2018年高考数学二轮复习专题四数列推理与证明第2讲数列的求和问题课件理20171219356.ppt

第2讲 数列的求和问题,专题四 数列、推理与证明,热点分类突破,真题押题精练,热点一 分组转化求和 有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并.,例1 (2017山东省平阴县第一中学模拟)已知数列an是等差数列，其前n项和为Sn，数列bn是公比大于0的等比数列，且b12a12，a3b21，S32b37. (1)求数列an和bn的通项公式；,解答,解 设数列an的公差为d，bn的公比为q，且q0， 由题易知， a11，b12，,an2n1，bn2n.,解答,思维升华,解 由(1)知，an2n1，bn2n，,Tn(c1c3c5cn1)(c2c4cn) n(c2c4cn)， 令Hnc2c4c6cn，,以上两式相减，得,当n(n3)为奇数时，n1为偶数，,经验证，n1也适合上式.,思维升华 在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想.把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解.在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式.,证明,得nan12(n1)ann(n1)， 由a10及递推关系，可知an0，,(2)求数列an的前n项和Sn.,解答,ann2nn， Sn2222323(n1)2n1n2n123(n1)n， 设Tn2222323(n1)2n1n2n， 则2Tn22223324(n1)2nn2n1， 由，得 Tn222232nn2n1,Tn(n1)2n12，,热点二 错位相减法求和 错位相减法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前n项和，其中an，bn分别是等差数列和等比数列.,(1)求数列an和bn的通项公式；,解答,解 因为数列an为等差数列，,又因为a35，所以a11，所以an2n1.,所以bn2bn1， 即数列bn是首项为1，公比为2的等比数列， 所以bn(2)n1.,(2)设cnan|bn|，求数列cn的前n项的和Tn.,解 因为cnan|bn|(2n1)2n1， 所以Tn1132522(2n1)2n1， 2Tn12322523(2n1)2n， 两式相减，得 Tn112222222n1(2n1)2n 12(2222n1)(2n1)2n,12n14(2n1)2n3(32n)2n， 所以Tn3(2n3)2n.,解答,思维升华,思维升华 (1)错位相减法适用于求数列anbn的前n项和，其中an为等差数列，bn为等比数列. (2)所谓“错位”，就是要找“同类项”相减.要注意的是相减后得到部分求等比数列的和，此时一定要查清其项数. (3)为保证结果正确，可对得到的和取n1,2进行验证.,(1)求数列an与bn的通项公式；,解答,解 当n1时，a11， 当n2时，anSnSn12n1(nN*)， 检验a11，满足an2n1(nN*).,且bn0，2bn1bn，,(2)设cnanbn，求数列cn的前n项和Tn.,解答,热点三 裂项相消法求和 裂项相消法是指把数列和式中的各项分别裂开后，某些项可以相互抵消从而求和的方法，主要适用于 (其中an为等差数列)等形式的数列求和.,例3 (2017届山东省青岛市二模)在公差不为0的等差数列an中， a3a6，且a3为a1与a11的等比中项. (1)求数列an的通项公式；,解 设数列an的公差为d，,即(a12d)2a1(a110d)， d0，由解得a12，d3. 数列an的通项公式为an3n1.,(a1d)2a12da15d， ,解答,思维升华,思维升华 裂项相消法的基本思想就是把通项an分拆成anbnkbn(k1，kN*)的形式，从而在求和时达到某些项相消的目的，在解题时要善于根据这个基本思想变换数列an的通项公式，使之符合裂项相消的条件.,解答,思维升华,思维升华 常用的裂项公式,(1)求数列an的通项公式；,解答,解答,真题体验,1.(2017全国)等差数列an的前n项和为Sn，a33，S410，则 _.,答案,解析,1,2,解析 设等差数列an的公差为d，则,1,2,2.(2017天津)已知an为等差数列，前n项和为Sn(nN*)，bn是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2b312，b3a42a1，S1111b4. (1)求an和bn的通项公式；,1,2,解答,解 设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q. 由已知b2b312，得b1(qq2)12，而b12， 所以q2q60. 又因为q0，解得q2，所以bn2n. 由b3a42a1，可得3da18， 由S1111b4，可得a15d16， 联立，解得a11，d3，由此可得an3n2. 所以数列an的通项公式为an3n2，数列bn的通项公式为bn2n.,1,2,(2)求数列a2nb2n1的前n项和(nN*).,1,2,解答,解 设数列a2nb2n1的前n项和为Tn， 由a2n6n2，b2n124n1，得a2nb2n1(3n1)4n，故 Tn24542843(3n1)4n， 4Tn242543844(3n4)4n(3n1)4n1， ，得3Tn2434234334n(3n1)4n1,(3n2)4n18，,1,2,押题预测,答案,解析,押题依据 数列的通项以及求和是高考重点考查的内容，也是考试大纲中明确提出的知识点，年年在考，年年有变，变的是试题的外壳，即在题设的条件上有变革，有创新，但在变中有不变性，即解答问题的常用方法有规律可循.,1,2,1.已知数列an的通项公式为an ，其前n项和为Sn，若存在M Z，满足对任意的nN*，都有SnM恒成立，则M的最小值为_.,1,押题依据,1,2,2.已知数列an的前n项和Sn满足Sna(Snan1) (a为常数，且a0)，且4a3是a1与2a2的等差中项. (1)求an的通项公式；,解答,押题依据 错位相减法求和是高考的重点和热点，本题先利用an，Sn的关系求an，也是高考出题的常见形式.,1,2,押题依据,解 当n1时，S1a(S1a11)，所以a1a， 当n2时，Sna(Snan1)， Sn1a(Sn1an11)， ,1,2,故an是首项a1a，公比为a的等比数列， 所以anaan1an. 故a2a2，a3a3. 由4a3是a1与2a2的等差中项，可得8a3a12a2，,即8a3a2a2， 因为a0，整理得8a22a10， 即(2a1)(