（北京卷）十年真题（2010_2019）高考数学真题分类汇编专题09立体几何文（含解析）.docx

专题09立体几何历年考题细目表题型年份考点试题位置单选题2018三视图与直观图2018年北京文科06单选题2017三视图与直观图2017年北京文科06单选题2015三视图与直观图2015年北京文科07单选题2013空间角与空间距离2013年北京文科08单选题2012三视图与直观图2012年北京文科07单选题2011三视图与直观图2011年北京文科05单选题2010三视图与直观图2010年北京文科05单选题2010表面积与体积2010年北京文科08填空题2019三视图与直观图2019年北京文科12填空题2019点线面的位置关系与立体几何基本定理2019年北京文科13填空题2016三视图与直观图2016年北京文科11填空题2014三视图与直观图2014年北京文科11填空题2013三视图与直观图2013年北京文科10解答题2019平行关系的判定与性质2019年北京文科18解答题2018平行关系的判定与性质2018年北京文科18解答题2017空间角与空间距离2017年北京文科18解答题2016空间向量在立体几何中的应用2016年北京文科18解答题2015表面积与体积2015年北京文科18解答题2014垂直关系的判定与性质2014年北京文科17解答题2013垂直关系的判定与性质2013年北京文科17解答题2012垂直关系的判定与性质2012年北京文科16解答题2011空间角与空间距离2011年北京文科17解答题2010垂直关系的判定与性质2010年北京文科17历年高考真题汇编1【2018年北京文科06】某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）A1B2C3D4【解答】解：四棱锥的三视图对应的直观图为：PA底面ABCD，AC，CD，PC3，PD2，可得三角形PCD不是直角三角形所以侧面中有3个直角三角形，分别为：PAB，PBC，PAD故选：C2【2017年北京文科06】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A60B30C20D10【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥，该三棱锥的体积10故选：D3【2015年北京文科07】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A1BCD2【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，底面为正方形如图：其中PB平面ABCD，底面ABCD为正方形PB1，AB1，AD1，BD，PDPC该几何体最长棱的棱长为：故选：C4【2013年北京文科08】如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有（）A3个B4个C5个D6个【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长|AB|3，则A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），D（0，0，0），A1（3，0，3），B1（3，3，3），C1（0，3，3），D1（0，0，3），（3，3，3），设P（x，y，z），（1，1，1），（2，2，1）|PA|PC|PB1|，|PD|PA1|PC1|，|PB|，|PD1|故P到各顶点的距离的不同取值有，3，共4个故选：B5【2012年北京文科07】某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A28+6B30+6C56+12D60+12【解答】解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形，一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，底边长为5，如图，所以S底10，S后，S右10，S左6几何体的表面积为：SS底+S后+S右+S左30+6故选：B6【2011年北京文科05】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）A16B16+16C32D16+32【解答】解：由已知中的三视力可得该几何体是一个四棱锥，棱锥的底面边长为4，故底面面积为16，棱锥的高为2，故侧面的高为：2，则每个侧面的面积为： 4，故棱锥的表面积为：16+16，故选：B7【2010年北京文科05】一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所，则该几何体的俯视图为（）ABCD【解答】解：由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的左侧，由以上各视图的描述可知其俯视图符合C选项故选：C8【2010年北京文科08】如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，动点E、F在棱A1B1上点Q是CD的中点，动点P在棱AD上，若EF1，DPx，A1Ey（x，y大于零），则三棱锥PEFQ的体积（）A与x，y都有关B与x，y都无关C与x有关，与y无关D与y有关，与x无关【解答】解：三棱锥PEFQ的体积与点P到平面EFQ的距离和三角形EFQ的面积有关，由图形可知，平面EFQ与平面CDA1B1是同一平面，故点P到平面EFQ的距离是P到平面CDA1B1的距离，且该距离就是P到线段A1D的距离，此距离只与x有关，因为EF1，点Q到EF 