第三章半导体中载流子的统计分布

第三章半导体中载流子的统计分布,3.1 状态密度 3.2 费米能级和载流子的统计分布 3.3 本征半导体的载流子浓度 3.4 杂质半导体的载流子浓度,载流子的产生：,电子从价带跃迁到导带 本征激发 导带中 电子从施主能级跃迁到导带 杂质电离 电子 电子从价带跃迁到导带 本征激发 价带中 电子从价带跃迁到受主能级 杂质电离 的空穴,第三章半导体中载流子的统计分布,Ec,Ev,产生,复合,ED,相反过程：载流子的复合 电子从导带跃迁到价带 电子从导带跃迁到施主能级 电子从受主能级跃迁到价带,空穴电子的复合,3.1状态密度,在一定的温度下，产生和复合达到热平衡，半导体就有恒定的电子、空穴浓度n，p 温度改变时，建立新的热平衡，就有新的电子、空穴浓度n，p。,第三章半导体中载流子的统计分布,在一定温度 T 下，载流子的产生过程与复合过程之间处于动态 的平衡，这种状态就叫热平衡状态。,导带和价带是准连续的，定义单位能量间隔内的量子态数为状态密度。设能量E到E+dE内有dZ个量子态，则状态密度： 可以通过以下几个步骤，得到g(E) 先计算出k空间中量子状态密度Z； 然后计算出k空间能量为E的等能面附近dE范围内的k空间的体积，并和k空间量子态密度相乘得到dZ(E)； 再按定义求出g(E)。,3.1状态密度,3.1状态密度,一、k空间中量子态的分布,半导体中电子的允许能量状态（即能级）用波矢K标志。但电子的波矢K不能连续取值(见第一章的推导)，K的取值为,在三维的K空间中，每一个k取值所占有的体积为(2/Lx )* (2/Ly )* (2/Lz )=83/V 其中，V为晶体的体积。 由于每个k值可容纳自旋方向相反的两个电子，每容纳一个电子须要的k空间的体积为 43/V,3.1状态密度,3.1状态密度,二、状态密度的计算,导带底附近E(k)与K的关系,可容纳的电子数为,三维情况下，假设材料为各向同性，则等能面为一球面，k空间中，半径为k的球面能量为E, 半径为k+dk的球面能量为E+dE，即dE对应的状态dZ存在于k空间球壳内，此球壳体积为,3.1状态密度,二、状态密度的计算,导带底附近E(k)与K的关系,代入,求导,状态密度,结论：导带底和价带顶附近，单位能量间隔内的量子态数目，随载流子的能量增加按抛物线关系增大，即能量越大，状态密度越大。,结论,导带底态密度,价带顶态密度,3.1状态密度,例题1,导出能量在Ec和Ec+kT之间时，导带上的有效状态总数（状态数/cm3)的表达式， 是任意常数。(取单位体积内的状态数),3.1状态密度,例题 当T300k时，确定Si中Ec和Ec+KT之间的状态总数 2.当T300k时，确定Si中Ev和Ev-KT之间的状态总数 3. 求出EckT处导带有效密度与Ev-kT处价带有效密 度的比值 Si: mn*=1.08m0 ，mp*=0.56m0 ，状态总数取单位体积 内的状态总数,3.1状态密度,3.2费米能级和载流子的统计分布,一、电子的费米分布函数 f（E） 二、玻尔兹曼分布函数 三、导带中的电子浓度和价带中的空穴浓度 四、载流子浓度的乘积,费米分布函数f(E) 热平衡状态下，电子按能量大小具有一定的统计分布规律性 根据量子力学，电子为费米子，服从费米分布 f(E)表示能量为E的一个量子态被一个电子占据的概率。EF表示平衡状态的参数称为费米能级,3.2 费米能级和载流子的统计分布,3.2 费米能级和载流子的统计分布,（1） 当T= 0 时 E EF ， f（E）= 0 E EF ， f（E）= 1 EF 为电子占据和未占据状态的分界线。 