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2 平稳过程相关函数的性质,一般用数字特征描述随机过程比用分布函数相对简便. 对于平稳过程,描述其统计特性的数字特征是相关函数.,Schwarz不等式,1.(自)相关函数的性质,定理 设X(t),tT是平稳过程,则其相关函数 有性质:,证明,(1) 若X(t),tT是周期平稳过程,即,则其相关函数也是周期函数,且周期相同也为T0.,特别,实际中，对于无任何周期的实平稳过程，通常认为随着 的增大，随机变量X(t)和X(t+)的相关程度在逐渐减小，可以认为当 时， X(t)与X(t+)趋于独立.,定义：称下式为平稳过程的相关系数,即,实际中通常取已足够大的正数 ，当 时，若,，可以认为随机变量X(t)和X(t+）不相关。,求 的两种方法,例：设实平稳信号 受到加性独立随机分量 的干捞后成为随机信号，其中 为常数， 为 上的均匀分布的随机变量，试分析平稳随机信号 X(t)受到干扰后是非还具有平稳性，并分析信号在干扰前后的相关函数的关系.,例：设平稳过程 和 分别有协方差函数 （1）试计算平稳过程X和Y的相关时间 和 ，并比较X和Y随时间的变化情况 （2）当时间间隔 时，分析平稳过程X和Y各自的相关性. （3）当时间间隔 和 时，比较平稳过程Y的相关程度.,2019/8/23,11,可编辑,定理 设X(t),tT是平稳过程.则X(t),tT均方 连 续的充要条件是 RX()在=0处连续. 此时,RX()是连续函数.,证明,充分性,由均方连续的定义X(t),tT均方连续.,必要性,若X(t),tT均方连续.则有,X(t),tT均方连续,下证RX()是连续函数,2. 联合平稳的平稳过程及其互相关函数 的性质,定义 设X(t),tT, Y(t),tT 是两个平稳 过 程.若对任意的s,tT,有,则称X(t),tT, Y(t),tT 为联合平稳的 平稳过程.,此时若令Z(t)=X(t)+Y(t), 问 Z(t)是否为平稳过程?,联合平稳过程X和Y的互相关系数定义为,定理,设X(t),tT, Y(t),tT 为联合平稳的平稳过程. 则其互相关函数RXY(s,t)具有如下性质,(1) (2) (3),证明 (1),证明 (2),证明 (3),推论,(2) 设X(t),tT, Y(t),tT 为实联合平稳的平稳过程. 则其互相关函数RXY(s,t) 满足,(1) 设X(t),tT, Y(t),
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