的距离为线段B1C的长度，为定值，综上可知所求三棱锥的体积只与x有关，与y无关故选：C9【2019年北京文科12】某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示如果网格纸上小正方形的边长为l，那么该几何体的体积为【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体是把棱长为4的正方体去掉一个四棱柱，则该几何体的体积V故答案为：4010【2019年北京文科13】已知l，m是平面外的两条不同直线给出下列三个论断：lm；m；l以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：【解答】解：由l，m是平面外的两条不同直线，知：由线面平行的判定定理得：若l，lm，则m故答案为：若l，lm，则m11【2016年北京文科11】某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，棱柱的底面面积S（1+2）1，棱柱的高为1，故棱柱的体积V，故答案为：12【2014年北京文科11】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为【解答】解：由主视图知CD平面ABC，设AC中点为E，则BEAC，且AECE1；由主视图知CD2，由左视图知BE1，在RtBCE中，BC，在RtBCD中，BD，在RtACD中，AD2则三棱锥中最长棱的长为2故答案为：213【2013年北京文科10】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为【解答】解：几何体为底面边长为3的正方形，高为1的四棱锥，所以体积故答案为：314【2019年北京文科18】如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点（）求证：BD平面PAC；（）若ABC60，求证：平面PAB平面PAE；（）棱PB上是否存在点F，使得CF平面PAE？说明理由【解答】证明：（）四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为菱形，BDPA，BDAC，PAACA，BD平面PAC（）在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点，ABC60，ABAE，PAAE，PAABA，AE平面PAB，AE平面PAE，平面PAB平面PAE解：（）棱PB上是存在中点F，使得CF平面PAE理由如下：取AB中点G，连结GF，CG，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点，CGAE，FGPA，CGFGG，AEPAA，平面CFG平面PAE，CF平面CFG，CF平面PAE15【2018年北京文科18】如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，E，F分别为AD，PB的中点（）求证：PEBC；（）求证：平面PAB平面PCD；（）求证：EF平面PCD【解答】证明：（）PAPD，E为AD的中点， 可得PEAD，底面ABCD为矩形，可得BCAD，则PEBC；（）由于平面PAB和平面PCD有一个公共点P，且ABCD，在平面PAB内过P作直线PGAB，可得PGCD，即有平面PAB平面PCDPG，由平面PAD平面ABCD，又ABAD，可得AB平面PAD，即有ABPA，PAPG；同理可得CDPD，即有PDPG，可得APD为平面PAB和平面PCD的平面角，由PAPD，可得平面PAB平面PCD；（）取PC的中点H，连接DH，FH，在三角形PCD中，FH为中位线，可得FHBC，FHBC，由DEBC，DEBC，可得DEFH，DEFH，四边形EFHD为平行四边形，可得EFDH，EF平面PCD，DH平面PCD，即有EF平面PCD16【2017年北京文科18】如图，在三棱锥PABC中，PAAB，PABC，ABBC，PAABBC2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点（1）求证：PABD；（2）求证：平面BDE平面PAC；（3）当PA平面BDE时，求三棱锥EBCD的体积【解答】解：（1）证明：由PAAB，PABC，AB平面ABC，BC平面ABC，且ABBCB，可得PA平面ABC，由BD平面ABC，可得PABD；（2）证明：由ABBC，D为线段AC的中点，可得BDAC，由PA平面ABC，PA平面PAC，可得平面PAC平面ABC，