（北京卷）十年真题（2010_2019）高考数学真题分类汇编专题11平面解析几何解答题文（含解析）.docx

专题11平面解析几何解答题历年考题细目表题型年份考点试题位置解答题2019椭圆2019年北京文科19解答题2018椭圆2018年北京文科20解答题2017椭圆2017年北京文科19解答题2016椭圆2016年北京文科19解答题2015椭圆2015年北京文科20解答题2014椭圆2014年北京文科19解答题2013椭圆2013年北京文科19解答题2012椭圆2012年北京文科19解答题2011椭圆2011年北京文科19解答题2010椭圆2010年北京文科19历年高考真题汇编1【2019年北京文科19】已知椭圆C：1的右焦点为（1，0），且经过点A（0，1）（）求椭圆C的方程；（）设O为原点，直线l：ykx+t（t1）与椭圆C交于两个不同点P、Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N若|OM|ON|2，求证：直线l经过定点【解答】解：（）椭圆C：1的右焦点为（1，0），且经过点A（0，1）可得bc1，a，则椭圆方程为y21；（）证明：ykx+t与椭圆方程x2+2y22联立，可得（1+2k2）x2+4ktx+2t220，设P（x1，y1），Q（x2，y2），16k2t24（1+2k2）（2t22）0，x1+x2，x1x2，AP的方程为yx+1，令y0，可得y，即M（，0）；AQ的方程为yx+1，令y0，可得y即N（，0）（1y1）（1y2）1+y1y2（y1+y2）1+（kx1+t）（kx2+t）（kx1+kx2+2t）（1+t22t）+k2（ktk）（），|OM|ON|2，即为|2，即有|t21|（t1）2，由t1，解得t0，满足0，即有直线l方程为ykx，恒过原点（0，0）2【2018年北京文科20】已知椭圆M：1（ab0）的离心率为，焦距为2斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B（）求椭圆M的方程；（）若k1，求|AB|的最大值；（）设P（2，0），直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D若C，D和点Q（，）共线，求k【解答】解：（）由题意可知：2c2，则c，椭圆的离心率e，则a，b2a2c21，椭圆的标准方程：；（）设直线AB的方程为：yx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理得：4x2+6mx+3m230，（6m）2443（m21）0，整理得：m24，x1+x2，x1x2，|AB|，当m0时，|AB|取最大值，最大值为；（）设直线PA的斜率kPA，直线PA的方程为：y（x+2），联立，消去y整理得：（x12+4x1+4+3y12）x2+12y12x+（12y123x1212x112）0，由代入上式得，整理得：（4x1+7）x2+（124x12）x（7x12+12x1）0，x1xC，xC，则yC（2），则C（，），同理可得：D（，），由Q（，），则（，），（，），由与共线，则，整理得：y2x2y1x1，则直线AB的斜率k1，k的值为13【2017年北京文科19】已知椭圆C的两个顶点分别为A（2，0），B（2，0），焦点在x轴上，离心率为（）求椭圆C的方程；（）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E求证：BDE与BDN的面积之比为4：5【解答】解：（）由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程：（ab0），则a2，e，则c，b2a2c21，椭圆C的方程；（）证明：设D（x0，0），（2x02），M（x0，y0），N（x0，y0），y00，则直线AM的斜率kAM，直线DE的斜率kDE，直线DE的方程：y（xx0），直线BN的斜率kBN，直线BN的方程y（x2），解得：，过E做EHx轴，BHEBDN，则|EH|，则，：BDE与BDN的面积之比为4：54【2016年北京文科19】已知椭圆C：1过点A（2，0），B（0，1）两点（1）求椭圆C的方程及离心率；（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值【解答】（1）解：椭圆C：1过点A（2，0），B（0，1）两点，a2，b1，则，椭圆C的方程为，离心率为e；（2）证明：如图，设P（x0，y0），则，PA所在直线方程为y，取x0，得；，PB所在直线方程为，取y0，得|AN|，|BM|1四边形ABNM的面积为定值25【2015年北京文科20】已知椭