课件：一元二次方程的应用综合.ppt

一元二次方程的应用,1.3,一元二次方程在数学和实际生活中有许多应用，本节来举一些例子,举 例,例1 当x取什么值时，一元二次多项式x2-x-2与 一元一次多项式2x-1的值相等？,原方程可以写成 x2-3x-1=0.,这里 a=1，b=-3，c=-1， b2-4ac=(-3)2-41(-1)=9+4=13，,因此,从而 当 或 时， x2-x-2与2x-1的值相等,举 例,例2 当y取什么值时，一元二次多项式 (y-5)2+9y2的值等于40？,原方程可以写成 2y2-2y-3=0.,这里 a=2，b=-2，c=-3， b2-4ac=(-2)2-42(-3)=4+24=28，,因此,从而 当 或 时， (y-5)2+9y2的值等于40,举 例,例3 当 t 取什么值时，关于 x 的一元二次方程 x2+(x+t)2= t2+2t-1， （1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？ （3）没有实数根？,这里 a=2，b=2t，c= t2-2t+1， b2-4ac =(2t)2-42( t2-2t+1) = 4t2-8( t2-2t+1) = 4t2-4t2+16t -8 =16t -8.,（1）当b2-4ac=16t -80，即t 时，原方程有两 个不相等的实数根；,（2）当b2-4ac=16t -8=0，即t = 时，原方程有两 个相等的实数根；,（3）当b2-4ac=16t -80，即t 时，原方程没有 实数根.,1. 当x取什么值时，一元二次多项式x2-x-6与一元一次多项式3x-2的值相等？,答：,答：,2. 当t取什么值，关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根？,菱形的面积与它的两条对角线长有什么关系？,菱形的面积等于它的两条对角线长的乘积的一半,举 例,例4 一种铁栅栏护窗的正面是高为120cm、宽 为100cm的矩形，在中间有一个由4根铁条组成 的菱形，如图1-5所示. 菱形的水平方向的对角线 比竖直方向的对角线长20cm，并且菱形的面积 是护窗正面矩形面积的 （1）求菱形的两条对角线的长度； （2）求组成菱形的每一根铁条的长度,图 1-5,分析 本题的等量关系是： 菱形的面积= .,菱形两对角线乘积的一半,原方程可以写成 x2+20x-4800=0，,解:,（1）设菱形的竖直方向的对角线长为x cm，则它的水 平方向的对角线长为(x+20)cm，根据题意，可 以列出方程,这里 a=1，b=20，c=-4800， b2-4ac = 202-41(-4800) =400+44800=400 (1+48)=40049，,从而 x1=60，x2=-80（不合题意，舍去）,因此,即菱形的竖直方向的对角线长为60 cm，于是它的水平方向的对角线长为80 cm,即组成菱形的每一根铁条的长度为50 cm.,举 例,例5 如图1-6，一块长和宽分别为40 cm，28 cm的矩 形铁皮，在它的四角截去四个全等的小正方 形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面 积为364 cm2. 求截去的小正方形的边长.,图 1-6,分析 本题的等量关系是： = .,从而 x1=27，x2=7 ,因此,原方程可以写成 x2-34x+189=0. 这里 a=1，b=-34，c=189， b2-4ac =(-34)2-41189=(217)2-4189 = 4(172-189)=4(289-189)=400，,如果截去的小正方形的边长为27 cm，那么左下角和右下角的两个小正方形的边长之和为54 cm，这超过了矩形铁皮的长40 cm. 因此x1=27不合题意，应当舍去,答：截去的小正方形的边长为7 cm,从例4和例5可以看出，在运用一元二次方程解实际问题时，一定要注意检查求得的方程的解是否符合实际情况,1. 在例5中，如果要使折成的无盖长方体的盒子的底面积为540 cm2，那么截去的小正方体的边长是多少？,答：边长为5 cm.,例5 如图1-6，一块长和宽分别为40 cm，28 cm的矩形铁皮，在它的四角截去四个全等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为364 cm2.求截去的小正方形的边长.,2. 