又平面PAC平面ABCAC，BD平面ABC，且BDAC，即有BD平面PAC，BD平面BDE，可得平面BDE平面PAC；（3）PA平面BDE，PA平面PAC，且平面PAC平面BDEDE，可得PADE，又D为AC的中点，可得E为PC的中点，且DEPA1，由PA平面ABC，可得DE平面ABC，可得SBDCSABC221，则三棱锥EBCD的体积为DESBDC1117【2016年北京文科18】如图，在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，ABDC，DCAC（1）求证：DC平面PAC；（2）求证：平面PAB平面PAC；（3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA平面CEF？说明理由【解答】（1）证明：PC平面ABCD，DC平面ABCD，PCDC，DCAC，PCACC，DC平面PAC；（2）证明：ABDC，DCAC，ABAC，PC平面ABCD，AB平面ABCD，PCAB，PCACC，AB平面PAC，AB平面PAB，平面PAB平面PAC；（3）解：在棱PB上存在中点F，使得PA平面CEF点E为AB的中点，EFPA，PA平面CEF，EF平面CEF，PA平面CEF18【2015年北京文科18】如图，在三棱锥VABC中，平面VAB平面ABC，VAB为等边三角形，ACBC且ACBC，O，M分别为AB，VA的中点（1）求证：VB平面MOC；（2）求证：平面MOC平面VAB（3）求三棱锥VABC的体积【解答】（1）证明：O，M分别为AB，VA的中点，OMVB，VB平面MOC，OM平面MOC，VB平面MOC；（2）ACBC，O为AB的中点，OCAB，平面VAB平面ABC，OC平面ABC，OC平面VAB，OC平面MOC，平面MOC平面VAB（3）在等腰直角三角形ACB中，ACBC，AB2，OC1，SVAB，OC平面VAB，VCVABSVAB，VVABCVCVAB19【2014年北京文科17】如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC，AA1AC2，BC1，E、F分别为A1C1、BC的中点（1）求证：平面ABE平面B1BCC1；（2）求证：C1F平面ABE；（3）求三棱锥EABC的体积【解答】解：（1）证明：三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，BB1AB，ABBC，BB1BCB，BB1，BC平面B1BCC1，AB平面B1BCC1，AB平面ABE，平面ABE平面B1BCC1；（）证明：取AB中点G，连接EG，FG，则F是BC的中点，FGAC，FGAC，E是A1C1的中点，FGEC1，FGEC1，四边形FGEC1为平行四边形，C1FEG，C1F平面ABE，EG平面ABE，C1F平面ABE；（3）解：AA1AC2，BC1，ABBC，AB，VEABCSABCAA1（1）220【2013年北京文科17】如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAADE和F分别是CD和PC的中点，求证：（）PA底面ABCD；（）BE平面PAD；（）平面BEF平面PCD【解答】解：（）PAAD，平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，由平面和平面垂直的性质定理可得PA平面ABCD（）ABCD，ABAD，CD2AB，E和F分别是CD和PC的中点，故四边形ABED为平行四边形，故有BEAD又AD平面PAD，BE不在平面PAD内，故有BE平面PAD（）平行四边形ABED中，由ABAD可得，ABED为矩形，故有BECD由PA平面ABCD，可得PAAB，再由ABAD可得AB平面PAD，CD平面PAD，故有CDPD再由E、F分别为CD和PC的中点，可得EFPD，CDEF而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD平面BEF由于CD平面PCD，平面BEF平面PCD21【2012年北京文科16】如图1，在RtABC中，C90，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如图2（1）求证：DE平面A1CB；（2）求证：A1FBE；（3）线段A1B上是否存在点Q，使A1C平面DEQ？