ONTHESTOCHASTICMODELOFRILLDEVELOPMENTINSLOPESYSTEM

地理学評論522 5365 1979斜面発達確率柏谷健二京都大学防災研究所研修員発達過程定量的表現基礎，一対確率微分方程式導入. ，合流確率流路数比例，分流確率流路幅/水深比例仮説導 .実験的検討結果，前記二仮説妥当認.上記方程式定常 解，最出現確率高流路本数導示，実験結果良好一致示.I裸地斜面等発達，一定領域斜面, 斜面系最適流路形成過程考 .主表面流作用 受，合流，分流，蛇行等過程繰返 発達知，筆者観察実 験認特徴 報告(柏谷，1974;柏谷，1976).斜面系網比較自然流域 水系網， Horton(1945)以来，多研究重， 数学精密提案 （研究多，例高山(1974) ）.，裸地斜面流路 、，例芦田田中（1975) ，水理実験通確率提出 .，提出多 主合流過程基礎V、，分流過程 言及多.， 合流過程，分流過程同時考慮， 例網状流路対理論応用 (Howard et al. 1970)，余斗面問題 関少思.，小規模 斜面形成過程，合流，分流繰 返，形成， 筆者観察実験確. 観点，筆者合流過程，分流過程 同時考慮一確率提案 (柏谷奥田，1977)，当否 模型実験対応中心議論.本稿対象，自然斜面 降水等水源点在，上流端 水源集中，一定斜面領域外表流水地. 下水土砂等質量流入考V、場合 ，実際発達説明 拡張際，上記考慮 言.，自 然現象説明基礎実験的検証* 可能性考，現象単純化 必要場合，観点 検討.，設定, 裸地斜面観察予備実験得情報 基礎.II設定1) 基本的考方一般，現象系統的説明，一 仮説系必要.斜面系 発達過程段階分模式化， 興味対象部分対一仮説提案 .今，発達表面流表面侵蝕考，発達過程次段階 区別可能.i) （無数小水流条痕集合）ii) 基本水流条痕形成iii) 初期形成(単位流路形成）iv) 定常形成i)ii)移行過程， 二次流関与，7C底面縦筋模様（水流 条痕）形成.W记）移 際下刻作用等，初期（単位流 路）出現.出）過 程，蛇行等分合流顕著， 形態時間的変化比較的少定常出現 .以上発達過程，i)ii)過 程流関係，流体力学的問題 取扱（例Allen，1969, 1971), ii)邱過程流路発生水理学的 問題対象（例芦田沢井，1976). ，本稿取扱発達 定常状態過程诅）卜）移 行段階考察対象.2) 安定化過程化iii) iv)化， 発達過程抽象化考察 .単純化仮定 設，理想化斜面考(第1図). ，a)単位幅表面流量，勾配，土質条件 一定，一様均質平坦斜面対象.b) 初期数流量規定，流路幅，水深 一定等(単位流路存在). c)単位流路数総和保存，斜面浸透 .以上仮定基本，次述二 仮説中心確率構成1， 一定領域一定区間A)流路数多第1図初期状態理想化，平面図rig. 1 A plane ngure of idealized rills at the initial stage多合流，B) 7jC深浅，流路幅 大分流，水深深，流路幅小 分流.今，iV本単位流路一定領域斜面 存在場合議論（第2図). 時間，経過後斜面区間流路本数 確率)（第3.図) 仮説A)考，短時間土区間如 本二流路合流確率 （1本合流考)，Qk = a(k l)F(x) JxJt(1-1)，Q合流確率，合流係数，) 流路長関係関数.次流路分流仮説B)考流路幅/7JC深 比例（単位流路分流 ），分流確率及Rk = /3S Gx)AxAt (2-1)，卢分流係数，叫流路i流路 幅，A流路/水深，叫)単位流路幅，G第2図初期状態理想化，断面図Pig. 2 A cross section of ideabzea rills at the initial stage流路長関係関数.，A間同時2本多合流， 分流，時刻奸流路本 数本保確率i(/+A)，短時間 一1本流路分流本確率+ 1 本流路合流本確率流路本数 変化V、確率和Pk(t+At) = Rk-iP k-it)+Qk+iP k+it)+Pk(t)(l-QkRk) (3-1).今，第1図示理想化斜面限 定考，上式中F(x Q) 一定可能， aF(x)Ax = a w0Gx)Ax= 切购=购 議論.，式(3-1) PkitrAt)=Pkt) 1(xf(k 1) J S一.左辺移項，両辺割極 限，1，iV-aXk-l)+pkt) (4-1)，k二1=(5-1).举隹令“(6-1).