2019届高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量8.8立体几何中的向量方法二求空间角课件理北师大版20180510415.ppt

8.8 立体几何中的向量方法(二)求空间角和距离,第八章 立体几何与空间向量,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,2.直线与平面所成角的求法 设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为， a与n的夹角为，则sin |cos | .,1.两条异面直线所成角的求法 设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则,知识梳理,(2)如图，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足|cos | ，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).,3.求二面角的大小 (1)如图，AB，CD分别是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小 .,|cosn1，n2|,利用空间向量求距离(供选用) (1)两点间的距离 设点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，,【知识拓展】,(2)点到平面的距离 如图所示，已知AB为平面的一条斜线段，n为平面的法向量，则B到平面的距离为,题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.( ) (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.( ) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.( ) (4)两异面直线夹角的范围是 ，直线与平面所成角的范围是 ，二面角的范围是0，.( ) (5)若二面角a的两个半平面，的法向量n1，n2所成角为，则二面角a的大小是.( ),基础自测,1,2,4,5,6,3,题组二 教材改编 2.已知两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角为 A.45 B.135 C.45或135 D.90,1,2,4,5,6,解析,3,答案,两平面所成二面角为45.,1,2,4,5,6,答案,3.如图，正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为2 ，则AC1与侧面ABB1A1所成的角为_.,3,解析,1,2,4,5,6,3,C1AD为AC1与平面ABB1A1所成的角，,题组三 易错自纠 4.在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，则BM与AN所成角的余弦值为,解析,1,2,4,5,6,答案,3,1,2,4,5,6,3,解析 以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设直三棱柱的棱长为2，则可得A(2,0,0)，B(0,2,0)，M(1,1,2)，N(1,0,2)，,090，30.,5.已知向量m，n分别是直线l和平面的方向向量和法向量，若cosm，n ，则l与所成的角为_.,1,2,4,5,6,答案,3,解析,30,6.(2018马鞍山月考)过正方形ABCD的顶点A作线段PA平面ABCD，若ABPA，则平面ABP与平面CDP所成的角为_.,解析,1,2,4,5,6,3,答案,45,解析 如图，以点A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设ABPA1， 则A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)， 由题意，知AD平面PAB，设E为PD的中点， 连接AE，则AEPD， 又CD平面PAD， CDAE，从而AE平面PCD.,1,2,4,5,6,3,题型分类 深度剖析,典例 如图，四边形ABCD为菱形，ABC120，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE2DF，AEEC. (1)证明：平面AEC平面AFC；,题型一 求异面直线所成的角,师生共研,证明,证明 如图所示，连接BD，设BDACG，连接EG，FG，EF. 在菱形ABCD中，不妨设GB1. 由ABC120，,由BE平面ABCD，ABBC2，可知AEEC.,从而EG2FG2EF2，所以EGFG. 又ACFGG，AC，FG平面AFC， 所以EG平面AFC. 因为EG平面AEC，所以平面AEC平面AFC.,(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.,解答,解 如图，以G为坐标原点，分别以GB，GC所在直线为x轴，y轴，,用向量法求异面直线所成角的一般步骤 (1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系. (2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量. (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值. (4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值.,证明 四边形ABCD是菱形， BDAC. AE平面ABCD，BD平面ABCD， BDAE. 又ACAEA，AC，AE平面ACFE， BD平面ACFE.,跟踪训练 (2017广东五校诊断)如图所示，菱形ABCD中，ABC60，AC与BD相交于点O，AE平面ABCD，CFAE，ABAE2. (1)求证：BD平面ACFE；,证明,(2)当直线FO与平面BED所成的角为45时，求异面直线OF与BE所成角的余弦值的大小.,解答,解 以O为原点，OA，OB所在直线分别为x轴，y轴，过O且平行于CF的直线为z轴(向上为正方向)，建立空间直角坐标系，,设平面EBD的法向量为n(x，y，z)，,令z1，则n(2,0,1)，,典例 (2016全国)如图，四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点. (1)证明：MN平面PAB；,证明,题型二 求直线与平面所成的角,师生共研,取BP的中点T，连接AT，TN，,又ADBC，故TN綊AM，四边形AMNT为平行四边形，于是MNAT. 因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.,(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.,解答,解 取BC的中点E，连接AE. 由ABAC得AEBC，,以A为坐标原点，AE，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.,设n(x，y，z)为平面PMN的法向量，,利用向量法求线面角的方法 (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角). (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角.,跟踪训练 如图，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90，ACBD，BC1，ADAA13. (1)证明：ACB1D；,证明,证明 易知AB，AD，AA1两两垂直， 如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系. 