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第五章 数论基础,第五章 数论基础,5.1 整除性 辗转相除 5.2 互质 质因数分解 5.3 合同 一次同余式 5.4 秦九韶定理 Euler函数 5.5 一元高次同余式 二次剩余,5.1.1 整除及其性质,定义5.1.1 设a和b是任意整数，若存在整数c，使得a=bc，则说a是b的倍数，b是a的因数。或者说a被b整除，而b整除a。记为b|a。 显然，任意数整除0，特别0|0；1（-1）整除任意整数。,定理5.1.1,对任意整数a和b，b0，唯一存在一对整数q和r，使得0r|b|， a=qb+r。q称为(不完全)商数，r称为a被b除的余数。 证明：（1）当b0时，存在性成立。 看函数 y=bx, xZ。因为b0，所以y是x的单调递增函数，且当x+时，y+；当x-时，y-,从而存在q，使得x=q时，ya；x=q+1时ya。即 bqa，b(q+1) a。令r=a-bq，则r0且rb。于是 a=qb+r, 0rb。,定理5.1.1,（2）当b=-b 0时，存在性成立。 由(1)知，存在q，r，使得a=qb+r，0rb。取q=-q，r=r，则得a=-qb+r =qb+r，0r-b。 综合(1)，(2)对任意b (b0)，都有q，r，使得 a=qb+r 0r |b| (),定理5.1.1,（3）q和r的唯一性。 设另有一对q和r满足 a=qb+r 0 r |b| () 则() - ()得 r-r=(q-q)b，从而有 |r-r|=|q-q|b|。注意到 |r-r|b| ，而 |q-q|0为整数，所以必有|q-q|=0，从而 |r-r|=0。即 q=q，r=r。 所以，唯一性成立。,由整除
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