圆C：x2+3y23，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x3交于点M（1）求椭圆C的离心率；（2）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由【解答】解：（1）椭圆C：x2+3y23，椭圆C的标准方程为：y21，a，b1，c，椭圆C的离心率e；（2）AB过点D（1，0）且垂直于x轴，可设A（1，y1），B（1，y1），E（2，1），直线AE的方程为：y1（1y1）（x2），令x3，得M（3，2y1），直线BM的斜率kBM1；（3）结论：直线BM与直线DE平行证明如下：当直线AB的斜率不存在时，由（2）知kBM1，又直线DE的斜率kDE1，BMDE；当直线AB的斜率存在时，设其方程为yk（x1）（k1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则直线AE的方程为y1（x2），令x3，则点M（3，），直线BM的斜率kBM，联立，得（1+3k2）x26k2x+3k230，由韦达定理，得x1+x2，x1x2，kBM1 0，kBM1kDE，即BMDE；综上所述，直线BM与直线DE平行6【2014年北京文科19】已知椭圆C：x2+2y24（）求椭圆C的离心率；（）设O为原点，若点A在直线y2上，点B在椭圆C上，且OAOB，求线段AB长度的最小值【解答】解：（）椭圆C：x2+2y24化为标准方程为，a2，b，c，椭圆C的离心率e；（）设A（t，2），B（x0，y0），x00，则OAOB，0，tx0+2y00，t，|AB|2（x0t）2+（y02）2（x0）2+（y02）2x02+y024x0244（0x024），因为4（0x024），当且仅当，即x024时等号成立，所以|AB|28线段AB长度的最小值为27【2013年北京文科19】直线ykx+m（m0）与椭圆相交于A，C两点，O是坐标原点（）当点B的坐标为（0，1），且四边形OABC为菱形时，求AC的长；（）当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形【解答】解：（I）点B的坐标为（0，1），当四边形OABC为菱形时，ACOB，而B（0，1），O（0，0），线段OB的垂直平分线为y，将y代入椭圆方程得x，因此A、C的坐标为（，），如图，于是AC2（II）欲证明四边形OABC不可能为菱形，利用反证法，假设四边形OABC为菱形，则有OAOC，设OAOCr，则A、C为圆x2+y2r2与椭圆的交点，故，x2（r21），则A、C两点的横坐标相等或互为相反数从而得到点B是W的顶点这与题设矛盾于是结论得证8【2012年北京文科19】已知椭圆C：1（ab0）的一个长轴顶点为A（2，0），离心率为，直线yk（x1）与椭圆C交于不同的两点M，N，（）求椭圆C的方程；（）当AMN的面积为时，求k的值【解答】解：（）椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为，b椭圆C的方程为；（）直线yk（x1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k2）x24k2x+2k240设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2，|MN|A（2，0）到直线yk（x1）的距离为AMN的面积SAMN的面积为，k19【2011年北京文科19】已知椭圆G：1（ab0）的离心率为，右焦点为（2，0），斜率为1的直线l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（3，2）（）求椭圆G的方程；（）求PAB的面积【解答】解：（）由已知得，c，解得a，又b2a2c24，所以椭圆G的方程为（）设直线l的方程为yx+m，由得4x2+6mx+3m2120设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1x2），AB的中点为E（x0，y0），则x0，y0x0+m，因为AB是等腰PAB的底边，所以PEAB，所以PE的斜率k，解得m2此时方程为4x2+12x0解得x13，x20，所以y11，y22，所以|AB|3，此时，点P（3，2）到直线AB：yx+2距离d，所以PAB的面积s|AB|d10【2010年北京文科19】已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是，离心率是，直线yt椭圆C交与不同的两点M，N，以线段为直径作圆P，圆心为P（）求椭圆C的方程；（）