意义：在T=0时，电子首先占据能量低的能级,3.2 费米能级和载流子的统计分布,当 E-EF5 k0T f（E）99.3%,（2） 当T 0 时 E = EF ， f（E）= E EF ， f（E） k0T f（E）= 0 E 若E- EF k0T f（E）= 1,费米能级的意义： （1）它标志在T=0K时电 子占据和未占据的状态的分界线。 即比费米能级高的量子态，都没有被电子占据，比费 米能级低的量子态都被电子完全占据。 （2）处于热平衡状态的系统有统一的费米能级。 （3）费米能级与温度、半导体材料的导电类型、杂质的含 量有关,3.2 费米能级和载流子的统计分布,3.2 费米能级和载流子的统计分布,能量为E的状态被空穴占据的几率为1-f(E),被电子占据的概率f(E)与空状态 （被空穴占据）的概率1-f(E),例题1 导带边缘Ec被填满的状态几率正好等于价带边缘Ev处空态的几率，求此时费米能级的位置 解：由 f(Ec)=1-f(Ev) 可得： EF=(Ec+Ev)/2 位于禁带中间,3.2 费米能级和载流子的统计分布,例题2 （a)在热平衡条件下，温度T大于0K，电子能量位于费 米能级时，电子态的占有几率是多少？ (b)若EF位于EC，试计算状态在EC+kT时发现电子的几率 。,3.2 费米能级和载流子的统计分布,(c)在EC+kT时，若状态被占据的几率等于状态未 被占据的几率。此时费米能级位于何处？,由题意得：,解之得：,3.2 费米能级和载流子的统计分布,二、波尔兹曼分布函数 当E-EFk0T时， 由于 所以,3.2 费米能级和载流子的统计分布,3.2 费米能级和载流子的统计分布,费米分布函数,波尔兹曼函数,当E-EFk0T时,即电子占据能量为 E的量子态的几率由指数因子决定,3.2 费米能级和载流子的统计分布,费米分布函数和玻尔兹曼分布函数的比较,玻尔兹曼分布与费米分布的区别 费米统计受泡利不相容原理限制，即不允许 两个相同的粒子占据同一状态。 玻尔兹曼分布（玻色子）允许相同的两个粒子 占据同一状态。 但当f（E） 1 时费米分布的限制已形同虚设， 其差别可不忽略不计。,3.2 费米能级和载流子的统计分布,3.2 费米能级和载流子的统计分布,空穴分布函数： 价带顶空穴占据几率大 价带底空穴占据几率0 当EF-E K0T 时，上式分母中的1可以略去，则,3.2 费米能级和载流子的统计分布,EC,EV,ED,T=0,浅施主能级,费米能级的位置？,EF,EC,EV,EA,T=0,浅受主能级,费米能级的位置？,EF,3.2 费米能级和载流子的统计分布,EC,EV,ED,T=0,重掺杂（杂质浓度高）,N型材料的费米能级的位置随掺杂浓度增加而提高,EF,3。简并半导体和非简并半导体 简并半导体：掺杂浓度高，对于n型半导体，其费米能级EF接近导带或进入导带中；对于 p型半导体，其费米能级EF接近价带或进入价带中的半导体 非简并半导体：掺杂浓度较低，其费米能级EF在禁带中的半导体,n型半导体,p型半导体,非简并,弱简并,简 并,3.2 费米能级和载流子的统计分布,3.2 费米能级和载流子的统计分布,当E-EFk0T时,非简并 玻耳兹曼分布,三、导带中的电子浓度和价带中的空穴浓度 知道f(E),g(E)之后，就可以计算载流子浓度n和p 先讨论导带的电子浓度，然后用类似的方法可计算价带内空穴的浓度,3.2 费米能级和载流子的统计分布,（1）导带中的电子浓度,在能量E（E+dE）间的电子数dN为,把gc(E)和fB (E)代入上式，得,或改写成在能量E（E+dE）间单位体积中的电子数dn为,3.2 费米能级和载流子的统计分布,对上式积分，可算得热平衡状态下非简并半导体的导带电子浓度n0为,积分上限是导带能量。