说明理由【解答】解：（1）D，E分别为AC，AB的中点，DEBC，又DE平面A1CB，DE平面A1CB（2）由已知得ACBC且DEBC，DEAC，DEA1D，又DECD，DE平面A1DC，而A1F平面A1DC，DEA1F，又A1FCD，A1F平面BCDE，A1FBE（3）线段A1B上存在点Q，使A1C平面DEQ理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQBCDEBC，DEPQ平面DEQ即为平面DEP由（）知DE平面A1DC，DEA1C，又P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，A1CDP，A1C平面DEP，从而A1C平面DEQ，故线段A1B上存在点Q，使A1C平面DEQ22【2011年北京文科17】如图，在四面体PABC中，PCAB，PABC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点（）求证：DE平面BCP；（）求证：四边形DEFG为矩形；（）是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由【解答】证明：（）D，E分别为AP，AC的中点，DEPC，DE平面BCP，DE平面BCP（）D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，DEPCFG，DGABEF四边形DEFG为平行四边形，PCAB，DEDG，四边形DEFG为矩形（）存在点Q满足条件，理由如下：连接DF，EG，设Q为EG的中点，由（）知DFEGQ，且QDQEQFQGEG，分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN，与（）同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG的中点Q，且QMQNEG，Q为满足条件的点23【2010年北京文科17】如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直EFAC，AB，CEEF1（）求证：AF平面BDE；（）求证：CF平面BDE【解答】证明：（）设AC于BD交于点G因为EFAG，且EF1，AGAC1，所以四边形AGEF为平行四边形，所以AFEG，因为EG平面BDE，AF平面BDE，所以AF平面BDE（）连接FG因为EFCG，EFCG1，且CE1，所以平行四边形CEFG为菱形所以CFEG因为四边形ABCD为正方形，所以BDAC又因为平面ACEF平面ABCD，且平面ACEF平面ABCDAC，所以BD平面ACEF所以CFBD又BDEGG，所以CF平面BDE考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：空间几何体的结构、三视图和直观图，空间几何体的表面积与体积，空间点、直线、平面之间的位置关系，直线、平面平行、垂直的判定与性质，空间向量及其运算，立体几何中的向量方法（证明平行与垂直、求空间角和距离）等.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现，重点考查的知识点为：三视图和直观图，空间几何体的表面积与体积，直线、平面平行、垂直的判定与性质，立体几何中的向量方法（证明平行与垂直、求空间角和距离）等.预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点三视图和直观图，空间几何体的表面积与体积，直线、平面平行、垂直的判定与性质，立体几何中的向量方法（证明平行与垂直、求空间角和距离）等为重点较佳.最新高考模拟试题1在正方体中, 与所成的角为（）ABCD【答案】C【解析】如图，连结BC1、BD和DC1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，由AB=D1C1，ABD1C1，可知AD1BC1，所以DBC1就是异面直线AD1与BD所成角，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BC1、BD和DC1是其三个面上的对角线，它们相等所以DBC1是正三角形，DBC1=60故异面直线AD1与BD所成角的大小为60故选：C2在正方体中，用空间中与该正方体所有棱成角都相等的平面去截正方体，在截面边数最多时的所有多边形中，多边形截面的面积为，周长为，则( )A为定值，不为定值B不为定值，为定值C与均为定值D与均不为定值【答案】C【解析】正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，如图：与面平行的面且截面是六边形时满足条件，不失一般性设正方体边长为1，即六边形，其中分别为其所在棱的中点，由正方体的性质可得，六边形的周长为定值六边形的面积为，由正方体的对称性可得其余位置时也为正六边形，周长与面积不变，故与均为定值，故选C.3在四面体中，为等边三角形，边长为，则四面体的体积为（）ABCD【答案】C【解析】如图，延长至，使得，连接，因为，故为等腰三角形，又，故，所以即，故，因为，所以，所以，因，平面，平面，所以平面，所以，因为的中点，所以，因为，故为直角三角形，所以，又，而，故即为直角三角形，所以，所以，故选C.4若是不同的直线，是不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】C【解析】中，若，平面可能垂直也可能平行或斜交，不正确；中，若，平面可能平行也可能相交，不正确；中，若，则分别是平面的法线，必有，正确；中，若，平面可能平行也可能相交，不正确.故选C.5某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积是（ ）ABCD【答案】B【解析】解：根据几何体的三视图，该几何体是由一个正方体切去一个正方体的一角得到的故：该几何体的外接球为正方体的外接球，所以：球的半径，则：.