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；（）设Q（x，y）是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值【解答】解：（）因为，且，所以所以椭圆C的方程为（）由题意知p（0，t）（1t1）由得所以圆P的半径为，则有t23（1t2），解得所以点P的坐标是（0，）（）由（）知，圆P的方程x2+（yt）23（1t2）因为点Q（x，y）在圆P上所以设tcos，（0，），则当，即，且x0，y取最大值2考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：直线方程、圆的方程，直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线，曲线与方程等.历年考题主要以解答题题型出现，重点考查的知识点为：直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线等，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线等为重点较佳.最新高考模拟试题1已知椭圆的离心率为，椭圆经过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设点是椭圆上的任意一点，射线与椭圆交于点，过点的直线与椭圆有且只有一个公共点，直线与椭圆交于两个相异点，证明：面积为定值.【答案】（1）； （2）见解析.【解析】（1）解：因为的离心率为，所以，解得.将点代入，整理得.联立，得，故椭圆的标准方程为.（2）证明：当直线的斜率不存在时，点为或，由对称性不妨取，由（1）知椭圆的方程为，所以有.将代入椭圆的方程得，所以 .当直线的斜率存在时，设其方程为，将代入椭圆的方程得，由题意得，整理得.将代入椭圆的方程，得.设，则，所以 .设，则可得，.因为，所以，解得（舍去），所以，从而.又因为点到直线的距离为，所以点到直线的距离为，所以 ，综上，的面积为定值.2如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：(ab0)经过点(0，)，点F是椭圆的右焦点，点F到左顶点的距离和到右准线的距离相等过点F的直线交椭圆于M，N两点（1）求椭圆C的标准方程；（2）当MF2FN时，求直线的方程；（3）若直线上存在点P满足PMPNPF2，且点P在椭圆外，证明：点P在定直线上【答案】（1）；（2）；（3）见解析.【解析】（1）设椭圆的截距为2c，由题意，b，由点F到左顶点的距离和到右准线的距离相等，得a+c，又a2b2+c2，联立解得a2，c1椭圆C的标准方程为；（2）当直线l与x轴重合时，M（2，0），N（2，0），此时MF3NF，不合题意；当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为xmy+1，M（x1，y1），N（x2，y2），联立，得（3m2+4）y2+6my9036m2+36（m2+4）0 ，由MF2FN，得y12y2，联立得，代入得，解得直线方程为；（3）当直线l的斜率为0时，则M（2，0），N（2，0），设P（x0，y0），则PMPN|（x02）（x0+2）|，点P在椭圆外，x02，x0+2同号，又，解得当直线l的斜率不为0时，由（2）知，点P在椭圆外，y1y0，y2y0同号，PMPN（1+m2）（y1y0）（y2y0），整理得，代入直线方程得点P在定直线上3已知抛物线：的焦点为，直线与抛物线交于，两点，是坐标原点（1）若直线过点且，求直线的方程；（2）已知点，若直线不与坐标轴垂直，且，证明：直线过定点【答案】（1）或；（2）.【解析】解：（1）法一：焦点，当直线斜率不存在时，方程为，与抛物线的交点坐标分别为，此时，不符合题意，故直线的斜率存在设直线方程为与联立得，当时，方程只有一根，不符合题意，故.，抛物线的准线方程为，由抛物线的定义得，解得，所以方程为或.法二：焦点，显然直线不垂直于轴，设直线方程为,与联立得，设，.，由，解得，所以方程为或.（2）设，设直线方程为与联立得：，可得，.由得，即.整理得，即，整理得，即，即.故直线方程为过定点.4已知椭圆，是长轴的一个端点，弦过椭圆的中心，点在第一象限，且，（1）求椭圆的标准方程；（2）设、为椭圆上不重合的两点且异于、，若的平分线总是垂直于轴，问是否存在实数，使得？