-以上，沿）初期形成iv)定常 形成発達過程表現確率微分方程式 得，一般的解困難 ，最簡単例，水深変化(4-3)(7-1)Piu+r (7-2)(10-1)i+rN+1，流路幅含単位流路数比例 場合考.Z1 = Z)2=DN = Dq (，単位流路深）意味，/Do改， ，式(4-1)，（5-1)(6-1)=E (wZ-DPt)-卜-l)+f SO/-i)增)(4-2)=(5-2)= PN-iW-aXN-l)PN(t)(6-2).方程式先筆者提案 (柏谷奥田，1977)同型，母関数用 一般解，定常状態， ，匕)/=0場合考. ，/3/= W1)! p k (k-DKN-k)1（柏谷奥田，1977参照). Pi+P2+*PnAN-1XN-2)2!.七rN_(8-1)=( dfe) (l+?)，尸二項分布示.次，流路本数最高出現確率場合 考，条件式Pk-i Pk+i(9-1)満場合.式(7-2)代入Nk卜，定常状態 考，式(4-3)kPk+i(k-i)Pk = r(h k)Pk-(蒼紛如).，式(5-3)(6-3)定常状態考 慮，式整理nH 每，-dWK1(13-1).，=(r)卜1 x (W2-W)( w/2-2W2Q-(13_2):得.次式計算容易wv 近似的関係式考-， 流路1本場合W平均的 :値，流路(第4図参照)出現確率等 = 1XW! = (1 + 2+3 +N+1 _ 2.同様流路同形態考 “(，最大値W/），tF2 = 2Xw2 =嘉(1+2+3+ +专)N七2 2W = kxwk =(1+2+3 + + jN+k 2 ，尿/，切本流路存在乎均全流路幅1本乎 均流路幅.，単純1本流路幅一定 考 -Wkfock関係得.流路幅連続的量表 現若干問題含，上述V、場 合，WV一次関係. ，近似式Wk = pk+q(15-1)仮定.，定数.式(15-1)式(13-2)代入Pk = n)、/ (P+q)2-(P + q) (2/+)2-2(2+)卜-(1)!-Lp(k-mg2-(k-i)p(k-i)-qnp(13-3).，条件式(9-1)用Pk-iPkr(是一D+H1)一1)+Nik 1)，式(11-1)（15-1)q = N(X-p)得，用与式変形 2rp(i-py-r(i-p)-i2rP(.i-P),N+1 Pk+1 / 2rp(i-p)-rd-p)i2rPix=T)I、2rPip)-r(X-P)i 2rPixP)JhVrd-P)Jhi24rP(ip) v(17-1)式(16-1)，（17-1)正f(P, )+i k /, r，iv)， (i8-i)2rPi-P)-r(XP)-i2rpi-p)+VTr(i-P)+i2-4rpqpN得.，式(18-1)r，P，N 決定，最出現確率高流路本数求 .in検証1)序，発達過程確率過程考， 仮説導入，表現 方程式導.仮説妥当性検証方程式得計算値検討 行*検証実験，比較的条件変V、 ，現象構造詳細明 踏室内模型実験採用 .模型実験是非筆者報 告（柏谷，1976).2) 実験装置実験概要模型斜面実験使用土槽幅90 cm， 長120 cm上端20 cm給水部 ，深20 cm上流端，勾配変化可能（第5 図).土槽中土試料厚15 cm均 一詰，凹凸少* 平面整形.使用土試料，観察結果予備実験結_ 果參考，1，000以下篩分山砂 適当粘土(）混入 (第6図参照).試料用実験，範: 囲流量表面流出侵蝕認， 地下水流出中間流出全， 無視小. ，試料形成主表面流 前提適当考.予備実験結果等踏，流量一定， 勾配変化実験行.実験条件第1- 表示.実験経過一部写真1示，分-(。/。）第6図 実験斜面使用土試料粒径分布 Pig. Grain size distribution oi soil material composing the model slope第1表 実験条件Table 1 Experimental conditions for the six casesCaseAngleDischargePeriod15 cm3/sec60 min21050 cm3/sec60 min31550 cm”sec60 min42050 cm3/sec60 min52550 cm3/sec60 min63050 cm3/sec60 min合流過程経定常的移行 認.一連実験， 同様経過.，実験初 期水流小条痕考慮，先 模式化発達過程妥当考 .次，形状変化測定主35 mm 行，補助的8 mm併用- ， 実験開始前終了後 斜面形状測定.供給流量三角揠調整 ，表流水流速色素用8 mm 測定.流出土砂量 適当時間間隔採水行測 定.3) 合流確率分流確率関仮説検討測定可能量含式(1-1)写真1実験斜面発達，写真実験開始後対応 Photo.