故选：B6如图，正方体中，为棱的中点，用过点、的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视图（也称主视图）是（）ABCD【答案】A【解析】解：正方体中，过点的平面截去该正方体的上半部分后，剩余部分的直观图如图：则该几何体的正视图为图中粗线部分故选：A7下列说法错误的是（ ）A垂直于同一个平面的两条直线平行B若两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直C一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行，则这两个平面平行D一条直线与一个平面内的无数条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直【答案】D【解析】由线面垂直的性质定理知，垂直于同一个平面的两条直线平行,正确；由面面垂直的性质定理知，若两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直,正确；由面面平行的判定定理知，一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行，则这两个平面平行，正确；当一条直线与平面内无数条相互平行的直线垂直时，该直线与平面不一定垂直，错误，故选D.8九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”.在如图所示的四棱锥中，平面，底面是正方形，且，点，分别为，的中点，则图中的鳖臑有（ ）A2个B3个C4个D5个【答案】C【解析】由题意，因为底面，所以，又四边形为正方形，所以，所以平面，所以四面体是一个鳖臑，因为平面，所以，因为，点是的中点，所以，因为，所以平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，即四面体是一个鳖臑，同理可得，四面体和都是鳖臑，故选C.9在三棱锥中，平面平面，是边长为6的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_【答案】【解析】如图，在等边三角形中，取的中点，设其中心为，由，得，是以为斜边的等腰角三角形，,又因为平面平面，平面 ，则为棱锥的外接球球心，外接球半径，该三棱锥外接球的表面积为，故答案为.10若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为_.【答案】【解析】因为展开图是半径为3，圆心角为的扇形，所以圆锥的母线，圆锥的底面的周长为，因此底面的半径，根据勾股定理，可知圆锥的高，所以圆锥的体积为.11设，是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列正确命题序号是_（1）若，则（2）若，则（3）若，且，则；（4）若，则【答案】（3）（4）【解析】若，则与可能平行，相交或异面，故（1）错误；若则或，故（2）错误；若且，则，故（3）正确；若，由面面平行的性质可得，故（4）正确；故答案为：（3）（4）12长方体的底面是边长为1的正方形，若在侧棱上存在点，使得，则侧棱的长的最小值为_【答案】2【解析】设侧棱AA1的长为x，A1Et，则AExt，长方体ABCDA1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，C1EB90，2+t2+1+（xt）21+x2，整理，得：t2xt+10，在侧棱AA1上至少存在一点E，使得C1EB90，（x）240，解得x2侧棱AA1的长的最小值为2故答案为213如图，在中，和分别是边和上一点，将沿折起到点位置，则该四棱锥体积的最大值为_【答案】【解析】在中，由已知，所以设，四边形的面积为,当平面时，四棱锥体积最大,此时，且,故四棱锥体积为， 时， ；时，,所以，当时，.故答案为14三棱锥的个顶点在半径为的球面上，平面，是边长为的正三角形，则点到平面的距离为_【答案】【解析】ABC是边长为的正三角形，可得外接圆的半径2r2，即r1PA平面ABC，PAh，球心到底面的距离d等于三棱锥的高PA的一半即，那么球的半径R,解得h=2,又 由知，得 故点到平面的距离为故答案为15如图，该几何体由底面半径相同的圆柱与圆锥两部分组成，且圆柱的高与底面半径相等若圆柱与圆锥的侧面积相等，则圆锥与圆柱的高之比为_【答案】【解析】设圆柱和圆锥的底面半径为R，则圆柱的高R，圆锥的母线长为L，因为圆柱与圆锥的侧面积相等，所以，解得：L2R，得圆锥的高为R，所以，圆锥与圆柱的高之比为.故答案为：16直三棱柱中，设其外接球的球心为，已知三棱锥的体积为，则球表面积的最小值为_【答案】.【解析】如图，在中，设，则分别取的中点，则分别为和外接圆的圆心，连，取的中点，则为三棱柱外接球的球心连，则为外接球的半径，设半径为三棱锥的体积为，即，在中，可得，当且仅当时等号成立，球表面积的最小值为故答案为：17在三棱锥中，是边长为的等边三角形，.（1）求证