若不存在，请说明理由；若存在，求取得最大值时的的长【答案】(1) (2) 【解析】（1），即，是等腰直角三角形，而点在椭圆上，所求椭圆方程为（2）对于椭圆上两点，的平分线总是垂直于轴，与所在直线关于对称，则，的直线方程为，的直线方程为，将代入，得，在椭圆上，是方程的一个根，以替换，得到，弦过椭圆的中心，存在实数，使得，当时，即时取等号，又， ，取得最大值时的的长为5已知抛物线，过抛物线焦点的直线分别交抛物线与圆于（自上而下顺次）四点.（1）求证：为定值；（2）求的最小值.【答案】(1)见证明；(2)108【解析】（1）有题意可知， 可设直线的方程为，联立直线和抛物线方程，消可得， 所以，由抛物线的定义可知，又， 所以，所以为定值16.（2）由（1）可知，由，可得，所以（其中）， 令， 当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，所以.所以的最小值为.6已知为坐标原点，点，过点作的平行线交于点.设点的轨迹为.（）求曲线的方程；（）已知直线与圆相切于点，且与曲线相交于，两点，的中点为，求三角形面积的最大值.【答案】（）；（）.【解析】（）因为，故，所以，故，由题设得，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：.（）由题意，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，因为直线与圆相切，所以，由消去得.设，由韦达定理知：.所以中点的坐标为，所以弦的垂直平分线方程为，即 .所以.将代入得（当且仅当，即时，取等号）.所以三角形的面积为，综上所述，三角形的面积为.7已知椭圆的离心率为，是椭圆的一个焦点点，直线的斜率为（1）求椭圆的方程；（2）若过点的直线与椭圆交于两点，线段的中点为，且求的方程【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意，可得，解得，则，故椭圆的方程为（2）当的斜率不存在时，不合题意，故的斜率存在设的方程为，联立，得，设，则，即，设，则，则，即整理得故，的方程为8已知椭圆过点，右焦点是抛物线的焦点. （1）求椭圆的方程；（2）已知动直线过右焦点，且与椭圆分别交于，两点.试问轴上是否存在定点，使得恒成立?若存在求出点的坐标:若不存在，说明理由.【答案】(1) (2)见解析【解析】（1）因为椭圆过点，所以，又抛物线的焦点为，所以.所以，解得（舍去）或.所以椭圆的方程为.（2）假设在轴上存在定点，使得.当直线的斜率不存在时，则，由，解得或；当直线的斜率为0时，则，由，解得或.由可得，即点的坐标为.下面证明当时，恒成立.当直线的斜率不存在或斜率为0时，由知结论成立.当直线的斜率存在且不为0时，设其方程为，.直线与椭圆联立得，直线经过椭圆内一点，一定与椭圆有两个交点，且，.，所以恒成立综上所述，在轴上存在点，使得恒成立.9关于椭圆的切线由下列结论：若是椭圆上的一点，则过点的椭圆的切线方程为.已知椭圆.(1)利用上述结论，求过椭圆上的点的切线方程；(2)若是直线上任一点，过点作椭圆的两条切线，（，为切点），设椭圆的右焦点为，求证：.【答案】（1）（2）见证明【解析】(1)由题意，将代入椭圆方程，得，所以，所以过椭圆上的点的切线方程为，即.(2)设，则过，两点的椭圆的切线，的方程分别为，因为在两条切线上，所以，两点均在直线上，即直线的方程为，当时，又，所以，若，点在轴上，两点关于轴对称，显然.10已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，为椭圆上一动点（异于左右顶点），若面积的最大值为（1）求椭圆的方程；（2）若直线过点交椭圆于两点，问在轴上是否存在一点，使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）由题意，当在上或下顶点时，的面积取值最大值，即最大值为，又，且，解得，故椭圆的方程为（2）易知，设直线的方程为，联立方程组，整理得，则，要使为定值，则，解得，所以在轴上存在点，使得为定值11已知点，直线，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且.（1）求动点的轨迹的方程；（2）设直线与轨迹交于两点，、，且 (，且为常数)，过弦的中点作平行于轴的直线交轨迹于点，连接、.试判断的面积是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由【答案】(1) (2)见解析【解析】（1）设，则，即，即，所以动点的轨迹的方程.（2）联立方程组消去，得，依题意，且，由得，即，整理得：，所以，因为的中点，所以点，依题意，由方程中的判别式，得，所以，由知，所以，又为常数，故的面积为定值.12已知点P在抛物线上，且点P的横坐标为2，以P为圆心，为半径的圆（O为原点），与抛物线C的准线交于M，N两点，且（1）求抛物