若引入变量x(E-EC)/(K0T),则上式变为,（1）导带中的电子浓度,（1）导带中的电子浓度,为求解上式，利用如下积分公式,3.2 费米能级和载流子的统计分布,其中,（1）导带中的电子浓度,电子浓度n0,导带的有效状态密度Nc NcT3/2,简化得,3.2 费米能级和载流子的统计分布,（2）价带中的空穴浓度,热平衡状态下，非简并半导体的价带中空穴浓度p0为,与计算导带中电子浓度类似，计算可得,令,则得,结论,电子浓度,空穴浓度,导带中的电子浓度和价带中的空穴浓度随着温度T和费米能级Ef的不同而变化，其中温度的影响来自NC、Nv和指数因子。费米能级也与温度及半导体中的杂质情况密切相关，在一定温度下，半导体中所含杂质的类型和数量不同，n0、p0也将随之变化。,练习,T=300K时，计算硅中的费米能级位于导带能级Ec下方0.22eV处时的热平衡电子和空穴浓度。 Nc和Nv参考表3-2, Eg=1.12eV,3.2 费米能级和载流子的统计分布,作业,T=300K时，计算砷化镓中的费米能级位于价带能级Ev上方0.3eV处时的热平衡电子和空穴浓度。 Nc和Nv参考表3-2,砷化镓的禁带宽度参考附录B,3.2 费米能级和载流子的统计分布,四、载流子浓度的乘积,1. 电子与空穴的浓度的乘积与费米能级无关 2. T和Eg一定，处于热平衡态时， n0p0保持恒定，n0减少， p0增加；反之n0增加， p0 减少 3. 对本征半导体和杂质半导体都成立 4. 在一定温度下，不同半导体材料，禁带宽 度Eg不同，乘积n0p0也不同。,3.2 费米能级和载流子的统计分布,3.3 本征 半导体的载流子浓度,1. 本征半导体的载流子浓度 2. 本征半导体的费米能级,本征激发情况下，电子和空穴是成对产生的 本征载流子浓度： ni = n0=p0 ni2 = n0p0 ni与禁带宽度和温度有关,3.3 本征 半导体的载流子浓度,本征半导体：没有杂质和缺陷的半导体 本征载流子：本征半导体中的载流子,本征电 子 浓 度 n0, 本征空 穴 浓 度 p0,一、本征载流子浓度,3.3 本征 半导体的载流子浓度,硅,3.3 本征 半导体的载流子浓度,练习,T=300K时，计算硅中的费米能级位于导带能级Ec下方0.22eV处时的热平衡电子和空穴浓度。 Nc和Nv参考表3-2, Eg=1.12eV,查图3-7，知ni=7.8109cm-3,方法一,方法二,二、本征半导体的费米能级,取对数后，解得,将NC,NV表达式代入上式得,3.3 本征 半导体的载流子浓度,3.3 本征 半导体的载流子浓度,练习： T=300K和500K时，计算硅的本征费米能级相对于禁带中央的位置。已知硅中载流子有效质量分别为mn*=1.08m0, mp*=0.56m0。,对于Si Ge GaAs本征半导体的费米能级基本上在禁带中线处,3.3 本征 半导体的载流子浓度,在一定温度下，要使载流子主要来源于本征激发， 杂质含量不能超过一定限度。如室温下，Ge低于 1012cm-3，Si低于108cm-3,GaAs低于106cm-3,300K下锗、硅、砷化镓的本征载流子浓度,3.3 本征 半导体的载流子浓度,3.4 杂质半导体的载流子浓度,杂质半导体中，此两式依然成立,3.4 杂质半导体的载流子浓度,实际应用的半导体掺杂的非本征半导体，由于杂质的存在，载流子的来源为本征激发和杂质电离提供。 