数列通项公式求法.ppt

,求数列的通项公式 讷河市拉哈一中 谷洪明,求数列的通项公式,数列的通项公式是数列的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 反映了数列中的每一项与每一项的序号的关系,基本数列的通项公式,(1) 1 ,2 ,3 ,4 , (2) 1 ,3 ,5 ,7 , (3) 3 ,5 ,7 ,9 , (4) 2 ,4 ,6 ,8 , (5) 1 ,4 ,9 ,16 , (6) 2 ,4 ,8 ,16 ,(7) 1 ,1 , 1 ,1 , (8) 1 , 1 ,1 , 1 , an=(1)n1或(1)n1 (9) 等差数列的通项公式 an=a1+(n1)d (10)等比数列的通项公式 an=a1qn1,一、观察法,一、观察法（又叫猜想法，不完全归纳法）：观察数列中各项与其序号间的关系，分解各项中的变化部分与不变部分，再探索各项中变化部分与序号间的关系，从而归纳出构成规律写出通项公式,解：变形为：1011，1021，1031，1041， 通项公式为：,例1：数列9，99，999，9999，,例2，求数列3，5，9，17，33，,解：变形为：21+1，22+1，23+1，24+1，25+1，,可见联想与转化是由已知认识未知的两种有效的思维方法。,注意：用不完全归纳法，只从数列的有限项来归纳数列所有项的通项公式是不一定可靠的，如2，4，8，。可归纳成 或 者 两个不同的数列（ 便不同）,通项公式为：,补充1：写出下列数列的一个通项公式,总结: (1)掌握基本数列的通项公式. (2)分数形式的数列,保持分数线,分子分母分别找通项. (3)当数列中有分数,又有整数时,需要把整数化成分数,即将分母补齐,然后分子分母分别找通项. (4)数列中的项正负交叉出现时,常用 (-1)n+1或(-1)n-1来调解.当数列中的项是负正出现时,常用(-1)n来调解. (5)有的数列虽然有通项公式,但通项公式不唯一. (6)并不是所有的数列都有通项公式,数列通项公式的常见求法,类型1.已知数列的前几项,求数列的通项公式 (1) 3 , 5 , 9 ,17 , (2) (3) (4),(5) _1 ,7 ,_13 ,19 , (6) 9 , 99 ,999 ,9999 ,二、前n项和法,类型二、前n项和法 已知前n项和，求通项公式,等差数列前n项和公式的应用,例2：已知数列an的前n项和公式为sn=2n2-30n: 这个数列是等差数列吗？求出它的通项公式；,解：将n-1带入数列的前n项和公式，得 Sn-1=2(n-1)2-30(n-1). 因此 an=sn-sn-1=4n-32(n2) 当n=1时，a1=s1=2-30=-28,也适合上式，所以这个数列的通项公式为 an=4n-32. 又因为 an-an-1=(4n-32)-4(n-1)-32=4(n2), 所以an是等差数列。,等差数列前n项和公式的应用,变式：已知数列an的前n项和公式为sn=2n2-30n+1 这个数列还是等差数列吗？求出它的通项公式；,思考？,如果一个数列的前n项和的公式是sn=an2+bn+c(a,b,c为常数），那么这个数列一定是等差数列吗？,结论：当c=0时这个数列是等差数列,类型2 .已知数列的前n项和,即sn与n的关系,求数列的通项公式. 例1.已知数列的前n项和sn=3n2 , 求它的通项公式? 分析:大家首先需要理解数列的前n项的和与前 n1项的和. sn=a1+a2+a3+an-1+an 当 n2 时 sn-1=a1+a2+a3+an-1 an=snsn-1,解:当n=1时, a1=s1=31_2=1 当n 2时, an=sn_sn-1=3n_2_(3n-1_2)=3n_3n-1=33n-1_3n-1 =23n-1 由于a1=1不适合上式. an= 练习：已知数列的前n项和sn=2n_1 求数列的通项公式,例7已知下列两数列 的前n项和sn的公式，求 的通项公式。 （1） （2）,解： （1） ，当 时 由于 也适合于此等式 ,（2） ，当 时 由于 不适合于此等式 ,【变式训练】已知数列an的前n项和Sn,分别求它们的通项公式an. (1)Sn=2n2+3n.(2)Sn=3n+1.,【解析】(1)由题可知,当n=1时,a1=S1=212+31=5, 当n2时,an=Sn-Sn-1=(2n2+3n)-2(n-1)2+3(n-1)=4n+1. 当n=1时,41+1=5=a1, 所以an=4n+1. (2)当n=1时,a1=S1=3+1=4, 当n2时, an=Sn-Sn-1=(3n+1)-(3n-1+1)=23n-1. 当n=1时,231-1=2a1, 所以an=,考点2 an与Sn关系式的应用 【典例2】(1)设数列an的前n项和Sn=n2,则a8的值为( ) A.15 B.16 C.49 D.64 (2)已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn=( ),【规范解答】(1)选A.a8=S8-S7=64-49=15. (2)选B方法一：因为an+1=Sn+1-Sn,所以由Sn=2an+1得，Sn=2(Sn+1- Sn)，整理得3Sn=2Sn+1，所以 所以数列Sn是以S1=a1=1为首 项， 为公比的等比数列，所以 故选B 方法二:因为Sn=2an+1, 所以Sn-1=2an(n2), 两式相减得:an=2an+1-2an, 所以,已知数列an,anN*,Sn=,(an+2)2. (1)求证:an是等差数列. (2)设bn=,an-30,求数列bn的前n项和Tn的最小值.,所以an-an-1=4.,所以Tn=(n-15)2-225. 