例5和第1题中无盖长方体盒子的体积分别是多少？哪个体积大？,答：设例5中长方体的体积为V1，第1题中长方体 的体积为V2，则有 V1=2548(cm3)，V2=2700(cm3)， V1V2.,2019/9/1,21,可编辑,小亮家想利用房屋侧面的一面墙，再砌三面墙，围成一个矩形花园，如图1-7所示.现在已备足可以砌10 m长的墙的材料. 大家来讨论：不同的砌法，花园的面积发生什么样的变化？,图 1-7,直观地想，为了充分利用已有的一面墙，平行于已有墙面的那面墙应当砌得长一些.这一直观想法是否正确，通过下面的一系列计算，可以进行检验.,由于只需要砌三面墙，因此矩形中三条边的长度之和等于10m，平均每条边的长度为 m，按照这种砌法，花园的面积为,请同学们填写下表（可以用计算器计算）,10.88,（1）当与已有墙面平行的一面墙的长度从 m减小 时，花园的面积是否随着减小？,（2）当与已有墙面平行的一面墙的长度从 m增加 时，花园的面积怎样变化？,答：是.,答：花园的面积也增加，但当这面墙长为5m时，花 园面积达到12.5m2.此后随着这面墙的长度增 加，花园的面积逐步减小.,（3）在上面所列的表中，什么时候花园的面积最大？,当与已有墙面平行的一面墙长度为5m时，花园的面积最大，为12.5m2.,答：当与已有墙面平行的一面墙长度为5m时， 花园的面积最大，为12.5m2.,（4）有没有一种砌墙方法，可以使花园面积大于12.5m2？ 先按照下述办法试一试：,研究有没有一种砌墙方法，使花园面积为12.55m2？设 与已有墙面垂直的每一面墙的长度为x m，则与已有墙面平行的一面墙的长度为(10-2x)m.根据题意， 列出议程 x(10-2x)=12.55. 这个方程可以写成 2x2-10x+12.55=0. 讨论这个方程有没有实数解. 由此可以看出，是否可以使花园面积为12.55m2.,从上面这个具体例子受到启发，你能不能讲出花园面积不可能大于12.5m2的理由？,答：没有一种砌法使花园面积大于12.5m2. 根据条件得方程2x2-10x+12.55=0； 因为b2-4ac=100-100.4=-0.40，此方程无实数 根，故花园面积不能为12.55m2.由此可得出，当 花园面积大于12.5m2时，建立的一元一次方程无 实根.所以没有一种砌法使花园面积大于12.5m2.,举 例,例6 某校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到2万 册，平均每年增长的百分率是多少？,根据题意，得 5(x+1)2 = 7.2.,整理，得 x2+2x -0.44=0.,解得，x1=0.2，x2=-2.2（不合题意，舍去）,答：该校图书馆的藏书平均每年增长的百 分率为20%.,1.经过调查研究，某工厂生产一种产品的总利润L(元)与产量x(件)的关系式为 L= -x2+2000x-1000，0x1900.,（1）产量是多少件时，可以使总利润达到99万元？,答：1000件.,（2）总利润可不可能达到99.1万元？,答：不可能.因为此时方程无解.,2. 某城市现有人口100万，2年后为102.01万，求这 个城市的人口的平均年增长率,答：1%.,建立一元二次方程的模型，求出一元二次方程的解，这是数学的基本功之一.,一元二次方程在数学科学、自然科学、社会科学和生产生活中，都有重要应用,一元二次方程可以写成右端为0，而左端是只含一个未知数的二次多项式，它的一般形式是 ax2+bc+c=0(a，b，c是已知数，a0),解一元二次方程的基本思路是：降低次数，转化为两个一元一次方程.降低次数的基本方法是因式分解法或直接开平方法.,为了能这么做，往往要先配方，即要把含未知数的项放在一个完全平方式里.而这些步骤只需要按一般形式的一元二次方程,ax2+bc+c=0(a0),来做，求出解x的公式，称为一元二次方程的求根公式,运用求根公式就可以解每一个具体的一元二次方程，取得一通百通的效果，于是解一元二次方程的算法如下：,一元二次方程,写成一般形式 ax2+bx+c=0(a0),解两个一元一次方程,无实数解,计算b2-4ac,b2-4ac0,运用一元二次方程解实际问题的关键是：找出问题中的等量关系，以便列出方程.要注意检查求出的方程的解是否符合实际情况,例1,某百货商店服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降