2018年高考数学二轮复习专题四数列推理与证明第4讲推理与证明课件理20171219354.ppt

第4讲 推理与证明,专题四 数列、推理与证明,热点分类突破,真题押题精练,热点一 归纳推理 1.归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理.,n个根号,答案,解析,(2)(2017山西省大同市灵丘豪洋中学模拟)下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第15个图形中小正方形的个数是_.,120,答案,解析,思维升华,解析 a11，a23，a36，a410，,思维升华 归纳递推思想在解决问题时，从特殊情况入手，通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然后予以证明，这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用.其思维模式是“观察归纳猜想证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想.,答案,解析,(2)用黑白两种颜色的正方形地砖依照如图所示的规律拼成若干个图形，则按此规律，第100个图形中有白色地砖_块；现将一粒豆子随机 撒在第100个图中，则豆子落在白色地砖上的概率是_.,答案,503,解析,解析 按拼图的规律，第1个图有白色地砖(331)块，第2个图有白色地砖(352)块，第3个图有白色地砖(373)块， 则第100个图中有白色地砖3201100503(块). 第100个图中黑白地砖共有603块，则将一粒豆子随机撒在第100个图中， 豆子落在白色地砖上的概率是 .,热点二 类比推理 1.类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理. 2.类比推理的思维过程如下：,例2 (1)(2017届江西省鹰潭市模拟)我们知道：“平面中到定点等于定长的点轨迹是圆”拓展至空间：“空间中到定点的距离等于定长的点的轨迹是球”，类似可得：已知A(1,0,0)，B(1,0,0)，则点集P(x，y，z)|PA|PB|1在空间中的轨迹描述正确的是 A.以A，B为焦点的双曲线绕轴旋转而成的旋转曲面 B.以A，B为焦点的椭球体 C.以A，B为焦点的双曲线单支绕轴旋转而成的旋转曲面 D.以上都不对,答案,解析,解析 由特殊到特殊进行类比推理可得：点集P(x，y，z)|PA|PB|1在空间中的轨迹描述正确的是以A，B为焦点的双曲线单支绕轴旋转而成的旋转曲面.故选C.,答案,解析,思维升华,解析 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P0(x0，y0)，,因为P0(x0，y0)在这两条切线上，,思维升华 类比推理是合情推理中的一类重要推理，强调的是两类事物之间的相似性，有共同要素是产生类比迁移的客观因素，类比可以由概念性质上的相似性引起，如等差数列与等比数列的类比，也可以由解题方法上的类似引起.当然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的类比.,答案,解析,ch(xy)ch xch ysh xsh y(答案不唯一),答案,解析,解析 ch xch ysh xsh y,同理可得ch(xy)ch xch ysh xsh y， sh(xy)sh xch ych xsh y， sh(xy)sh xch ych xsh y.,热点三 直接证明和间接证明 直接证明的常用方法有综合法和分析法，综合法由因导果，而分析法则是执果索因，反证法是反设结论导出矛盾的证明方法.,例3 已知an是正数组成的数列，a11，且点( ，an1)(nN*)在函数yx21的图象上. (1)求数列an的通项公式；,解答,解 由已知得an1an1， 则an1an1，又a11， 所以数列an是以1为首项，1为公差的等差数列. 故an1(n1)1n.,(2)若数列bn满足b11，bn1bn2an，求证：bnbn2b .,证明,证明 由(1)知，ann，从而bn1bn2n. bn(bnbn1)(b2b1)b1,又b11211，所以bn2n1 (nN*).,(22n22n22n1)(22n222n11)2n0，,思维升华,思维升华 (1)有关否定性结论的证明常用反证法或举出一个结论不成立的例子即可. (2)综合法和分析法是直接证明常用的两种方法，我们常用分析法寻找解决问题的突破口，然后用综合法写出证明过程，有时候分析法和综合法交替使用.,跟踪演练3 (1)已知ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.,证明,只需证c(bc)a(ab)(ab)(bc)， 需证c2a2acb2， 又ABC三个内角A，B，C成等差数列，故B60， 由余弦定理，得b2c2a22accos 60， 即b2c2a2ac， 故c2a2acb2成立. 于是原等式成立.,证明,证明 假设x0是f(x)0的负根，,热点四 数学归纳法 数学归纳法证明的步骤 (1)证明当n取第一个值n0(n0N*)时结论成立； (2)假设当nk(kN*，且kn0)时结论成立，证明nk1时结论也成立. 由(1)(2)可知，对任意nn0，且nN*，结论都成立.,例4 (2017届江苏徐州等四市模拟)设nN*，f(n)3n7n2. (1)求f(1)，f(2)，f(3)的值；,解答,解 代入求出f(1)8，f(2)56，f(3)368.,(2)证明：对任意正整数n，f(n)是8的倍数.,证明,证明 当n1时，f(1)8是8的倍数，命题成立. 假设当nk时命题成立， 即f(k)3k7k2是8的倍数，那么当nk1时， f(k1)3k17k123(3k7k2)4(7k1)， 因为7k1是偶数，所以4(7k1)是8的倍数， 又由归纳假设知3(3k7k2)是8的倍数， 所以f(k1)是8的倍数， 所以当nk1时，命题也成立. 由知命题对任意nN*成立.,思维升华,思维升华 用数学归纳法证明与正整数有关的等式命题时，关键在于弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，由nk到nk1等式的两边会增加多少项，增加怎样的项.难点在于寻求等式在nk和nk1时的联系.,解答,(1)计算f(1)，f(2)，f(3)的值；,解答,(2)比较f(n)与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论.,解 由(1)知，f(1)1，f(2)1. 下面用数学归纳法证明：当n3时，f(n)1. 由(1)知当n3时， f(n)1. 假设当nk(k3)时，f(n)1，,所以当nk1时，f(n)1； 当n3时，f(n)1.,真题体验,1.(2017全国改编)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则可推断知道自己成绩的是_.,乙、丁,答案,解析,1,2,3,1,2,解析 由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀，1个良好”. 乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”； 丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩. 丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”； 甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩.,3,1,2,答案,解析,3,1,2,3,3.(2016全国)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是_.,1,2,1和3,答案,解析,解析 由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和2”或“1和3”， 又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，所以乙只可能为“2和3”， 所以由甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，所以甲只能为“1和3”.,3,押题预测,1.将正整数作如下分组： (1)， (2,3)， (4,5,6)， (7,8,9,10)， (11,12,13,14,15)， (16,17,18,19,20,21)， (22,23,24,25,26,27,28)， ,1,2,3,分别计算各组包含的正整数的和如下： S11， S2235， S345615， S47891034， S5111213141565， S6161718192021111， S722232425262728175， ， 试猜测S1S3S5S2 015_.,1 0084,答案,解析,押题依据,1,2,3,押题依据 数表(阵)是高考命题的常见类型，本题以三角形数表中对应的各组包含的正整数的和的计算为依托，围绕简单的计算、归纳猜想以及数学归纳法的应用等，考查考生归纳猜想能力以及对数学归纳法逻辑推理证明步骤的掌握程度.,1,2,3,解析 由题意知，当n1时，S1114； 当n2时，S1S31624； 当n3时，S1S3S58134； 当n4时，S1S3S5S725644； ， 猜想：S1S3S5S2n1n4. S1S3S5S2 0151 0084.,1,2,3,押题依据 根据n个等式或不等式归纳猜想一般规律的式子是近几年的高考热点，相对而言，归纳推理在高考中出现的机率较大.,答案,解析,押题依据,1,2,3