n0=施主杂质电离提供的电子价带跃迁到导带的电子 p0=受主杂质电离提供的空穴价带跃迁到价带的空穴,3.4 杂质半导体的载流子浓度,n型半导体,p型半导体,3.4 杂质半导体的载流子浓度,掺杂半导体内，多数载流子浓度与温度的关系,电子和空穴在杂质能级上占据的几率 决定电子在某一能级上的占有几率的费米分布是在各能级相互独立的情况下适用，电子某一能级的占据，不影响另一能级的占据，在价带和导带中是如此的 ，每个能级能容纳自旋相反的两个电子，但在施主和受主杂质能级上则不是如此的，相互影响着，一个施主能级要么被自旋向上的电子占据，要么被自旋向下的电子占据，要么空的 ，可以证明：,3.4 杂质半导体的载流子浓度,电子占据施主能级的概率是,3.4 杂质半导体的载流子浓度,空穴占据受主能级的概率是,对于GaAs, Si, Ge等材料,3.4 杂质半导体的载流子浓度,施主能级上的电子浓度nD为,T=0k,没有电离,0T100k,部分电离,T100k,完全电离,3.4 杂质半导体的载流子浓度,受主能级上的空穴浓度pA为,T=0k,没有电离,0T100k,部分电离,T100k,完全电离,电离施主浓度nD为,3.4 杂质半导体的载流子浓度,电离受主浓度pD-为,3.4 杂质半导体的载流子浓度,n型半导体中存在着带负电的导电电子（浓度为n0）,带正电的价带空穴（浓度为p0）和离化的施主杂质（浓度为nD+），电中性条件为,EF与杂质浓度和类型，还有温度T有关，难以求解,（1）低温弱电离区 当温度很低时，大部分施主杂质被电子占据，只有少数杂质电离，使少量电子进入导带，称作低温弱电离。此时本征激发忽略不计，所以 n0=nD+,3.4 杂质半导体的载流子浓度,3.4 杂质半导体的载流子浓度,（1）低温弱电离区,n0=nD+ND,3.4 杂质半导体的载流子浓度,代回,中间电离区,（2） 中间电离区 当温度升高，费米能级下降，对于施主杂质，温度升高到EF=ED时，杂质有1/3电离,3.4 杂质半导体的载流子浓度,对于受主杂质，温度升高到EF=EA时，杂质有1/5电离,电离受主浓度pD-为,（3）强电离区 当温度升高到大部分杂质都电离时称为强电离。,3.4 杂质半导体的载流子浓度,当施主杂质全部电离时，n0=ND. 此时电子浓度与温度无关，载流子浓度保持等于杂质浓度的这一温度范围称为饱和区。,3.4 杂质半导体的载流子浓度,完全电离能带图（a) 施主能态 （b) 受主能态,3.4 杂质半导体的载流子浓度,费米能级,施主半导体载流子浓度,多数载流子浓度与温度无关,温度一定时，ND越大，EF越靠近导带 ND一定时，温度升高， EF向Ei靠近,3.4 杂质半导体的载流子浓度,过渡区能带图（a) 施主能态 （b) 受主能态,（4）过渡区,3.4 杂质半导体的载流子浓度,联立解方程求n0，p0,过渡区判断标准：本征载流子浓度ni和杂质浓度ND相差一个数量级内,（5）高温本征激发区,n0= p0=ni EF=Ei,3.4 杂质半导体的载流子浓度,总结：掺杂半导体的载流子浓度和费米能级 由温度和杂质浓度决定,判断依据：ni 比ND大两个数量级,3.4 杂质半导体的载流子浓度,费米能级随温度的变化,导带电子浓度随温度的变化,3.4 杂质半导体的载流子浓度,T=0k时半导体的能带图,参考n型半导体的情况，请问随着温度的提高p型半导体的费米能级向上还是向下移动？