设ABt，则相关各点的坐标为A(0,0,0)，B(t,0,0)， B1(t,0,3)，C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3).,(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.,解答,设直线B1C1与平面ACD1所成的角为，,设n(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量，,题型三 求二面角,师生共研,典例 (2017全国)如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，ABBC AD，BADABC90，E是PD的中点. (1)证明：直线CE平面PAB；,证明 取PA的中点F，连接EF，BF.,证明,所以EF綊BC，四边形BCEF是平行四边形，CEBF， 又BF平面PAB，CE平面PAB， 故CE平面PAB.,(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45，求平面MAB与平面ABD夹角的余弦值.,解答,设M(x，y，z)(0x1)，则,因为BM与底面ABCD所成的角为45， 而n(0,0,1)是底面ABCD的法向量，,即(x1)2y2z20. ,设m(x0，y0，z0)是平面ABM的法向量，则,由图可知平面MAB与平面ABD的夹角是锐角，,利用向量法计算二面角大小的常用方法 (1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小. (2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.,跟踪训练 (2017天津)如图，在三棱锥P-ABC中，PA底面ABC，BAC90.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PAAC4，AB2. (1)求证：MN平面BDE；,证明,证明 如图，以A为原点，分别以AB，AC，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.由题意，可得A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,4,0)，P(0,0,4)，D(0,0,2)，E(0,2,2)，M(0,0,1)，N(1,2,0).,设n(x，y，z)为平面BDE的一个法向量，,因为MN平面BDE，所以MN平面BDE.,(2)求平面CEM与平面EMN夹角的正弦值；,解答,解 易知n1(1,0,0)为平面CEM的一个法向量. 设n2(x1，y1，z1)为平面EMN的一个法向量，,不妨设y11，可得n2(4,1，2).,解答,解 由题意，设AHh(0h4)，,题型四 求空间距离(供选用),师生共研,典例 (2018株洲模拟)如图，BCD与MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，AB2 ，求点A到平面MBC的距离.,解答,解 如图，取CD的中点O，连接OB，OM，因为BCD与MCD均为正三角形，所以OBCD，OMCD， 又平面MCD平面BCD，平面MCD平面BCDCD，OM平面MCD， 所以MO平面BCD. 以O为坐标原点，直线OC，BO，OM分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系. 因为BCD与MCD都是边长为2的正三角形，,设平面MBC的法向量为n(x，y，z)，,求点面距一般有以下三种方法 (1)作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离. (2)等体积法. (3)向量法.其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便.,跟踪训练 (2018武昌质检)如图所示，在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，侧棱PAPD ，PAPD，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD，ABAD，ABBC1，O为AD的中点. (1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值；,解答,解 在PAD中，PAPD，O为AD的中点， POAD. 又侧面PAD底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面PAD，PO平面ABCD.,在直角梯形ABCD中，O为AD的中点，OABC1， OCAD. 以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，OD所在直线为y轴，OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，,OAOP，OAOC，OPOCO， OA平面POC.,则P(0,0,1)，A(0，1,0)，B(1，1,0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)，,(2)求B点到平面PCD的距离；,解答,设平面PCD的法向量为u(x，y，z)，,取z1，得u(1,1,1).,解答,设平面CAQ的法向量为m(x1，y1，z1)，,取z11，得m(1，1，1). 平面CAD的一个法向量为n(0,0,1)，,整理化简，得321030.,典例 (12分)如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，点E为棱PC的中点. (1)证明：BEDC； (2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值； (3)若F为棱PC上一点，满足BFAC，求平面 FAB与平面ABP夹角的余弦值.,利用空间向量求解空间角,答题模板,规范解答,答题模板,(1)证明 由题意，以点A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图，,规范解答,可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2). 1分,设n(x，y，z)为平面PBD的一个法向量，,设n1(x1，y1，z1)为平面FAB的一个法向量，,不妨令z11，可得n1(0，3,1). 取平面ABP的法向量n2(0,1,0)，,答题模板 利用向量求空间角的步骤： 第一步：建立空间直角坐标系； 第二步：确定点的坐标； 第三步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标； 第四步：计算向量的夹角(或函数值)； 第五步：将向量夹角转化为所求的空间角； 第六步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范.,课时作业,1.(2018抚顺调研)在正方体A1B1C1D1ABCD中，AC与B1D所成角的大小为,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 以A点为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为1， 则A(0,0,0)，C(1,1,0)，B1(1,0,1)，D(0,1,0).,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 以C点为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(1,0,2)，B1(0,1,3)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1，,设平面A1ED的一个法向量为n1(1，y，z)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,n1(1,2,2). 平面ABCD的一个法向量为n2(0,0,1)，,4.