丄Development of rills on the modelslope, appearances at 15 min, 35 min and 60 min respectively after the experiment startedaF(x)Jx = af，式(2-2)対象 検討.式必要流路 数，流路幅上流端1 cm測定， 合流数，分流数1 cm間計測. 測定合流数間隔上端部流路数 比合流比（相対合流確率），分流比（相対分流 59 関係Fig. 8 Relation between branching probability (ratio) in the ordnate and relative width of the rills in the abscissa-0.115確率）同様分流数流路数比. 考方式対応上，時間平均位相空間平 均等，仮説成立 .同様考方，短 時間間隔土表流水10 cm間隔通過 時間，平均流速求.以上操作従，相対合流確率流路数 獨係，例第7図，比較的 明確正相関得.他実験同様結 果得考，式(1-1)妥当 性有考.図中実線示回帰 值線7 *气= 0.142是+0. 539(19-1)，相対合流確率(合流比)示， 平均的値0. 201 sec. 場合相対合流係数(合流確率相 対的以上，合流係数関同様 ）約2.85XKT2.次式(2-2)考.式 後述方法得値用 .第8図相対分流確率比流路幅関係示 ，前記同様正相関示 他実験同様傾向認，式 (2-2)妥当思.図中実線示第7図 合流確率（比）数関係 Fig. 7 Relation between joining probability (ratio) QjAt and the number oi rills k回帰直線h01Kwkwv)(20-1)，及，相対分流確率示，式(19-1) 同様，相対分流係数浐 2.05X10-1.俨/a*二r値 7.19.以上，式(1-1)(2-2)仮定一応 近似的妥当考，出 発(4-5)，（5-4)，（6-4)式(13-2)近似的 成立認.4) 流路数全流路幅関係全流路幅流路数間一次関係存在 可能性論.，関係 実験的検討，例第9図. 他実験同様正相関得 考，一般式(15-1)妥当 考.，述諸式対応考，式(11-1)式Wk(/o)第9図全流路幅（w)数関係Fig. 9 Relation between total width (Wk) and number of rills(15-1)參照，Wi = 値 実験式求，初期単位流路数，無 次元化単位流路幅1掛初期相 対的全流路幅.以上検討式 (13-3)近似的成立認.5) 諸係数特徴前節式(13-3)妥当性触，式 y Jt and lettingwe obtain the system of differential equations ;= kP+1(t)k-l) + Z Pkt)for 1，k_N(4-1)afP2t)forkl(51),Wp-卜供1)+for k=N(6-1)Next, we investigate the width of rills to obtain convenient approximation for the above equations.NLet us assume that total width oi initial rills (2) i. e. WN is equal to w0N. If thei = lnumber oi rills is ，replacing WNjwQ by WNf and DJD0 by Driy the relative total width (Wklw0W/) iswith Nzv/D/, N2=W2/D2/, Nk=WkDjfwhere is tne number of unit streams in z-th rill, and Z)Jthe depth of unit stream.If we assume D/ = T) Pa+i(9_1)Using Eqs. (12-2) and (14-1)，we obtain for this conditionf(r, P，N) k f(j, P,N)+1(19-1)with f(r t at - 2rpi-p) -r(X-P)-i+a/rp(i-p)1-4：rp(i-p)12rpip)From the model experiment where the discharge of water and the soil condition were fixed but the slope angle was varied (cf. Figs. 5 and 6, T