,3.4 杂质半导体的载流子浓度,P型半导体,强电离（饱和区）,低温电离区和中间区,过渡区和本征激发区,3.4 杂质半导体的载流子浓度,对于非简并半导体各种情况下均匀适用的公式,返回,返回,3.4 杂质半导体的载流子浓度,各种掺杂浓度下费米能级 的位置随温度变化的关系,温度300K时，n型和p型半导体的 费米能级位置与掺杂浓度的关系,3.4 杂质半导体的载流子浓度,与浓度相关的问题 (a) 均匀掺杂ND=1015/cm3的n型硅片，在温度 T0K时，平衡状态的空穴和电子浓度是多少？ （b)掺入杂质浓度为N的半导体Nni,且所有的杂质全 部被电离，n=N和p=ni2/N。请判断杂质是施主还是 受主？并说明其理由。,例题,(c)一块硅片在平衡条件下保持300K的温度时，其 电子的浓度是105/cm3,空穴的浓度是多少？,例题,（d)在温度T=300K，样品硅的费米能级位于本征费米能级之上0.259eV 处，空穴和电子的浓度是 多少？,例题,普适公式,（e)非简并锗样品，在平衡条件下温度保持接近室温时，杂质已全部电离，已知：ni=1013/cm3, n=2p和NA=0，求n和ND.,例题,练习,已知锗的掺杂浓度为NA=1015cm-3,ND=0,分别计算在T=200K，400K，600K时的费米能级相对于本征费米能级的位置,作业,已知T=300K时，锗材料的NA=0。分别计算在ND=1014cm-3,1016cm-3和1017cm-3时，空穴和电子的浓度以及费米能级相对于本征费米能级的位置。,3.4 杂质半导体的载流子浓度,杂质的离化率（估算室温下每种杂质电离的上限）,强电离区， EF接近禁带中间,施主杂质能级上的电子数,强电离区,3.4 杂质半导体的载流子浓度,D- 表示未电离的施主占施主杂质总数的百分比,通常定义当D-小于10%时,认为杂质全部电离. 例: 掺P的n型Si，ED=0.044eV,k0T=0.026eV,室温下P杂质全部电离的浓度上限是多少?,3.4 杂质半导体的载流子浓度,室温下Si的本征载流子浓度为1.5 1010cm-3，在室温下，P浓度在（1011- 31017cm-3）范围内，可以认为Si是以杂质电离为主，而且处于杂质全部电离的饱和区。,3.4 杂质半导体的载流子浓度,未电离的施主占施主杂质总数的百分比,未电离的受主占受主杂质总数的百分比,强电离区,练习,习题（61页）第10题 以施主杂质电离90%作为强电离的标准，求掺砷的n型锗在300K时，以杂质电离为主的饱和区掺杂的浓度范围。（附求费米能级的位置）,练习,课本习题18 掺磷的n型硅，已知磷的电离能为0.044eV,求室温下一半电离时费米能级的位置和磷的浓度。,3.5一般情况下的载流子浓度统计分布,Ec,Ev,ED,EA,n0 (-),nD+ (+),pA- (-),p0 (+),nD+ + p0 = pA- + n0,半导体材料呈电中性,ND-nD + p0 = NA-pA + n0,3.5一般情况下的载流子浓度统计分布,ND-nD + p0 = NA-pA + n0,一般情况下的载流子浓度满足以下关系：,EF和温度有关，难以求解表达式,计算机求解！,3.5一般情况下的载流子浓度统计分布,补偿型半导体 强电离饱和区,费米能级,普适公式,3.5一般情况下的载流子浓度统计分布,2. 过渡区,联立解方程求n0，p0,3. 高温本征激发区,n0= p0=ni EF=Ei,求在下列条件下，均匀掺杂硅样品中平衡状态的空穴和电子浓度及EF-Ei,并在硅样品的能带图中仔细标出他们的位置 （a）T=300K, NA ND, ND=1015/cm3 （b）T=300K, ,NA=1016/cm3, NDNA （c）T=300K, NA=91015/cm3, ND=1016/cm3 （d）T=450K,