(2017西安调研)已知六面体ABCA1B1C1是各棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点，则直线CC1与平面AB1D所成的角为 A.45 B.60 C.90 D.30,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 如图所示，取AC的中点N，连接NB，以N为坐标原点，NB，NC所在直线分别为x轴，y轴，建立空间直角坐标系.,设平面AB1D的法向量为n(x，y，z)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,直线与平面所成角的范围是0，90， 直线CC1与平面AB1D所成的角为45.,5.(2018大同模拟)设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立坐标系， 则D(0,0,0)，D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，B(2,2,0)，,6.二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，CD2 ，则该二面角的大小为 A.150 B.45 C.60 D.120,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是_.,答案,60,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 以B点为坐标原点，以BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，BB1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系.设ABBCAA12， 则C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0,1)，,异面直线所成角的范围是(0,90， EF和BC1所成的角为60.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,8.在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则直线CD与平面BDC1所成角的正弦值为_.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，设AA12AB2， 则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，,设平面BDC1的一个法向量为n(x，y，z)，,令y2，得平面BDC1的一个法向量为n(2，2,1). 设CD与平面BDC1所成的角为，,9.已知点E，F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，则平面AEF与平面ABC夹角的正切值为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,解析,解析 方法一 延长FE，CB相交于点G，连接AG，如图所示. 设正方体的棱长为3， 则GBBC3，作BHAG于点H，连接EH， 则EHB即为所求两平面的夹角.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,方法二 如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 设DA1，由已知条件得,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,设平面AEF的法向量为n(x，y，z)， 平面AEF与平面ABC的夹角为，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,令y1，z3，x1，则n(1,1，3)， 取平面ABC的法向量为m(0,0，1)，,10.(2017河北石家庄二模)设二面角CD的大小为45，A点在平面内，B点在CD上，且ABC45，则AB与平面所成角的大小为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,30,解析,解析 如图，作AE平面于点E，在平面内过E作EFCD于点F，连接AF，因为AECD，AEEFE， 所以CD平面AEF，所以AFCD， 所以AFE为二面角CD的平面角， 所以AFE45， 因为ABC45，所以BAF45. 连接BE，则ABE为AB与平面所成的角.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,又因为ABE为锐角，所以ABE30.,11.(2017洛阳二模)已知三棱锥ABCD，AD平面BCD，BDCD，ADBD2，CD2 ，E，F分别是AC，BC的中点，P为线段BC上一点，且CP2PB. (1)求证：APDE；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,证明 作PGBD交CD于G，连接AG.,AD平面BCD，ADDC，,DAG30， 在RtADC中，AC2AD2CD241216， AC4，又E为AC的中点，DEAE2，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,又AD2，ADE60，AGDE. AD平面BCD，ADBD， 又BDCD，ADCDD，AD，CD平面ADC， BD平面ADC， PG平面ADC，PGDE. 又AGPGG，AG，PG平面AGP， DE平面AGP， 又AP平面AGP，APDE.,(2)求直线AC与平面DEF所成角的正弦值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 以D为坐标原点，DB，DC，DA所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则D(0,0,0)，A(0,0,2)，B(2,0,0)，,设平面DEF的法向量为n(x，y，z)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,设直线AC与平面DEF所成的角为，,12.(2017河南质检)如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，ADC90，ADBC，ABAC，ABAC ，点E在AD上，且AE2ED. (1)已知点F在BC上，且CF2FB，求证：平面PEF平面PAC；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,证明 ABAC，ABAC，ACB45， 底面ABCD是直角梯形，ADC90，ADBC，,又AEBF， 四边形ABFE是平行四边形，ABEF，ACEF， PA底面ABCD，PAEF， PAACA，PA，AC平面PAC，EF平面PAC， 又EF平面PEF，平面PEF平面PAC.,(2)平面APB与平面PBE夹角的余弦值为多少时，直线PC与平面PAB所成的角为45？,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 PAAC，ACAB，PAABA，PA，AB平面PAB， AC平面PAB，则APC为PC与平面PAB所成的角， 若PC与平面PAB所成的角为45，,取BC的中点G，连接AG， 则AGBC，以A为坐标原点， AG，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，,设平面PBE的法向量为n(x，y，z)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,13.(2017全国)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 方法一 将直三棱柱ABCA1B1C1补形为直四棱柱ABCDA1B1C1D1，如图所示，连接AD1，B1D1，BD. 由题意知ABC120，AB2，BCCC11，,图,在ABD中，由余弦定理知BD22212221cos 603，,又AB1与AD1所成的角即为AB1与BC1所成的角，,图,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,