 继续个人电脑/打印机一例，现计算两变量的相关系数。 已知两个变量的协方差为0.95，根据表2-4中的数据可以得到,即两变量存在一定的正相关关系，这也是很容易理解的。,3.4.2 相关变量的方差,特别地：,3.5 条件期望值(conditional expectation),例3-9：在个人电脑/打印机一例中，计算E(Y|X=2)，即在每天售出2台个人电脑的条件下销售打印机的条件期望。,3.6 偏度(skewness)与峰度(kurtosis) 偏度与峰度是用于描述概率密度函数形状的数字特征。偏度S是对称性的度量，峰度K是一个概率密度函数高低或胖瘦的度量。,偏度大于0，称其为正偏或右偏，偏度小于0为负偏或左偏。可以计算得到正态分布的S0，K3。,3.7 从总体到样本,如果我们想考察我国20岁女性的身高情况，我们知道，若设其为X，这是一个随机变量。描述该随机变量，可以用概率密度函数或用期望、方差等数字特征。但这些都是未知的。 现在，我们可以把我国所有20岁女性身高值构成的集合看成是一个总体,我们来考察这一总体的情况。 考察方法之一是从总体中抽取一个样本，通过样本的特征来反映总体的情况。 所以我们必须知道样本矩(sample moments)的计算方法。,1. 样本均值,2. 样本方差,3. 样本协方差,4. 样本相关系数,从总体中抽取的样本设为：,5. 样本偏度与样本峰度 对照下公式 总体偏度S 总体峰度K 样本三阶矩与样本四阶矩为：,例3-11： 设有两变量X(股票价格)和Y(消费者价格 CPI )构