当n=15时,数列bn的前n项和有最小值为-225.,所以an是首项为2,公差为4的等差数列. (,bn=,an-30=,(4n-2)-30=2n-31.,三、累加法,例2：,在an中，已知a1=1,an=an-1+n (n2),求通项an.,练：,类型三、累加法 形如 的递推式,二、迭加法（又叫累加法，逐加法）,例3，求数列：1，3，6，10，15，21，的通项公式,解： 两边相加得： ,【典例3】(1)在数列an中,a1=2,an+1=an+ 则an等于( ) A.2+lnn B.2+(n-1)lnn C.2+nlnn D.1+n+lnn,【规范解答】(1)选A.由已知,an+1-an=ln ,a1=2, 所以an-an-1=ln (n2), an-1-an-2=ln , a2-a1=ln ,将以上n-1个式子叠加，得 =ln n. 所以an=2+ln n(n2), 经检验n=1时也适合.故选A.,已知a1=1,an+1=an+2n，求其通项公式,四、累乘法,例4：,练：,类型四、累乘法形如 的递推式,若数列 是等比数，公比为 ，则,若数列 满足 ，其中数列 前 项积可求，则通项 可用逐项作商后求积得到。,若数列an满足a1=1,an+1=2nan,则数列an的通项公式，an= .,(2)由于 将这n-1个等式叠乘得 =21+2+(n-1)= 故an= 答案：,【变式训练】根据下列条件,确定数列an的通项公式: (1)a1=1,an+1=3an+2. (2)a1=1,an= an-1(n2). (3)a1=2,an+1=an+3n+2.,五、构造法,构造数列an+ 为等比数列,题型：已知数列an中a1=1，an+1=pan+q,求an,如何确定 ？,待定系数法：,即,根据已知 =,所以数列 是等比数列.,例5：,分析：配凑法构造辅助数列,例9，已知数列 的递推关系 为 ，且 ， ，求通项公式 。,解： ,令 则数列 是以4为公差的等差数列 ,两边分别相加得： ,研究an+1=Aan+B的数列通项,例2：在an中a1=2,an+1=3an+2,求数列的通项公式.,例3:已知数列an,首项为2,且an+1=2an+2 求数列an的通项公式 解:an+1=2an+2 an+1+2=2an+4 an+1+2=2(an+2) 数列an+2是以a1+2=4为首项,以2为 公比的等比数列,an+2=42n-1 an=2n+1_2 例4.已知数列 an,an+1=3an+4,且a1=1 求数列 an的通项公式? 解:设an+1+r=3(an+r) 则 an+1+r=3an+3r an+1=3an+2r 由已知 an+1=3an+4 2r=4, r=2 an+1+2=3(an+2), 数列an+2是a1+2=3为首项,以3为公比的等比数列 an+2=33n-1 an=3n+1_2 形如an+1=can+d 当c=0时,an+1=d an=d 此数列为常数数列 当c=1时,an+1=an+d an+1_an=d,【加固训练】1.设数列an的前n项和为Sn,已知2an-2n=Sn,则数列an 的通项公式an= . 【解析】令n=1得a1=2.由2an-2n=Sn得2an+1-2n+1=Sn+1,-整理得 an+1=2an+2n,即 即数列 是首项为1，公差为 的等差 数列，故 故an=(n+1)2n-1 答案：(n+1)2n-1,2、已知数列an，a1=1,an+1=,3、数列an中,a1=1,2an=,六、取倒法,例6：,取倒法构造辅助数列,类型六、形如 的递推式,当c变为n时，上式化为 用叠加法 例6：在数列an,a1=1, 求an 解： 两边取倒数,各式相加得,数列an中,a1=1,七、除以二次项法,、形如 的递推式,例8：,八、因式分解法,例7：设an是首项为1的正数数列，且 （n+1)a2n+1na2n+an+1an=0 (nN) 求它的通项公式? 解:（n+1)a2n+1na2n+an+1an=0 分解因式为 (an+1+an) (n+1)an+1nan=0 数列an是正数数列 an+1+an0 (n+1)an+1nan=0 (n+1)an+1=nan,.设an是首项为1的正数数列，且 求数列an的通项公式,(2014安徽高考)数列an满足a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),nN*. (1)证明:数列,是等差数列. (2)设bn=3n,求数列bn的前n项和Sn.,所以an=n2,从而bn=n3n,九、相除法（除以高次）,、相除法形如 的递推式,例7：,型的递推公式,. 已知数列an中a1=2，an+1=2an+ 求数列an的通项公式。,型的递推公式,例5. 已知数列an中a1=2，an+1=4an+ 求数列an的通项公式。,十、周期数列,周期函数 数列 满足 数列 的前 n积为 ，则 等于 解：,补充,an是等差数列，an=1+(n-1)=n,1. 若a1=1, 且an+am=an+m(n,mN*), 则an=_,解: n=m=1时，a2 = a1+a1=2, 得a1=1, a2=2,m=1时,由an+am=an+m 得an+1=an+1，即an+1-an=